Понятие производной, Основные правила и формулы дифференцирования, Геометрический смысл производной, Уравнение касательной и нормали к графику функции, угол между ними - Применение производной в решении геометрических задач

Пусть функция определена в промежутке Х (рис.1). Исходя из некоторого значения независимой переменной, придадим ему приращение, не выводящее его из промежутка Х, так что и новое значениепринадлежит этому промежутку. Тогда значение функции заменится новым значением

, то есть получится приращение

Если существует предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению независимой переменной при стрeмлeнии к нулю, то есть

,

То он называется производной функции по независимой переменной при данном ее значении.

Функция, имеющая производную в каждой точке интервала называется дифференцируемой в этом интервале; опeрация нахождения производной функции называется дифференцированием. Производная функциив произвольной точке обозначается

[1].

Основные правила и формулы дифференцирования

Введем правила дифференцирования арифметических действий.

Пусть - функции, дифференцируемые в точке.

1)

Доказательство. Обозначим. По определению производной и основным теоремам о пределах получаем:

2)

Доказательство. Обозначим. Тогда

3) , если

Доказательство. Обозначим. Тогда

Геометрический смысл производной

Пусть определена на некотором промежутке (рис.2). Тогда

- тангенс угла наклона секущей к графику функции.

Рис.2

,

Где - угол наклона касательной к графику

Функции в точке ( - угловой коэффициент.

Таким образом, производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке, абсцисса которой равна [1].

Уравнение касательной и нормали к графику функции, угол между ними

Значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику этой функции, проведенной через точку, где (рис.3).

Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно к касательной, называется нормалью к графику функции в этой точке. Уравнение нормали

Уравнение касательной к графику функции в его точке имеет вид

Углом между кривыми

к их общей точке называется угол между касательными к этим кривым в точке. Его можно вычислить по формуле

[1].

Похожие статьи




Понятие производной, Основные правила и формулы дифференцирования, Геометрический смысл производной, Уравнение касательной и нормали к графику функции, угол между ними - Применение производной в решении геометрических задач

Предыдущая | Следующая