Площадь поверхности вращения - Определенный интеграл

Пусть кривая АВ Является графиком функции У = f(х) ? 0, где Х [а;b], А функция У = F(х) И ее производная У' = f'(х) Непрерывны на этом отрезке.

Найдем площадь S поверхности, образованной вращением кривой АВ Вокруг оси Ох (рис 8).

Применим схему II (метод дифференциала).

    1. Через произвольную точку Х [а; b] проведем плоскость П, перпендикулярную оси Ох. Плоскость П пересекает поверхность вращения по окружности с радиусом У - F(х). Величина S поверхности части фигуры вращения, лежащей левее плоскости, является функцией от Х, Т. е. s = S(х) S(а) = 0 и s(b) = S). 2. Дадим аргументу Х Приращение ?х = Dх. Через точку Х + dх [а; b] также проведем плоскость, перпендикулярную оси Ох. Функция s = s(х) получит приращение ?s, (изображенного на рис 6 в виде "пояска").

Найдем дифференциал площади Ds, Заменяя образованную между сечениями фигуру усеченным конусом, образующая которого равна Dl, А радиусы оснований равны У И У + dу. Площадь его боковой поверхности равна ds = (у + у + dу) * d1 = 2Ydl + dydl. Отбрасывая произведение Dу d1 Как бесконечно малую высшего порядка, чем Ds, Получаем Ds = 2уdl, Или, так как D1 = dx.

1. Интегрируя полученное равенство в пределах от х = а до х = b, получаем

S= 2yDx

Если кривая AB задана параметрическими уравнениями x = x(t), y = y(t), t? t ? t, то формула для площади поверхности вращения принимает вид

S = 2Dt.

Пример: Найти площадь поверхности шара радиуса R.

Решение: Можно считать, что поверхность шара образована вращением полуокружности y = , - R ? x ? R, вокруг оси Ox. По формуле S= 2yDx находим

S = 2 =

[7]

Похожие статьи




Площадь поверхности вращения - Определенный интеграл

Предыдущая | Следующая