Лінійні неоднорідні рівняння, Властивості розв'язків лінійних неоднорідних систем - Лінійні різницеві рівняння зі сталими коефіцієнтами

Система диференціальних рівнянь, що записана у вигляді

Чи у векторно-матричному вигляді

Називається системою лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь.

Властивості розв'язків лінійних неоднорідних систем

Властивість 1. Якщо вектор

Є розв'язком лінійної неоднорідної системи, a

Розв'язком відповідної лінійної однорідної системи, то сума

Є розв'язком лінійної неоднорідної системи.

Дійсно, за умовою

і.

Але тоді і

Тобто

Є розв'язком неоднорідної системи.

Властивість 2 (Принцип суперпозиції). Якщо вектори

,

Є розв'язками лінійних неоднорідних систем

, ,

Де,

То вектор

,

Де - довільні сталі буде розв'язком лінійної неоднорідної системи

.

Дійсно, за умовою виконуються - тотожностей

.

Склавши лінійну комбінацію з лівих і правих частин, одержимо

,

Тобто лінійна комбінація

Буде розв'язком системи

.

Властивість 3. Якщо комплексний вектор з дійсними елементами

Є розв'язком неоднорідної системи

,

Де,

,

,

То окремо дійсна і уявна частини є розв'язками системи.

Дійсно, за умовою

.

Розкривши дужки і перетворивши, одержимо

.

Але комплексні вирази рівні між собою тоді і тільки тоді, коли рівні дійсні та уявні частини, що і було потрібно довести.

Теорема (про загальний розв'язок лінійної неоднорідної системи). Загальний розв'язок лінійної неоднорідної системи складається із суми загального розв'язку однорідної системи і якого-небудь частинного розв'язку неоднорідної системи.

Доведення. Нехай

- загальний розв'язок однорідної системи і - частинний розв'язок неоднорідної. Тоді, як випливає з властивості 1, їхня сума буде розв'язком неоднорідної системи.

Покажемо, що цей розв'язок загальний, тобто підбором сталих, можна розв'язати довільну задачу Коші

.

Оскільки

- загальний розв'язок однорідного рівняння, то вектори лінійно незалежні і система алгебраїчних рівнянь

Має єдине розв'язок,. І лінійна комбінація

С отриманими сталими, є розв'язком поставленої задачі Коші.

Похожие статьи

• Розв'язок систем однорідних рівнянь зі сталими коефіцієнтами матричним методом - Лінійні різницеві рівняння зі сталими коефіцієнтами

  Досить універсальним методом розв'язку лінійних однорідних систем з сталими коефіцієнтами є матричний метод. Він полягає в наступному. Розглядається...

• Лінійні однорідні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами, Розв'язування систем однорідних рівнянь з сталими коефіцієнтами методом Ейлера - Лінійні різницеві рівняння зі сталими коефіцієнтами

  Система диференціальних рівнянь вигляду Де - сталі величини, називається лінійною однорідною системою з сталими коефіцієнтами. У матричному вигляді вона...

• Задача Коші - Лінійні різницеві рівняння зі сталими коефіцієнтами

  Нехай - фундаментальна система, нормована при тобто , Де - одинична матриця. Загальний розв'язок однорідної системи має вигляд . Вважаючи невідомою...

• Рішення систем лінійних однорідних рівнянь, Векторний добуток векторів. Визначення. Властивості, вираження через координати векторів співмножників. Застосування - Основи вищої математики

  Визначення : Алгебраїчні лінійні рівняння називаються однорідними, якщо в них вільний член дорівнює нулю. Розглянемо таку систему, що має вигляд: (10.1)...

• Поняття базису. Координати векторів. Єдиність координат. Афінна система координат. Складова й проекція вектора на вісь. Властивості проекцій. Декартова прямокутна система координат - Основи вищої математики

  Визначення : Сукупність лінійно незалежних векторів, по яких відбувається розкладання інших векторів, називається Базисом . Отже, у площині можуть...

• Розв'язання систем рівнянь, Порядок виконання роботи - Вивчення математичного пакету MathСad

  Матриця математичний пакет арифметичний Для розв'язання системи рівнянь з кількома невідомими треба задати початкові наближення для кожної змінної. Далі...

• Використання диференціальних рівнянь в біології і математичних обчисленнях, Побудова диференціальних рівнянь з заданими параметричними сімействами кривих - Математичне моделювання та диференціальні рівняння

  Біологія . Необхідно знайти залежність площі молодого листка, що має форму круга, від часу. Відомо, що швидкість зміни площі в момент пропорцією площі...

• Обернена матриця. Розв'язування системи лінійних рівнянь матричним способом - Основи вищої математики

  Визначення. Матриця називається оберненою матриці, якщо їх добуток, тобто рівний одиничній матриці. Якщо квадратна матриця має зворотню матрицю, то вона...

• Метод Гауса - Основи вищої математики

  ( Карл Фрідріх Гаус (1777-1855) іноземний член Петербурзької АН (1824), німецький математик. Праці: вища алгебра, диференціальна геометрія, математична...

• Системи лінійних алгебраїчних рівнянь - Основи вищої математики

  1. Будемо розглядати систему з "m" лінійних алгебраїчних рівнянь із "n" невідомими (8.1) Рішенням такої системи називається такий набір чисел Х 1, Х 2,...

• Пряма в просторі - Основи вищої математики

  І. Загальне рівняння прямої Пряму в просторі найчастіше задають як перетинання двох площин І площина А 1 Х + В 1 Y + C 1 Z + D =0 ІІ площина А 2 Х + В 2...

• Вектори. Лінійні операції над векторами, лінійні залежності векторів - Основи вищої математики

  Визначення : У фізиці Векторними величинами або Векторами називаються ті, які характеризуються не тільки їхнім числовим значенням, але й напрямком у...

• Означення та властивості визначеного інтеграла, Задачі, що привели до поняття визначеного інтеграла - Визначений інтеграл

  Задачі, що привели до поняття визначеного інтеграла Розглянемо дві задачі -- геометричну та фізичну. 1. Обчислення площі криволінійної трапеції . Нехай...

• Диференціальні рівняння закону пропиту і пропозиції в економічних дослідженнях, Найпростіші рівняння руху частинок в електромагнітних поясах - Математичне моделювання та диференціальні рівняння

  Попит і пропозиція - економічній категорії товарного виробництва. Попит - представлена на ринку потреба в товарах, Пропозиція - продукт, який є на ринку...

• Методологія оцінювання економічної ефективності паралельних обчислень - Економічна ефективність розподілених систем і паралельних обчислень

  Основна ідея розпаралелювання обчислень - мінімізація часу виконання задачі за рахунок розподілу навантаження між декількома обчислювальними пристроями....

• Визначені та невизначені інтеграли, Зв'язок між визначеним та невизначеним інтегралами - Визначений інтеграл

  Зв'язок між визначеним та невизначеним інтегралами Означення 2. Визначений інтеграл з постійною нижньою межею та змінною верхньою межею називають...

• Оперативне планування випуску продукції методами теорії гри та подвійного лінійного програмування - Оптимальне планування виробництва методами лінійного програмування

  ЗАТ "Біола" випускає три види продукції: напій на основі сиропу з цукром, напій на основі сиропу з цукрозамінником, сік. У поточному місяці прогнозуються...

• Скалярний добуток векторів. Визначення, властивості, вираження через координати векторів співмножників. Застосування - Основи вищої математики

  Визначення : Скалярний добуток двох векторів і дорівнює добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними . (6.1) Таким чином, скалярний добуток двох...

• Классификация экономико-математических методов и моделей в управлении предприятием и их задачи в повышении экономической эффективности производства, Основные понятия теории экономико-математического моделирования, Кибернетический подход к исследованию экономико-математических систем - Применение экономико-математических методов и моделей в управлении производством (на примере КУП "Спецкоммунтранс")

  Основные понятия теории экономико-математического моделирования Кибернетический подход к исследованию экономико-математических систем Обычно...

• Кредитна система Російської Федерації - Еволюція грошово-кредитної системи Росії

  Традиційне уявлення про банк тільки як про кредитний і розрахунково-платіжний інститут нині суттєво змінилося. Сучасний комерційний банк -- це...

• Загальні властивості функцій - Функції та способи їх задання

  Означення : Множина всіх значень аргумента, для яких можна обчислити значення функції, називається природною областю визначення функції. Область...

• Рівняння, Трансцендентні рівняння - Основи вищої математики

  З одним невідомим повинно бути одне, його звичайно приводять до канонічного вигляду: Приклад: Рівняння 1,2,3 ... степені і т. д. -- лінійні рівняння....

• Обчислення подвійних інтегралів в полярній системі координат - Вища математика

  Відомо, що полярні координати довільної точки зв'язані з її декартовими координатами формулами (1) Де Поняття подвійного інтеграла в полярній системі...

• Аналіз існуючих теоретико-практичних розробок в галузі створення інформаційних систем - АСУ підприємства підсистема фінансового аналізу ТОВ "Цегельний завод ім. М. Г. Миндру"

  Розвиток будь-якого підприємства потребує визначення його реального планування та ефективності його фінансово-господарської діяльності, у зв'язку з чим...

• ІНФОРМАЦІЙНА СИСТЕМА, Характеристика існуючої системи управління обіговими коштами - Дослідження попиту годинників з метою оптимізації номенклатури на прикладі фірми "Годинникар"

  Характеристика існуючої системи управління обіговими коштами Системи управління обіговими коштами базується на системі обліку, яка є джерелом інформації....

• Прості властивості модулів неперевності - Дослідження якнайкращих наближень безперервних періодичних функцій тригонометричними поліномами

  Цей параграф носить допоміжний характер. Тут встановлюється декілька простих властивостей модуля нерперывности вищих порядків. Всі функції F1 , що...

• Введение, Параметрическая неопределенность - Математические модели неопределенностей систем управления и методы, используемые для их исследования

  В практике управления системами различного назначения (экономическими, финансовыми, техническими и др.) неизбежно приходится сталкиваться с различными...

• Означення визначеного інтеграла та його зміст, Основні властивості визначеного інтеграла, Обчислення визначених інтегралів - Визначений інтеграл

  Нехай функція F (х) задана на відрізку [a, b] . Розіб'ємо цей відрізок на N частин точками ділення А = х0 < x1 < x2 < ... < хn = b У кожному...

• Элементы матричного анализа - Методы решения системы линейных уравнений

  Вектором, как на плоскости, так и в пространстве, называется направленный Отрезок , то есть такой Отрезок , один из концов которого выделен и называется...

• Диференціальні властивості тригонометричних поліномів, що апроксимують задану функцію - Дослідження якнайкращих наближень безперервних періодичних функцій тригонометричними поліномами

  У цьому параграфі встановлюється, що якщо тригонометричний поліном Tn(x) Близький до заданої функції F , то його модулі безперервності можна оцінити...

• Координація процесів - Економічна ефективність розподілених систем і паралельних обчислень

  Очевидно, що при програмуванні для однопотокового середовища в будь-який момент часу звертається до об'єкту лише 1 потік, то є гарантія що кожний метод...

• Рівняння електричної рівноваги, потокозчеплень та моменту трифазного асинхронного двигуна:, Розрахунок параметрів асинхронного двигуна за даними каталогу - Математичне моделювання динамічних режимів електромеханічних систем на основі асинхронних двигунів

  (1.1) , (1.2) , (1.3) . (1.4) Запишемо математичну модель короткозамкненого асинхронного двигуна в системі координат статора (a-b), записану через...

• Імовірнісна методика технологічного розрахунку підприємств інженерно-технічної служби

  Імовірнісна методика технологічного розрахунку підприємств інженерно-технічної служби Модель системи ТЕА-АСУ у вигляді СМО - це аналітико-імовірнісна...

• ТЕХНІКО - ЕКОНОМІЧНИЙ АНАЛІЗ ПРОЕКТНИХ РІШЕНЬ, Загальна характеристика прийнятого методу оцінки проектних рішень і його основних показників - АСУ підприємства підсистема фінансового аналізу ТОВ "Цегельний завод ім. М. Г. Миндру"

  Загальна характеристика прийнятого методу оцінки проектних рішень і його основних показників Головною метою розрахунку показників економічної...

• Суспензії

  Суспензії Суспензії - це дисперсні системи, в яких дисперсною фазою є частинки твердої речовини розміром, більше 10 -5 див., дисперсним середовищем -...

• Постановка задачі оптимального керування - Дослідження попиту годинників з метою оптимізації номенклатури на прикладі фірми "Годинникар"

  Стан об'єкта керування характеризується n-мірної вектор функцією, наприклад, функцією часуТак, шестивимірна вектор-функція часу цілком визначає положення...

• Теоретичні ПОЛОЖЕННЯ, Теоретичні основи оптимізаційних рішень - Дослідження попиту годинників з метою оптимізації номенклатури на прикладі фірми "Годинникар"

  Теоретичні основи оптимізаційних рішень Умови оптимальності у формі принципу максимуму дають, узагалі говорячи, достатню інформацію для рішення задачі...

• Правила диференціювання - Математичний аналіз

  Операція знаходження похідної від даної функції називається диференціюванням цієї функції. Доведемо ряд теорем, які дають основні правила знаходження...

• Висновки - Побудова архітектури підприємства з використанням методології ARIS

  У рефераті запропоновані критерії, виконання яких робить застосування ARIS дійсно ефективним Засобом для вирішення виділеного кола завдань. Хоча...

• Теореми про границі функцій, Перша чудова границя, Друга чудова границя, Неперервність функції в точці - Математичний аналіз

  Теорема 1. Нехай послідовності (хП) і (уП) мають відповідно границі а і b. Тоді послідовність (xN+yN) має границю а + b. Теорема 2. Нехай послідовності...

Лінійні неоднорідні рівняння, Властивості розв'язків лінійних неоднорідних систем - Лінійні різницеві рівняння зі сталими коефіцієнтами

Предыдущая | Следующая