Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность. Частные производные. - Методы решения системы линейных уравнений

Пусть u = f(x, y) - функция, определенная в области w. Рассмотрим точку М(х, у) О w и некоторое направление l, определяемое направляющими косинусами Cosa и Cosb = Sina (т. е. Cosa и Cosb - косинусы углов, образованных лучом l с положительным направлением осей координат Ох и Оу).

Рис. 14.1.

При перемещении в данном направлении l точки М(х, у) в точку М/(х + Dх, у + Dу) О w функция u = f(x, y) получает приращение

Du = f(х + Dх, у + Dу) - f(x, y), (14.1)

Которое называется приращением функции u в данном направлении.

Если ММ/ = Dl есть величина перемещения точки М, то из DМРМ/ получаем

(14.2)

Следовательно, DL u = f(х + Dх, у + Dу) - f(x, y).

Определение 14.1. Под производной функции u в данном направлении к величине перемещения при условии, что последняя стремится к нулю, т. е.

. (14.3)

Тогда частные производные, можно рассматривать как производные функции u в положительных направлениях осей координат Ох и Оу. Производная дает скорость изменения функции в направлении l.

Пусть u = f(x, y) - дифференцируема. Тогда, используя формулу полного дифференциала, будем иметь

,

Где e1 ® 0, e2 ® 0 при Dх ® 0, Dу ® 0. Тогда в силу соотношений (14.2) получаем

И, переходя к пределу при Dl ® 0 , что то же самое, что и Dх ® 0, Dу ® 0, имеем

. (14.4)

Замечание. Пусть u=f(x, y,z). Ее производная в направлении

L = нСos a, Cos b, Cos gэ будет.

Градиент и его свойства

Определение 14.2. Говорят, что в данной области w определено скалярное поле, если для каждой точки М О w задан некоторый скаляр (т. е. число)

U = f(M). (14.5)

Следовательно, U есть числовая функция точки.

Примерами скалярных полей являются:

    - температурное поле (т. е. распределение температуры в нагретом теле); - концентрация вещества в растворе.

Рис. 14.2.

Пусть w (т. е. область) расположена на плоскости Оху; тогда любая ее точка определена координатами (х, у). При этом плоское скалярное поле (14.5) может быть записано в виде

U = f(х, у), ((х, у) О w).

Аналогично в пространстве ОХуz

U = f(х, у,z), ((х, у,z) О w)

Таким образом, понятие скалярного поля представляет собой физическую трактовку функции нескольких переменных.

Определение 14.3. Будем говорить, что в данной области w определено векторное поле, если для каждой точки М О w задан некоторый вектор

(14.6)

Примеры.

    1. Поле скоростей в данный момент времени точек потока жидкости. 2. Силовое поле, создаваемое некоторым притягивающим центром.

Для плоского векторного поля (14.6) мы будем иметь вектор-функцию

A = F(x, y), ((х, у) О w) (14.7)

Отсюда, переходя к координатам вектора а, получим

АX = F1(x, y), аY = F2(x, y).

Таким образом, задание плоского векторного поля (14.7) равносильно заданию двух скалярных полей.

Аналогично для случая пространственного векторного поля

A = F(х, у,z), ((х, у,z) О w);

АX = F1(x, y,z),

АY = F2(x, y,z), (14.8)

АZ = F1(x, y,z).

В этом случае векторное поле эквивалентно трем скалярным полям.

Множество точек М, для которых скалярное поле (14.5) сохраняет постоянное значение f(M) = const, называется поверхностью (или линией) уровня скалярного поля (изоповерхностью).

Рис. 14.3.

Рис. 14.4.

Т. е. изоповерхность - это множество всех точек пространства ОXyz, где данная функция имеет одно и то же значение.

Определение 14.4. Пусть U=f(х, у) - дифференцируемая плоское скалярное поле (функция двух переменных). Тогда вектор

(14.9)

Называется градиентом поля.

Аналогично для пространства

Пусть U=f(х, у) - пространственное скалярное поле, тогда его градиент есть вектор

.

Таким образом, скалярное поле порождает векторное поле - поле градиентов.

Под производной скалярного поля в данном направлении l понимаем

Производная представляет собой скорость изменения поля в данном направлении.

Похожие статьи




Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность. Частные производные. - Методы решения системы линейных уравнений

Предыдущая | Следующая