Обчислення подвійних інтегралів в полярній системі координат - Вища математика

Відомо, що полярні координати довільної точки зв'язані з її декартовими координатами формулами (1)

Де

Поняття подвійного інтеграла в полярній системі координат аналогічне до означення подвійного інтегралу в декартовій системі координат. (О-1, лекція 10.1.).

(2)

Покажемо, що елементарна площа в полярній системі координат обчислюється за іншою формулою. Оскільки, згідно означення подвійного інтегралу, границя інтегральної суми не залежить від способу розбиття області (рис.2. лекція 10.1.), і способу вибору точки, то розіб'ємо цю область наступним чином.

Нагадаємо, що площа сектора обчислюється за формулою

Де - центральний кут в радіанах.

Тоді площа області в полярній системі координат дорівнює різниці площ двох секторів

де

Тоді згідно формул (1) і (2) матимемо

(3)

Де диференціал площі в полярній системі координат.

На практиці часто трапляється, що обчислити подвійний інтеграл в декартовій системі координат знано складніше ніж в полярній системі координат. Тоді користуються формулою заміни змінних у подвійному інтегралі, яка в загальному випадку має вигляд

(4)

Де - співвідношення, що виражають змінні через нові змінні u i v, а вираз - є елементом площі в криволінійних координатах u i v. Де визначник називається визначником Остроградського-Якоби, або Якобіаном.

Строге доведення формули (4) дав видатний український математик Михайло Васильович Остроградський. Якщо треба перейти в подвійному інтегралі до полярних координат, то з формул (1) матимемо

. Тоді. (5)

Обчислення подвійних інтегралів в полярній системі координат зводяться до повторного інтегрування

.

П-1. Обчислити подвійний інтеграл, де область обмежена кривими

Похожие статьи

• Застосування кратних та криволінійних інтегралів, Подвійний інтеграл, Зміна порядку інтегрування в подвійному інтегралі, Обчислення площ фігур за допомогою подвійного інтегралу, Обчислення об'єму тіла за допомогою подвійного інтегралу, Обчислення площ поверхонь за допомогою подвійного інтегралу, Фізичний додаток подвійного інтегралу - Застосування кратних та криволінійних інтегралів

  Подвійний інтеграл Зміна порядку інтегрування в подвійному інтегралі Хай маємо область D як показано на рис. 1: Рис. 1 І вона задається нерівностями:...

• Застосування потрійних інтегралів до задач геометрії та механіки - Вища математика

  1. Потрійний інтеграл в сферичній системі координат. Сферичними координатами точки називаються числа. Де - кут між віссю і радіус-вектором точки ; -...

• Обчислення потрійних інтегралів в декартових і циліфндричних кординатах - Вища математика

  1. Поняття потрійного інтеграла Розглянемо в просторі деяку замкнену область. Нехай в області і на її границі визначена деяка неперервна функія, де -...

• Застосування подвійних інтегралів до задач геометрії, Обчислення маси пластинки, статичних моментів, моментів інерції і координат центра мас - Вища математика

  Площа плоскої області обчислюється за формулою (6) У полярній системі координат формула (6) має вигляд (7) Об'єм циліндричного тіла, обмеженою зверху...

• Поняття базису. Координати векторів. Єдиність координат. Афінна система координат. Складова й проекція вектора на вісь. Властивості проекцій. Декартова прямокутна система координат - Основи вищої математики

  Визначення : Сукупність лінійно незалежних векторів, по яких відбувається розкладання інших векторів, називається Базисом . Отже, у площині можуть...

• Означення подвійного інтегралу та його властивості, Обчислення подвійного інтеграла - Вища математика

  З математичної точки зору розв'язки (1) і (2) мають однаковий зміст. О-1 Подвійним інтегралом від функції по області називається границя (3) За умови, що...

• Потрійний інтеграл, Обчислення потрійного інтегралу - Застосування подвійного і потрійного інтегралів

  Обчислення потрійного інтегралу Нехай область G розташована у тривимірній прямокутній системі координат. Вона обмежена знизу і зверху поверхнями z = (x,...

• Обчислення подвійного інтегралу - Застосування подвійного і потрійного інтегралів

  Обчислення подвійного інтегралу. Обчислення подвійного інтегралу за формулою (1.2) як границі інтегральної суми, так само як і у випадку визначеного...

• Застосування визначених інтегралів, Обчислення площ - Визначений інтеграл

  Обчислення площ Якщо на відрізку [а, b] функція F (х)0 , то згідно з форму-лою (4), обчислення площі криволінійної трапеції, зображеної на малюнку 1,...

• Криволінійний інтеграл І-го роду, Обчислення криволінійного інтегралу І-го роду, Механічний зміст криволінійного інтегралу І-го роду, Криволінійного інтеграла РР роду, Обчислення криволінійного інтегралу ІІ-го роду - Застосування кратних та криволінійних інтегралів

  У випадку криволінійного інтегралу функція інтегрується по кривій. Аналогічно для тривимірного простору: Обчислення криволінійного інтегралу І-го роду...

• Заміна змінних у потрійному інтегралі - Застосування подвійного і потрійного інтегралів

  Нехай обмежена, правильна, замкнена область G простору (х, y, z) взаємно однозначно відображається на область G* простору (u, v,w) за допомогою...

• Механічний зміст криволінійного інтегралу ІІ-го роду - Застосування кратних та криволінійних інтегралів

  Робота сили Якщо - сила, яка вздовж кривої L змінюється по величині та напрямку, то при переміщенні матеріальної точки одиничної маси під дією цієї сили...

• Найважливіші криві другого порядку, Системи координат: полярна, циліндрична й сферична - Основи вищої математики

  І. Визначення : Окружністю називається множина всіх точок площини, що перебувають на однаковій відстані, названій Радіусом , від фіксованої точки,...

• Означення визначеного інтеграла та його зміст, Основні властивості визначеного інтеграла, Обчислення визначених інтегралів - Визначений інтеграл

  Нехай функція F (х) задана на відрізку [a, b] . Розіб'ємо цей відрізок на N частин точками ділення А = х0 < x1 < x2 < ... < хn = b У кожному...

• Рішення систем лінійних однорідних рівнянь, Векторний добуток векторів. Визначення. Властивості, вираження через координати векторів співмножників. Застосування - Основи вищої математики

  Визначення : Алгебраїчні лінійні рівняння називаються однорідними, якщо в них вільний член дорівнює нулю. Розглянемо таку систему, що має вигляд: (10.1)...

• Система счисления и вычислительная техника египтян - История развития математики

  Расшифровка системы счисления, созданной в Египте во времена первой династии (ок. 2850 до н. э.), была существенно облегчена тем, что иероглифические...

• Системы счисления в Древней Греции - История развития математики

  В Древней Греции имели хождение две основных системы счисления - аттическая и ионическая. Аттическая система счисления использовалась греками,...

• Линейные уравнения и системы линейных уравнений над кольцом целостности - Евклидовость в математике

  Математическое предположение, которое может быть только истинным, или ложным, "существует столбец значений неизвестных такой, что соответствующие этому...

• Деякі застосування потрійних інтегралів - Застосування подвійного і потрійного інтегралів

  Задачі механіки. Нехай речовину неперервно розподілено в тривимірній області G з густиною (x, y,z) = (N). Розділемо G на елементарні частини. Маса...

• Методи наближеного обчислення - Визначений інтеграл

  Для деяких неперервних надінтегральних функцій F (х) первісну не можна виразити елементарними функціями. У цих випадках обчислення визначного інтеграла...

• Заміна змінних у подвійному інтегралі - Застосування подвійного і потрійного інтегралів

  Нехай функція f(x, у) неперервна в деякій замкненій і обмеженій області D і існує інтеграл: I=. Припустимо, що за допомогою формул Х = x(u, v), у = у(и,...

• Сферические координаты - Интегральное и дифференциальное исчисление

  Пусть Где R - радиус-вектор точки М , т. е. R - расстояние от точки М до начала координат: Ц - угол между положительными направлением оси 0X и лучом (-...

• Кривые сложения . Диаграмма цветности ху - Основные колориметрические системы

  Как было сказано ранее, при разработке колориметрической системы XYZ было поставлено условие, что реальные цвета не должны иметь отрицательных координат....

• Ранг матриці. Еквівалентні перетворення матриці Трапецевидна матриця і її ранг. Обчислення рангу матриці - Основи вищої математики

  Визначення : Нехай дана матриця А=(mn), тоді мінором порядку "k" називають визначник, складений з елементів цієї матриці, якщо в неї викреслити (m--k)...

• Інтегральне числення функції кількох змінних. - Вища математика

  Розглянемо функцію двох змінних, областю визначення якої є деяка квадровна область. Зауважимо, що коли межа області складається із численного числа...

• Частинні похідні функції двох змінних - Вища математика

  Розглянемо ф-ю втрачену в деякому околі точки. 1) Зафіксуємо змінну. Дістанемо функцію однієї змінної. Якщо змінній в точці надано приріст, то отримаємо...

• Границя функції, Неперервність - Вища математика

  Нехай функція визначена в деякому околі точки. Околом точки називається сукупність усіх точок таких, що віддаль О-2. (Гепрія Гейне (1821-1881)- нім....

• Функції багатьох змінних - Вища математика

  Для функції однієї змінної залежна змінна, тобто функція, повністю визначається (залежить) за значенням однієї незалежної змінної. П-1. Об'єм кулі Але...

• Уравнение линии на плоскости - Методы решения системы линейных уравнений

  Как известно, любая точка на плоскости определяется двумя координатами в какой - либо системе координат. Системы координат могут быть различными в...

• Пряма в просторі - Основи вищої математики

  І. Загальне рівняння прямої Пряму в просторі найчастіше задають як перетинання двох площин І площина А 1 Х + В 1 Y + C 1 Z + D =0 ІІ площина А 2 Х + В 2...

• Пряма на площині. Площина в просторі - Основи вищої математики

  Пряма в просторі І. Пряма на площині 1. Рівняння прямої, що проходить через дану точку перпендикулярно даному вектору Нехай на площині ХО задана точка М...

• Лінійні неоднорідні рівняння, Властивості розв'язків лінійних неоднорідних систем - Лінійні різницеві рівняння зі сталими коефіцієнтами

  Система диференціальних рівнянь, що записана у вигляді Чи у векторно-матричному вигляді Називається системою лінійних неоднорідних диференціальних...

• Метод Гауса - Основи вищої математики

  ( Карл Фрідріх Гаус (1777-1855) іноземний член Петербурзької АН (1824), німецький математик. Праці: вища алгебра, диференціальна геометрія, математична...

• Розв'язок систем однорідних рівнянь зі сталими коефіцієнтами матричним методом - Лінійні різницеві рівняння зі сталими коефіцієнтами

  Досить універсальним методом розв'язку лінійних однорідних систем з сталими коефіцієнтами є матричний метод. Він полягає в наступному. Розглядається...

• Системи лінійних алгебраїчних рівнянь - Основи вищої математики

  1. Будемо розглядати систему з "m" лінійних алгебраїчних рівнянь із "n" невідомими (8.1) Рішенням такої системи називається такий набір чисел Х 1, Х 2,...

• Лінійні однорідні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами, Розв'язування систем однорідних рівнянь з сталими коефіцієнтами методом Ейлера - Лінійні різницеві рівняння зі сталими коефіцієнтами

  Система диференціальних рівнянь вигляду Де - сталі величини, називається лінійною однорідною системою з сталими коефіцієнтами. У матричному вигляді вона...

• Принципы измерения цвета - Основные колориметрические системы

  Для воспроизведения цвета необходимо знать характеристики как воспроизводимого объекта, так и полученного результата (например, цветной оригинал и его...

• СТРУКТУРНЫЕ СВОЙСТВА СИСТЕМ, Структурная целостность (связность) - Системная революция и принцип дуального управления

  Структурная целостность (связность) В системно-физическом плане внутренняя связность (связность) системы проявляется в наличии внутренних...

• Застосування подвійного і потрійного інтегралів, Застосування подвійного інтегралу до задач механіки - Застосування подвійного і потрійного інтегралів

  Застосування подвійного інтегралу до задач механіки Статичні моменти. Центр маси пластини. Нехай матеріальна пластина в площині Оху має форму області D;...

• ТОЧКА В ОРТОГОНАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ ТРЕХ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ - Основы моделирования геометрических объектов

  В практике изображения различных геометрических объектов, чтобы сделать проекционный чертеж более ясным, возникает необходимость использовать третью -...

Обчислення подвійних інтегралів в полярній системі координат - Вища математика

Предыдущая | Следующая