Точечная оценка математического ожидания, Свойства математического ожидания, Заключение - Математическое ожидание случайной величины

Математическое ожидание генеральной совокупности назовем генеральной средней, т. е.

.

Теорема. Выборочное среднее есть состоятельная и несмещенная оценка генеральной средней.

Доказательство. Вначале покажем, что есть состоятельная оценка для, т. е.

.

По следствию из теоремы Чебышева для одинаково распределенных случайных величин имеем

.

Так как, то используя свойства математического ожидания, получим

Свойства математического ожидания

Для случайной величины дискретного типа (СВДТ) и непрерывного типа (СВНТ) математическое ожидание находится по формулам [4]

MX = M[X] =

Математическое ожидание существует, если ряд (соответственно интеграл) в правой части формулы сходится абсолютно. Если mX = 0, то СВ Х называется центрированной (обозначается ).

Свойства математического ожидания:

M[C] = C, где С - константа;

M[CX] = CM[X];

M[X+Y] = M[X]+M[Y], для любых СВ X и Y;

Заключение

Математическое ожидание - одно из центральных понятий математической статистики, отражает наиболее ожидаемое значение случайной величины. Но она является хорошей характеристикой, когда плотность распределения "симметрична", как у нормального закона [2]. В ином случае она не является адекватной характеристикой. Тем не менее, математическое ожидание используется для определения законов распределения, проверки множества гипотез и имеет огромное значение в статистике и многих других дисциплин, используется в практической деятельности.

Похожие статьи




Точечная оценка математического ожидания, Свойства математического ожидания, Заключение - Математическое ожидание случайной величины

Предыдущая | Следующая