Розв'язок систем однорідних рівнянь зі сталими коефіцієнтами матричним методом - Лінійні різницеві рівняння зі сталими коефіцієнтами

Досить універсальним методом розв'язку лінійних однорідних систем з сталими коефіцієнтами є матричний метод. Він полягає в наступному. Розглядається лінійна система з сталими коефіцієнтами, що записана у векторно-матричному вигляді

.

Робиться невироджене перетворення:

,

Де вектор - нова невідома векторна функція.

Тоді рівняння прийме вигляд

або.

Для довільної матриці завжди існує неособлива матриця, що приводить її до жорданової форми, тобто

,

Де - жорданова форма матриці. І система диференціальних рівнянь прийме вигляд

.

Складемо характеристичне рівняння матриці

, або.

Алгебраїчне рівняння - го ступеня має коренів. Розглянемо різні випадки.

1. Нехай - дійсні різні числа. Тоді матриця має вигляд

.

І перетворена система диференціальних рівнянь розпадається на - незалежних рівнянь

.

Розв'язуючи кожне окремо, отримаємо

.

Або в матричному вигляді

Де.

Звідси розв'язок вихідного рівняння має вигляд

.

Для знаходження матриці треба розв'язати матричне рівняння

або,

Де - жорданова форма матриці.

Якщо матрицю записати у вигляді

,

То для кожного з стовпчиків, матричне рівняння перетвориться до

, .

Таким чином, у випадку різних дійсних власних чисел матриця являє собою набір - власних векторів, що відповідають різним власним числам.

    2. Нехай - комплексний корінь. Тоді відповідна клітка Жордана має вигляд

,

А перетворена система диференціальних рівнянь

Неважко перевірити, що розв'язок отриманої системи диференціальних рівнянь має вигляд

Або в матричному вигляді

Таким чином, комплексно-спряженим власним числам

Відповідає розв'язок

Де

3. Нехай - кратний корінь, кратності, тобто і йому відповідають лінійно незалежних векторів. Тоді клітка Жордана, що відповідає цьому власному числу, має вид

І перетворена підсистема, що відповідає власному числу, розпадається не дві підсистеми

.

.

Розв'язок першої знаходиться з використанням зазначеного в першому пункті підходу. Розглянемо другу підсистему. Запишемо її в координатному вигляді

Розв'язок останнього рівняння цієї підсистеми має вигляд

.

Підставимо його в передостаннє рівняння. Одержуємо:

.

Загальний розв'язок лінійного неоднорідного рівняння має вигляд суми загального розв'язку однорідного і частинного розв'язку неоднорідних рівнянь, тобто

.

Загальний розв'язок однорідного має вигляд

.

Частинний розв'язок неоднорідного шукаємо методом невизначених коефіцієнтів у вигляді

,

Де - невідома стала.

Підставивши в неоднорідне рівняння, одержимо

.

Звідси

І загальний розв'язок неоднорідного рівняння має вигляд

.

Піднявшись ще на один крок нагору одержимо

.

Продовжуючи процес далі, маємо

.

Або у векторно-матричному вигляді

.

Додавши першу підсистему, одержимо

,

Для останніх двох випадків матриця знаходиться як розв'язок матричного рівняння

.

Похожие статьи




Розв'язок систем однорідних рівнянь зі сталими коефіцієнтами матричним методом - Лінійні різницеві рівняння зі сталими коефіцієнтами

Предыдущая | Следующая