Теория вероятностей
Контрольная работа
По дисциплине: Теория вероятностей
Контрольная работа № 1
Вариант 1
Задача № 1
Условие:
Из 10 изделий, среди которых 4 бракованные, извлекают 3. Найти вероятность того, что среди них одно бракованное.
Решение:
Число N всех равновероятных исходов испытания равно числу способов, которыми можно из 10 деталей вынуть три, т. е. числу сочетаний из 10 элементов по 3:
По условию задачи из трех извлеченных изделий одно бракованное, а два годные. Таким образом MA:
Найдем вероятность события, при котором из 3 извлеченных наугад деталей одна окажется бракованной:
Ответ: Вероятность события, при котором из 3 извлеченных наугад деталей одна окажется бракованной равна 0,5
Задача № 2
Условие:
Известны вероятности независимых событий А, В И С:
Р (А) = 0,5; Р (В) = 0,4; Р (С) = 0,6.
Определить вероятность того, что а) произойдет по крайней мере одно из этих событий, б) произойдет не более 2 событий.
Решение:
А) Для того чтобы найти вероятность того, что произойдет хотя бы 1 событие, найдем вероятность того, что ни одно событие не произойдет (обозначим эту вероятность P0). Так как события независимы по условию, вероятность P0 равна произведению вероятностей того, что не произойдет каждое отдельное событие.
Таким образом, вероятность того, что не произойдет:
Событие А: А0 = 1 - 0,5 = 0,5
Событие В: В0 = 1 - 0,4 = 0,6
Событие С: С0 = 1 - 0,6 - 0,4
Воспользуемся правилом умножения вероятностей и получим вероятность того, что ни одно событие не произойдет:
P0= А0*В0*С0 = 0,5*0,6*0,4 = 0,12
Ситуация, при которой не произойдет ни одно событие, и ситуация, при которой произойдет хотя бы одно событие, образуют полную систему событий. Сумма вероятностей этих событий равна единице. Поэтому искомая вероятность P удовлетворяет уравнению:
P + P0 = 1, откуда следует, что
P = 1 - P0 = 1 - 0,12 = 0,88.
Б) Для того, чтобы найти вероятность того, что произойдет не более 2 событий, найдем вероятность того, что произойдут все три события, и обозначим как Р1:
Р1 = А*В*С = 0,5*0,4,*0,6 = 0,12
Ситуация, при которой произойдут все 3 события, и ситуация, при которой произойдет не более 2 событий (от 0 до 2), составляют полную систему событий. Сумма вероятностей этих событий равна единице. Поэтому искомая вероятность P удовлетворяет уравнению:
P + Р1 = 1, откуда следует, что
P = 1 - Р1 = 1 - 0,12 = 0,88.
Ответ:
- А) вероятность того, что произойдет по крайней мере одно событие, равна 0,88 Б) вероятность того, что произойдет не более двух событий, равна 0,88
Задача № 3
Случайный величина вероятность дисперсия
Условие:
Вероятности попадания в цель: первого стрелка - 0,6; второго - 0,7; третьего - 0,8. Найти вероятность хотя бы одного попадания в цель при одновременном выстреле всех трех.
Решение:
Для того чтобы найти вероятность попадания в цель хотя бы 1 стрелка, найдем вероятность того, что ни один из стрелков не попадет в цель (обозначим эту вероятность через P0). Так как попадания различных стрелков в цель следует считать независимыми событиями, вероятность P0 равна произведению вероятностей того, что промажет каждый из стрелков.
Событие, состоящее в том, что некоторый стрелок попадет в цель, и событие, состоящее в том, что он промажет, составляют полную систему событий. Сумма вероятностей двух этих событии равна единице.
Таким образом, вероятность того, что
- А) промажет 1 стрелок равна: 1 - 0,6 = 0,4 Б) промажет 2 стрелок равна: 1 - 0,7 = 0,3 В) промажет 3 стрелок равна: 1 - 0,8 = 0,2
Воспользуемся правилом умножения вероятностей и получим вероятность того, что промажут все трое стрелков:
P0= 0,4*0,3*0,2 = 0,024
Событие, состоящее в том, что не попадет в цель ни один из стрелков, и событие, состоящее в том, что попадет хотя бы один, образуют полную систему событий. Сумма вероятностей этих событий равна единице. Поэтому искомая вероятность P удовлетворяет уравнению:
P + P0 = 1, откуда следует, что
P = 1 - P0 = 1 - 0,024 = 0,976
Ответ: Вероятность попадания в цель хотя бы одного стрелка при одновременном выстреле всех трех равна 0,976 (или 97,6%)
Задача № 4
Условие:
Известно, что 80% продукции стандартно. Упрощенный контроль признает годной стандартную продукцию с вероятностью 0,9 и нестандартную с вероятностью 0,3. Найти вероятность того, что признанное годным изделие - стандартно.
Решение:
1) Найдем вероятность того, что стандартная продукция будет признана годной:
Р1 = 0,8*0,9 = 0,72 (72% продукции)
2) Найдем вероятность того, что нестандартная продукция будет признана годной:
Р2 = 0,2*0,3 = 0,06 (6% продукции)
- 3) Таким образом, упрощенный контроль признает годной Р1 + Р2 = 0,82 (82% продукции) 4) Найдем вероятность того, что признанное годным изделие - стандартно: 0,8*0,82 = 0,656
Ответ: Вероятность того, что признанное годным изделие - стандартно, равна 0,656.
Задача № 5
Условие:
Имеется 4 радиолокатора. Вероятность обнаружить цель для первого - 0,86; для второго - 0,9; для третьего - 0,92; для четвертого - 0,95. Включен один из них. Какова вероятность обнаружить цель?
Решение:
Обозначим через А событие - цель обнаружена, а возможные события (гипотезы) обнаружения цели 1-м, 2-м, 3-м или 4-м локаторами - через, соответственно, В1, В2, В3 и В4.
По условию задачи включен один из четырех локаторов, следовательно, вероятность обнаружения цели:
Р (В1) = Р (В2) = Р (В3) = Р (В4) = 14.
Соответствующие условные вероятности (по условию задачи) обнаружения цели равны:
Р (A|В1) = 0,86; Р (A|В2) = 0,9; Р (A|В3) = 0,92; Р (A|В4) = 0,95.
Таким образом, согласно формуле полной вероятности, искомая вероятность обнаружения цели равна:
Ответ: Вероятность обнаружения цели равна 0,9075
Контрольная работа № 2
Вариант 1.
Задача № 1
Условие:
Известна вероятность события А: Р (А) = 0,3. Дискретная случайная величина - число появлений А в трех опытах. Построить ряд распределения случайной величины ; найти ее математическое ожидание M и дисперсию D.
Решение:
1) Вычислим вероятности Р (хI) По формуле Бернулли:
, где, Р = 0,3; Q = 1 - Р = 0,7; N = 3; Х = .
Таким образом, получим ряд распределения случайной величины :
Значения |
0 |
1 |
2 |
3 |
Вероятности Р (хI) |
0,343 |
0,441 |
0,189 |
0,027 |
Графически ряд распределения случайной величины выглядит следующим образом:
2) Найдем математическое ожидание M:
Математическим ожиданием M Дискретной случайной величины называется сумма парных произведений всех возможных значений случайной величины на соответствующие им вероятности, т. е.
3) Найдем дисперсию D:
Дисперсией D дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания, т. е.:
Ответ:
Ряд распределения Случайной величины :
Значения |
0 |
1 |
2 |
3 |
Вероятности Р (хI) |
0,343 |
0,441 |
0,189 |
0,027 |
Математическое ожидание M = 0,9;
Дисперсия D = 0,63
Задача № 2
Условие:
Распределение дискретной случайной величины содержит неизвестные значения Х1 и Х2 (Х1 < Х2):
XI |
Х1 |
Х2 |
РI |
0,4 |
0,6 |
Известны числовые характеристики случайной величины: М = 3,6; D = 0,24. Требуется определить значения Х1 и Х2.
Решение:
Поскольку
, 0,4х1 + 0,6х2 = 3,6
Для того, чтобы найти х1 И Х2, необходимо решить систему уравнений:
Выразим из первого уравнения х1 И подставим во второе:
Решаем второе уравнение:
Умножим всю строку на 5:
Умножим всю строку на 2:
Разделим на 3:
Учитывая условие х1 < Х2, получаем, что подходит только 1 вариант.
Ответ: Х1 = 3, Х2 = 4
Задача № 3
Условие
Плотность вероятности непрерывной случайной величины задана следующим выражением:
Если 0 < X <1,при других Х
Найти постоянную С, функцию распределения F (x), математическое ожидание М и дисперсию D случайной величины.
Решение:
Свойство плотности распределения:
,
Получаем, что С = 3.
,
Математическое ожидание:
Дисперсия:
Ответ: С = 3, М = ѕ, D = 3/80
Задача № 4.
Условие:
Случайная величина имеет нормальное распределение с математическим ожиданием A = 56 и среднеквадратичным отклонением = 8. Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, вероятность попадания в который равна Р = 0,95
Решение:
Поскольку, по условию задачи, случайная величина имеет нормальное распределение, а также известна вероятность Р = 0,95, то является возможным использование правила трех сигм, а именно данной его части:
Подставив имеющиеся по условию задачи данные, получим следующий интервал, симметричный относительно математического ожидания:.
Ответ: .
Задача № 5.
Условие:
Известно распределение системы двух дискретных величин (, ).
1 |
2 |
3 |
4 | |
0 |
0,16 |
0,12 |
0,14 |
0,08 |
1 |
0,08 |
0,10 |
0,09 |
0,08 |
2 |
0,06 |
0,04 |
0,03 |
0,02 |
Определить частные, условные (при = 1, = 0) распределения и числовые характеристики системы случайных величин m, D, m, D, K,, r,; а также найти вероятность попадания двумерной случайной величины (, ) в область
.
Решение:
Частное распределение для получается суммированием вероятностей в столбцах:
Р ( = 1) = Р ( = 1, = 0) + Р ( = 1, = 1) + Р ( = 1, = 2) = 0,16 + 0,08 + 0,06 = 0,3
Р ( = 2) = Р ( = 2, = 0) + Р ( = 2, = 1) + Р ( = 2, = 2) = 0,12 + 0,10 + 0,04 = 0,26
Р ( = 3) = Р ( = 3, = 0) + Р ( = 3, = 1) + Р ( = 3, = 2) = 0,14 + 0,09 + 0,03 = 0,26
Р ( = 4) = Р ( = 4, = 0) + Р ( = 4, = 1) + Р ( = 4, = 2) = 0,08 + 0,08 + 0,02 = 0,18
Частное распределение для получается суммированием вероятностей в строках:
Р ( = 0) = Р ( = 0, = 1) + Р ( = 0, = 2) + Р ( = 0, = 3) + Р ( = 0, = 4) = 0,16 + 0,12 + 0,14 + 0,08 = 0,5
Р ( = 1) = Р ( = 1, = 1) + Р ( = 1, = 2) + Р ( = 1, = 3) + Р ( = 1, = 4) = 0,08 + 0,10 + 0,09 + 0,08 = 0,35
Р ( = 2) = Р ( = 2, = 1) + Р ( = 2, = 2) + Р ( = 2, = 3) + Р ( = 2, = 4) = 0,06 + 0,04 + 0,03 + 0,02 = 0,15
Полученные данные можно представить в виде таблицы:
1 |
2 |
3 |
4 | ||
0 |
0,16 |
0,12 |
0,14 |
0,08 |
0,5 |
1 |
0,08 |
0,10 |
0,09 |
0,08 |
0,35 |
3 |
0,06 |
0,04 |
0,03 |
0,02 |
0,15 |
0,3 |
0,26 |
0,26 |
0,18 |
Вычислим математическое ожидание m:
Вычислим математическое ожидание m:
Вычислим дисперсию D:
Вычислим дисперсию D:
Условное распределение /=0:
1 |
2 |
3 |
4 |
Условное распределение /=1:
0 |
1 |
3 |
Вычислим ковариацию K,:
Вычислим коэффициент корреляции r,:
Вероятность попадания двумерной случайной величины (, ) в область:
- эллипс.
1 |
2 |
3 |
4 | |
0 |
0,16 |
0,12 |
0,14 |
0,08 |
1 |
0,08 |
0,10 |
0,09 |
0,08 |
2 |
0,06 |
0,04 |
0,03 |
0,02 |
К необходимому условию подходят только точки (1; 0) и (2;)
Ответ: M = 2,32, D = 1,1776, m = 0,80, D =1,06, K, = - 0,056, r, = - 0,0501.
Вероятность попадания двумерной случайной величины (, ) в область:
= 0,028 (2,8%).
Похожие статьи
-
Вопросы по теории вероятностей - Случайные величины
Основные понятия теории вероятностей: события, вероятность события, частота события, случайная величина. Сумма и произведение событий, теоремы сложения и...
-
Обозначим вероятность соответствующих событий через Pi - Случайные величины
, Так как рассматриваемые события образуют полную группу не совместных событий, то Х полностью описана с вероятностной точки зрения, если мы зададим...
-
Моменты распределений дискретных случайных величин. - Распределение вероятности случайных величин
Итак, закон распределения вероятностей дискретной СВ несет в себе всю информацию о ней и большего желать не приходится. Не будет лишним помнить, что этот...
-
применяем 2е теоремы: -формула полной вероятности Теорема гипотез (формула Байеса). Пусть вероятность полной группы не совместных гипотез H1, H2, ..., Hn...
-
Теория вероятностей и математическая статистика
Задача 1 Малое предприятие имеет два цеха - А и В. Каждому установлен месячный план выпуска продукции. Известно, что цех А свой план выполняет с...
-
Математическим ожиданием случайной величины х (М[x])называется средне взвешенно значение случайной величины причем в качестве весов выступают вероятности...
-
Нормальное распределение, также называемое распределением Гаусса, - распределение вероятностей, которое играет важнейшую роль во многих областях знаний,...
-
Непрерывные величины - возможные значение, которых непрерывно заполняют некоторый диапазон. Плотность распределения вероятности непрерывной случайной...
-
Взаимосвязи случайных событий - Основы теории систем и системного анализа
Вернемся теперь к вопросу о случайных событиях. Здесь методически удобнее рассматривать вначале простые события (может произойти или не произойти)....
-
Методы непараметрической статистики - Основы теории систем и системного анализа
Использование классических распределений случайных величин обычно называют "параметрической статистикой" - мы делаем предположение о том, что...
-
Вероятность возврата депозита Надежность первого банка - 0,95, для второго - 0,8, для третьего - 0,85. Предприниматель совершил вклад во все три банка....
-
Нормальное распределение - Распределение вероятности случайных величин
Первым, фундаментальным по значимости, является т. н. Нормальный закон Распределения непрерывной случайной величины X, для которой допустимым является...
-
Односторонние и двухсторонние значения вероятностей - Распределение вероятности случайных величин
Если нам известен закон распределения СВ (пусть - дискретной), то в этом случае очень часто приходится решать задачи, по крайней мере, трех стандартных...
-
Математическое ожидание, дисперсия Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными...
-
Законы распределений дискретных случайных величин. - Распределение вероятности случайных величин
Пусть некоторая СВ является дискретной, т. е. может принимать лишь фиксированные (на некоторой шкале) значения X I. В этом случае ряд значений...
-
При решении экономических задач часто анализировать ситуации, в которых сталкиваются интересы двух или более конкурирующих сторон, преследующих различные...
-
В 1930 году Дж. Биркгофом и Дж. фон Нейманом была сформулирована и доказана одна из основных эргодических теорем - теорема о предельных вероятностях:...
-
Опытом называется всякое осуществление определенных условий и действий, при которых наблюдается изучаемое случайное явление. Опыты можно характеризовать...
-
ТВ-раздел математики, в которой используются различные разделы математики для своего развития. Задача: выяснение закономерностей, возникающих при...
-
Модели теории игр. Основные определения и термины В разных областях целенаправленной деятельности, например при разработке и эксплуатации АСУ, часто...
-
Пусть у нас имеется некоторая непрерывная случайная величина X, распределенная нормально с математическим ожиданием и среднеквадратичным отклонением....
-
Статистическая вероятность и распределения случайных величин - Основы научных исследований
В теории вероятностей под случайной величиной понимают отношения числа благоприятных исходов испытаний к общему числу испытаний. Например, если из 10...
-
Теория игр исследует оптимальные стратегии в ситуациях игрового характера. К ним относятся ситуации, связанные с выбором наивыгоднейших производственных...
-
Пусть Dl, r() соответственно левые (правые) границы интервалов I, отвечающих на криволинейной трапеции ОИО значениям 0< < 1. Тогда интересующая нас...
-
Модель в общем смысле (обобщенная модель) есть создаваемый с целью получения и (или) хранения информации специфический объект (в форме мысленного образа,...
-
В современной экономической теории доминирующую роль играют труды зарубежных экономистов. Однако русская экономическая наука также ярко представлена...
-
Моделирование системы в условиях неопределенности - Основы теории систем и системного анализа
Как уже отмечалось в первой части нашего курса, в большинстве реальных больших систем не обойтись без учета "состояний природы" -- воздействий...
-
Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице. Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания...
-
Теория оптимального программирования - Оптимальное программирование
Оптимальное программирование [optimal programming] -- применение в экономике методов математического программирования. Часто эти термины определяют как...
-
Прогностическая сила - Базовые результаты математической теории классификации
С целью поиска приемлемого показателя качества диагностики рассмотрим восходящую к Р. Фишеру [20] широко известную параметрическую вероятностную модель...
-
Введение - Основные понятия теории вероятностей
Каждая наука, развивающая общую теорию какого-либо круга явлений, содержит ряд основных понятий, на которых она базируется. Таковы, например, в геометрии...
-
Распределения непрерывных случайных величин - Распределение вероятности случайных величин
До этого момента мы ограничивались только одной "разновидностью" СВ - дискретными, т. е. принимающими конечные, заранее оговоренные значения на любой из...
-
Вероятность - математическая оценка возможности появления это события в результате опыта - обозначается Р (А).- при условии :0 ?Р (А)?1, Р (?...
-
Анализ систем массового обслуживания с отказами. А) Задана многоканальная СМО с отказами. Она имеет состояния: - в СМО нет ни одной заявки; - в СМО...
-
Шкалирование случайных величин - Распределение вероятности случайных величин
Как уже отмечалось, дискретной называют величину, которая может принимать одно из счетного множества так называемых "допустимых" значений. Примеров...
-
Основные понятия теории экономико-математического моделирования Кибернетический подход к исследованию экономико-математических систем Обычно...
-
Основные понятия и обозначения Динамическое программирование как самостоятельная дисциплина сформировалась в пятидесятых годах двадцатого века. Большой...
-
Основная теория сезонности временного ряда - Методы изучения сезонных колебаний. Примеры расчетов
Основными составляющими временного ряда являются тренд и сезонная компонента. Составляющие этих рядов могут представлять собой либо тренд, либо сезонную...
-
Пусть { , , ..., } - множество возможных состояний некоторой физической системы. В любой момент времени система может находиться только в одном...
-
Средняя арифметическая Средней арифметической величиной называется такое среднее значение признака, при вычислении которого общий объем признака в...
Теория вероятностей