Математическое ожидание - Основы научных исследований

Интегральная и дифференциальная функции распределения являются исчерпывающими статистическими характеристиками любой случайной величины. Однако многие свойства случайных величин удобнее выражать Параметрами статистических совокупностей, среди которых важнейшими являются Математическое ожидание М(х) и Дисперсия У2(х).

Очевидно, что о свойствах случайной величины очень многое говорит ее среднее значение

, (6.4)

Которое еще называется простым средним.

Более точной характеристикой является среднее взвешенное

, (6.5)

Где MI - количество i-тых значений случайной величины.

Т. к. статистической вероятностью является отношение

,

То среднее взвешенное можно представить в виде

. (6.6)

Выражение (6.6) является математическим ожиданием для дискретных случайных величин при условии, что N равно всем значениям данной случайной величины.

Математическим ожиданием называется средневзвешенное значение случайной величины, если оно вычисляется по всем значениям, которые может принимать данная случайная величина.

Поскольку все значения случайной величины называются ее генеральной совокупностью, то математическое ожидание является генеральным средним, т. е. средним по генеральной совокупности.

Математическое ожидание характеризует положение центра распределения случайной величины. На рисунке 6.5 показаны два распределения с разными математическими ожиданиями М(х1) > м(х2):

Рисунок 6.5 Распределения с разными математическими ожиданиями

Важно, что М(х) Является одним из значений случайной величины и находится на оси абсцисс.

Для непрерывных случайных величин М(х) Определяется выражением:

(6.7)

При условии, что интеграл (6.7) сходится.

Название "математическое ожидание" происходит от термина "ожидаемое значение выигрыша", введенного Б. Паскалем и Х. Гюйгенсом при разработке основ теории вероятностей на основе задач из практики азартных игр. "Ожидаемое значение выигрыша" равно произведению случайной величины на вероятность его появления. Нетрудно видеть, что под интегралом (6.7) находится это произведение. Сам термин "математическое ожидание" был введен П. С.Лапласом в 1795г.

Математическое ожидание обладает рядом простых свойств:

    1. М(с)=с, где С - константа; 2. М(сх)=с м(х); 3. М(с+х)=с+ м(х),

Которые доказываются в теории вероятностей.

Похожие статьи




Математическое ожидание - Основы научных исследований

Предыдущая | Следующая