Примеры решения - Элементы теории вероятностей и математической статистики

Задача 1. Из 25 контрольных работ, среди которых 5 оценены на "отлично", наугад извлекают 3 работы. Составить закон распределения случайной величины Х - числа работ, оцененных на "отлично", среди отобранных работ. Найти функцию распределения F(X) случайной величины X и построить ее график. Найти для X ее среднее значение (математическое ожидание M(X)), дисперсию D(X), среднее квадратическое отклонение и моду. Найти вероятность, где A=x2, b=xN-1 двумя способами: используя функцию распределения и непосредственно по таблице распределения.

Решение: Пусть случайная величина X - число работ, оцененных на "отлично" среди трех отобранных. Так как из 25 контрольных работ 5 оценены на "отлично" и выбирается из них 3 работы, то случайная величина X может принимать следующие значения:

Найдем вероятности того, что случайная величина Х Примет соответствующие значения. Заметим, что решение задачи о нахождении вероятности события (Х=0), то есть Р(Х=0), Как впрочем, и решение задач о нахождении следующих вероятностей Р(Х=1), Р(Х=2), Р(Х=3), Может быть найдено с помощью известной формулы:

Где N- общее количество исходов, M - количество исходов, благоприятствующих появлению события А.

В этой задаче событие А Состоит в том, что среди отобранных работ, число работ, оцененных на "отлично", равно K; K последовательно принимает значения 0, 1, 2 и 3; N - количество способов выбора трех работ из 25 - общего количества работ; M - количество способов выбора K работ, оцененных на "отлично", из общего количества работ.

Предварительно найдем число сочетаний из 25 по 3 (число способов, которыми можно из 25 контрольных работ извлечь 3):

.

Для (X=0) число исходов, благоприятствующих появлению события А, Может быть вычислено по формуле:

.

Тогда.

.

.

.

Тогда искомый закон распределения примет вид:

X

0

1

2

3

Pi

0,496

0,413

0,087

0,004

Убедимся, что сумма вероятностей равна единице:

.

Проведем все эти расчеты в MS Excel.

Математическое ожидание (среднее значение) дискретной случайной величины X найдем по формуле (1.3). Пример реализации в MS Excel дан на рис. 1.3, интервал D20:D25. дискретная непрерывная случайная вероятность

В результате получаем .

Дисперсию дискретной случайной величины X найдем двумя способами.

Первый способ - по формуле (1.5), по определению дисперсии. Эти вычисления реализованы в MS Excel (рис. 1.3), интервал ячеек F20:F25.

В результате получаем .

Второй способ - по формуле (1.6) по свойству дисперсии. Предварительно необходимо вычислить математическое ожидание квадрата дискретной случайной величины X - . Пример реализации в MS Excel дан на рис. 1.3, интервал ячеек E20:E25. В результате получаем .

Тогда дисперсия равна:

.

Оба значения, полученные разными способами, совпали.

Среднее квадратическое отклонение:

.

Вычислим моду. Для этого можно по таблице распределения (интервал B20:C25) найти XI, которому соответствует наибольшее значение вероятности PI.

Другой способ - анализируя полигон распределения, найдем XI, которому соответствует самое большое значение PI. Очевидно, что =0.

решение задачи 1 в ms excel (начало)

Рис. 1.3. Решение задачи 1 в MS Excel (начало)

Вычислим коэффициент вариации V(Х) по формуле (1.8):

.

Построим многоугольник распределения по заданному распределению, используя графические средства MS Excel.

Для нахождения функции распределения воспользуемся формулой (1.11).

В нашем примере имеем:

Таким образом, функция распределения примет вид:

.

Рис. 1.4. Решение задачи 1 в MS Excel (окончание)

В MS Excel эти расчеты реализованы в интервале ячеек D55:D59 (рис. 1.4), на том же листе построена "заготовка" для графика функции распределения. Далее эту "заготовку" следует достроить вручную до корректного графика (нанести стрелки и подписи по оси ординат), как на рис. 1.2. Эту операцию по превращению полученной диаграммы EXCEL в корректную функцию распределения необходимо производить для всех распределений в данной работе (рис. 1.6 и рис. 1.8).

Найдем вероятность, где A=x2, B=xN.

В данном случае X2=1, XN=3, т. е. требуется найти.

Первый способ - используем функцию распределения:

.

Второй способ - по таблице распределения.

Событие, состоящее в том, что СВ Х примет значения в промежутке может реализоваться только в том случае, когда СВ принимает значения или. Таким образом,

.

Задача 2. Стрелок производит три выстрела в цель. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,2. Составить закон распределения числа попаданий в цель (случайная величина X). Найти функцию распределения случайной величины X F(X) и построить ее график. Найти среднее значение (математическое ожидание) M(X), дисперсию D(X) и моду СВ Х. Найти вероятность, где A=x2, B=xN-1 двумя способами: с помощью функции распределения и непосредственно по таблице распределения СВ Х.

Решение: Пусть случайная величина X - число попаданий в цель при трех выстрелах.

Обозначим N - число выстрелов, Р- вероятность попадания при каждом выстреле, Q - Вероятность промаха при каждом выстреле Q =1- р. По условию имеем Р=0,2; Q=0,8; n=3.

Заметим, что при N=3 Случайная величина X может принимать следующие значения: Х 1=0, х 2=1, х 3=2, х 4=3. Отметим, что испытания проводятся по схеме Бернулли. Действительно, число испытаний конечно и каждое испытание является независимым. В каждом испытании наблюдается либо "успех" (попал в цель), либо "неуспех" (не попал в цель или промахнулся). Вероятность удачи в каждом испытании постоянна. Так как испытания проводятся по схеме Бернулли, то можно утверждать, что случайная величина X имеет биномиальное распределение и соответствующие вероятности вычисляются по формуле Бернулли:

Найдем соответствующие вероятности для данного примера:

.

.

.

.

Тогда искомый закон распределения примет вид:

X

0

1

2

3

P

0,512

0,384

0,096

0,008

Убедимся, что сумма вероятностей равна единице:

.

Заметим, что для биномиального распределения математическое ожидание и дисперсию легко вычислить по формулам:

Математическое ожидание M(X)= n p =3- 0,2 =0,6;

Дисперсия D(X) = n p q =3- 0,2 -0,8 = 0,48.

Найдем вероятность, где A=x2, b=xN. В данном случае X2=1, XN=3, т. е. требуется найти.

Первый способ - используя функцию распределения.

.

Второй способ - по таблице распределения.

Событие, состоящее в том, что СВ примет значения в промежутке может реализоваться только в том случае, когда СВ равна 1 или 2. Таким образом,

.

решение задачи 2 в ms excel

Рис. 1.5. Решение задачи 2 в MS Excel

Рис. 1.6. Решение задачи 2 в MS Excel (продолжение)

Задача 3. Телефонная станция получает в час в среднем 300 вызовов.

Составить закон распределения количества вызовов, полученных станцией за одну минуту (случайная величина X). Построить Многоугольник (Полигон) распределения для иллюстрации распределения СВ X. Найти среднее значение (математическое ожидание M(X)), дисперсию D(X), среднее квадратическое отклонение и моду СВ X. Вычисление математического ожидания M(X)), дисперсии D(X), среднее квадратического отклонения провести двумя способами: приближенно, используя таблицу распределения, взяв первые 20 значений СВ, и аналитически, используя тот факт, что рассматривается распределение Пуассона.

Найти функцию распределения F(X) случайной величины X и построить ее график. Какова вероятность того, что за одну минуту станция получит не менее 4 вызовов и не более 8?

Решение: Проведем все вычисления в MS Excel, рис. 1.7-1.8.

Очевидно, что СВ X - количество вызовов, полученных станцией за одну минуту, распределено по закону Пуассона. Определим параметр л. В данном случае л=N/60 =300/60=5.

Распределение Пуассона определяется соотношением (1.14), для данной задачи:

На рис. 1.7 в интервале ячеек A5:B26 представлены первые 20 значений искомого распределения. Ячейка B6 содержит формулу:

B6=$C$4^A6/ФАКТР(A6)*EXP(-$C$4),

Остальные значения этого столбца заполняются копированием.

Вычисление Математического ожидания M(X)), дисперсии D(X), среднего квадратического отклонения выполнено по формулам (1.3)-(1.6). Порядок вычисления такой же, как в задачах 1 и 2. Заметим, что эти формулы в данном случае не являются точными, поскольку случайная величина принимает бесконечное множество значений, а в вычислениях удержаны только 20 первых слагаемых (погрешность можно вычислить самостоятельно). Тогда, M(X)=л=4,999998; D(X)=л=4,999978;

.

Аналитически вычисление математического ожидания M(X), дисперсии D(X), среднего квадратического отклонения исключительно просто.

M(X)=л=5, D(X)=л=5, .

Сравнивая вычисленные характеристики, приходим к выводу, что результаты совпадают с точностью до 10-5.

Коэффициент вариации V(x):

.

Данное распределение двумодальное (имеет два одинаковых наибольших значения). Очевидно, что равна 4 и 5.

Многоугольник (или Полигон) распределения Построен на рабочем листе в строках 35:50.

решение задачи 3 в ms excel (начало)

Рис. 1.7. Решение задачи 3 в MS Excel (начало)

Найдем приближенно функцию распределения F(X) случайной величины X и построим ее график. Таблица значений функции распределения для первых 12 интервалов приведена в строках 52:67, график функции распределения для первых 12 интервалов приведен в строках 67:89.

Найдем вероятность того, что за одну минуту станция получит не менее 4 и не более 8 вызовов, т. е. найдем.

Первый способ использует функцию распределения:

,

Тогда,

решение задачи 3 в ms excel (окончание)

Рис. 1.8. Решение задачи 3 в MS Excel (окончание)

Второй способ использует непосредственно таблицу распределения.

Очевидна следующая формула:

Для вычисления по этой формуле в ячейку H96 введем формулу:

H96 =СУММ(B10:B14),

В результате получим то же значение, равное 0,6669 (рис. 1.9).

решение задачи 3 в ms excel

Рис. 1.9. Решение задачи 3 в MS Excel

Похожие статьи




Примеры решения - Элементы теории вероятностей и математической статистики

Предыдущая | Следующая