Постановка задачі оптимального керування - Дослідження попиту годинників з метою оптимізації номенклатури на прикладі фірми "Годинникар"

Стан об'єкта керування характеризується n-мірної вектор функцією, наприклад, функцією часуТак, шестивимірна вектор-функція часу цілком визначає положення літака як твердого тіла в просторі. Три координати визначають положення центра мас, а три - обертання навколо центра мас. Від керуючого органа до об'єкта керування надходить вектор-функція. Вектори х' і u' , звичайно зв'язані між собою якимсь співвідношенням. Найбільш розвитим у даний час є рівняння, у якому вектори зв'язані системою звичайних диференціальних рівнянь.

І так, нехай рух керованого об'єкта описується системою диференціальних рівнянь

(2.14)

Де - вектор координат об'єкта або фазових координат, - задана вектор-функція, - вектор керувань або просто керування. У рівнянні (1.1) вектори є функціями перемінної t, що позначає час, причому, де - відрізок часу, на якому відбувається керування системою. На керування звичайно накладається умова

, (2.15)

Де U(t) - задана безліч у при кожнім. Будемо називати далі керуванням кусочно-безперервну на відрізку (тобто яка має кінцеве число розривів першого роду) r--мірну вектор-функцію і, безперервну праворуч у крапках розриву і безперервну в точці Т. Керування і називається припустимим, якщо воно задовольняє обмеженню (2.15). Помітимо, що обмежитися розглядом безперервних керувань виявляється неможливим, тому що з їхньою допомогою важко моделювати моменти переключення керування такі, як, наприклад, включення і відключення двигунів, відділення ступіней ракети, поворот рулів і т. д. Іноді розглядають і більш широкі класи припустимих керувань, наприклад, клас всіх обмежених вимірних керувань, що задовольняють умові(2.15).

Покажемо, як при довільному початковому положенні і припустимому керуванні і визначається траєкторія керованого об'єкта. Розглянемо задачу Коші

(2.16)

Оскільки при розривних правих частинах класичне поняття рішення системи диференціальних рівнянь застосувати не можливо, пояснимо, що розуміється в даному випадку під рішенням задачі (1.3). Для цього надійдемо в такий спосіб.

Нехай функція и має стрибки в крапках причому. Припустимо, що задача (2.16) має рішення х, визначене на усьому відрізку [to, ], причому. Далі розглянемо задачу Коші

.

Припускаючи, що вона має рішення на відрізку [ ] і, приходимо до задачі і т. д.

Якщо функцію х удалося визначити зазначеним способом на усьому відрізку [to. Т], те будемо називати її рішенням задачі (1.3) або фазовою траєкторією (іноді просто траєкторією), що відповідає керуванню и. Відзначимо, що x - безперервна по побудові функція, що задовольняє на відрізку рівності

(2.17)

При виконанні визначених умов на f рішення задачі (2.16), що відповідає керуванню и, існує і єдино при довільному початковому положенні і довільному припустимому керуванні и. Крім обмеження на керування можуть існувати обмеження і на фазові координати

(2.18)

Обмеження на кінцях траєкторії доцільно розглядати окремо:

(2.18)

Де, S (Т) - задані множини з R"; - задані множини з R, причому inf < sup, to<.T.

Таким чином, початковий і кінцевий моменти часу не обов'язково фіксовані. Случаю фіксованих to, Т відповідають множини, , що складаються з однієї крапки; при цьому говорять, що розглядається задача з закріпленим часом.

Якщо So (to) = { } при кожнім, то лівий кінець траєкторії називають закріпленим. Якщо ж So (to) == R" при усіх, то лівий кінець траєкторії називають вільним. В всіх інших випадках лівий кінець називають рухливим. В аналогічних ситуаціях говорять про закріплений, вільний або рухливий правий кінець траєкторії. Ціль керування в задачі оптимального керування складається в мінімізації деякого функціонала на множини припустимих наборів.

Якщо кожної функції y=f(x) визначеного класу ставиться у відповідності за деяким законом визначене числове значення перемінної U, то цю перемінну називають функціоналом від однієї функціональної перемінної I=I[y]=I[y(x)]=I[f(x)]. Найбільше часто під задачами керування розуміються задачі, у яких роль функціонала виконує інтегрального функціонала

(2.19)

Ми будемо розглядати задачу з цільовим функціоналом

(2.20)

Що є сума інтегрального функціонала і термінального функціонала Ф(х(Т), Т). Ця задача називається задачею Больца. Її окремими випадками є задача з інтегральним функціоналом, називана задачею Лагранжа, і задача з термінальним функціоналом, називана задачею Майера. Задача з інтегральним функціоналом при називається задачею оптимальної швидкодії. Набір (to, Т, х, і, х), що мінімізує функціонал (2.16), називається рішенням задачі оптимального керування, керування и - оптимальним керуванням, а траєкторія х - оптимальною траєкторією. Часто рішенням задачі оптимального керування називають пари (ц, х).

Похожие статьи




Постановка задачі оптимального керування - Дослідження попиту годинників з метою оптимізації номенклатури на прикладі фірми "Годинникар"

Предыдущая | Следующая