Производной. - Методы решения системы линейных уравнений

Наиболее просто основные теоремы дифференциального исчисления формулируются для гладких функций.

[Править] Производные и гладкие функции

Пусть функция g(h) определена в окрестности h = 0 и для любого е найдется такое д, что

| g(h) / hN | < е, лишь только | h | < д,

Тогда говорят, что g(h) - Бесконечно малое порядка o(hN).

Пусть f(x) - вещественнозначная Функция, заданная на отрезке (a, b). Эту функцию называют бесконечно Дифференцируемой на интервале (a, b), если

Для любого и любого n. Таким образом, локально, в окрестности любой точки отрезка, функция сколь угодно хорошо приближается Полиномом. Гладкие на отрезке (a, b) функции образуют Кольцо гладких функций.

Коэффициенты f(n)(x) сами оказываются гладкими функциями на рассматриваемом отрезке, причем

Эти функции называют Производными функции f(x). Первая производная может быть вычислена как Предел

.

Оператор, сопоставляющий функции f(x) ее производную f'(x) обозначают как

При этом для двух гладких функций f и g верно

D(f + g) = Df + Dg и D(fg) = fDg + gDf

Оператор, обладающий указанными свойствами, называют дифференцированием кольца гладких функций.

Всякая Аналитическая функция, голоморфная на отрезке (a, b), является гладкой функцией, но обратное неверно. Главное различие аналитических и гладких функций состоит в том, что первые полностью определяются своим поведением в окрестности одной точки, вторые - нет. Напр., гладкая функция может быть равна постоянной в окрестности одной точки, но не быть постоянной всюду. Элементарные функции в своей (открытой) области определения являются аналитическими, а, следовательно, и гладкими функциями. Однако, в отличие от аналитических функций, гладкие функции могут быть заданы на разных интервалах разными элементарными выражениями.

[Править] Касательная прямая

График функции (черная кривая) и касательная прямая (красная прямая)

Прямая

Y = f(c) + f'(c)(x ? c)

Пересекает Кривую

Y = f(x)

В точке (c, f(c)) таким образом, что знак выражения

При условии все время остается одним и тем же, поэтому кривая

Y = f(x)

Лежит по одну сторону от прямой

Y = f(c) + f'(c)(x ? c)

Прямую, обладающую указанным свойством, называют Касательной к кривой в точке x = c (по Б. Кавальери). Точку x = c, в которой кривая

Y = f(x)

Не лежит по одну сторону от прямой

Y = f(c) + f'(c)(x ? c)

Называют Точкой перегиба, при этом прямую все равно именуют касательной. Для единообразия часто само понятие касательной вводят иначе с тем, чтобы оба случая подпадали под него.

[Править] Точки экстремума

Точка x = c называется точкой локального Максимума (Минимума), если

Для всех достаточно малых по модулю h. Из соотношения

Сразу видно, что f'(c) = 0 - необходимое условие максимума, а f''(c) < 0 - достаточное условие максимума. Условие f'(c) = 0 выделяет точки максимума, минимума и перегиба.

[Править] Непрерывные функции

Пусть f определена и на концах интервала [a, b]; говорят, что она Непрерывна на [a, b], если для любого е найдется такое д, что

| f(x) ? f(x + h) | < е, лишь только | h | < д,

И точки не выходят за границы интервала [a, b]. Теорема Вейерштрасса утверждает, что гладкая на отрезке функция достигает на отрезке своего минимального и максимального значений. Понятие непрерывности функции обычно увязывается с понятием Предела функции. Непрерывны на интервале [a, b] функции образуют кольцо непрерывных функций C[a, b].

[Править] Основные теоремы дифференциального исчисления

Кольцо непрерывных на [a, b] и гладких на (a, b) функций обладает рядом важных свойств:

    - Теорема Ролля: если f(a) = f(b) = 0, то имеется точка максимума или минимума, в которой f' обращается в нуль. - Теорема Лагранжа: существует такая точка, что - Теорема Коши: если на (a, b), то существует такая точка, что

Из теоремы Лагранжа выводят Формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа: на любом отрезка найдутся такие точки cN, что

Где

При помощи этой формулы можно приближенно вычислять значения функции в точке b' по известным значениям функции и ее производных в точке a'.

Из теоремы Коши выводят Правило Лопиталя: если f(b) = g(b) = 0 или, и на (a, b), то

Причем существование второго Предела влечет существование первого.

Возрастание и убывание дифференцируемой функции связано со знаком ее производной. Напомним, что функция называется возрастающей на интервале, если для любых двух точек из неравенства следует, что ; убывающей на интервале, если из неравенства следует, что ; невозрастающей на интервале, если из неравенства следует, что, и неубывающей на интервале, если из неравенства следует, что.

возрастающей, убывающей, невозрастающей и неубывающей функций

Рис.7.15.Графики возрастающей, убывающей, невозрастающей и неубывающей функций

Очевидно, что функция возрастает тогда и только тогда, когда убывает функция ; аналогичное утверждение связывает неубывающую функцию с невозрастающей.

Рис.7.16.Графики функций и

Теорема 7.2 Пусть функция дифференцируема на интервале и при всех. Тогда возрастает на. Если же при всех, то не убывает на.

Аналогично, если при всех, то убывает на, а если при всех, то не возрастает на.

Доказательство. В силу предыдущего замечания, теорему достаточно доказывать только для случаев и. Пусть при всех и, . Применим к отрезку формулу конечных приращений:

Где. В правой части и, так что, откуда, что означает возрастание функции.

Точно так же, если, то получаем, откуда, что означает неубывание функции.

Имеет место и утверждение, "почти обратное" к предыдущей теореме:

Теорема 7.3 Если дифференцируемая функция не убывает на интервале, то при всех ; если же функция не возрастает на, то при.

Доказательство. Фиксируем точку и рассмотрим предел, который равен производной:

При достаточно малых точка попадет в интервал, при этом, откуда. Значит, числитель неотрицателен, а знаменатель положителен, и дробь неотрицательна. По теореме о переходе к пределу в неравенстве, получаем, что и требовалось получить.

Вторая часть утверждения теоремы доказывается аналогично.

Заметим, что усилить утверждение теоремы нельзя: из того, что функция возрастает на не следует строгого неравенства для производной. Действительно, в этом нас убеждает простой пример:

Пример 7.15 Рассмотрим функцию. Эта функция дифференцируема всюду и возрастает на всей оси : из следует, что. Однако неверно, что при всех : действительно, производная обращается в 0 при.

Итак, все, что мы можем гарантировать в случае строгого возрастания (как и в случае нестрогого возрастания, то есть неубывания) - это нестрогое неравенство.

Практический смысл полученных утверждений о связи возрастания и убывания со знаком производной -- в том, что для того, чтобы найти интервалы возрастания функции, надо решить относительно неравенство, а чтобы найти интервалы убывания -- решить неравенство.

Пример 7.16 Рассмотрим функцию. Ее производная такова:

Интервал возрастания функции можно найти из неравенства

При решении этого неравенства учтем, что в области определения функции, так что нужно решать неравенство. Отсюда. Таким образом, функция возрастает на интервале. Нетрудно видеть, что при выполняется обратное неравенство, так что на этом интервале функция убывает.

функции

Рис.7.17.График функции

Если два интервала возрастания функции примыкают друг к другу, то есть имеют вид и, и функция непрерывна в точке, то эти два смежных интервала можно объединить: функция будет возрастать на. То же, разумеется, относится и к смежным интервалам убывания функции.

Рис.7.18.Объединение двух смежных интервалов возрастания функции

Пример 7.17 Рассмотрим функцию. Ее производная имеет вид

Решая неравенство, получаем: ; при функция, очевидно, непрерывна, так что возрастает на объединенном интервале, то есть при. Решение неравенства дает только один интервал ; на нем функция убывает.

Рис.7.19.График функции

Геометрический смысл связи знака производной с направлением изменения функции легко виден из геометрического смысла производной: если угловой коэффициент касательной к графику (равный производной) положителен, то угол наклона касательной - острый, что соответствует графику возрастающей функции. Если же угловой коэффициент отрицателен, то угол наклона касательной - тупой, и тогда функция убывает.

угла наклона касательной с направлением изменения функции

Рис.7.20.Связь угла наклона касательной с направлением изменения функции

Неопределенный интеграл

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) в промежутке a?x?b, если в любой точке этого промежутка ее производная равна f(x):

F'(x) = f(x)>dF(x) = f(x)dx, a?x?b.

Из этого определения вытекает, что всякая функция по отношению к своей производной является первообразной. Так функция F(x) = x2 есть первообразная функции f(x)=2x на интервале (-?; +?), поскольку для всех x R имеет место равенство F'(x)=(x2)'=2x.

Отыскание первообразной функции по заданной ее производной f(x) или по ее дифференциалу f(x)dx есть действие, обратное дифференцированию интегрирование.

Совокупность всех первообразных F(x)+C функции f(x) на рассматриваемом промежутке называется неопределенным интегралом и обозначается символом ?f(x)dx, где f(x) подынтегральная функция, f(x)dx - подынтегральное выражение, х - переменная интегрирования.

Таким образом, если F(x) - какая-нибудь первообразная функции f(x) на некотором промежутке, то ?f(x)dx = F(x)+C, где С - любое действительное число.

Основное свойства неопределенного интеграла

    1. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс произвольная постоянная: ?dF(x) = F(x)+C. 2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции: d?f(x)dx = f(x)dx,(?f(x)dx)' = f(x). 3. Неопределенный интеграл алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов этих функций: ?[f(x)+g(x)]dx = ?f(x)dx+?g(x)dx. 4. Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за знак неопределенного интеграла: ?a*f(x)dx = a?f(x)dx. 5. Если ?f(x)dx = F(x)+C и u = ц(x) - любая известная функция, имеющая непрерывную производную, то ?f(u)du = F(u)+C.

Похожие статьи




Производной. - Методы решения системы линейных уравнений

Предыдущая | Следующая