Вероятность события А вычисляется как сумма произведений вероятностей каждой гипотезы на условную вероятность события при этой гипотезе. - Случайные величины

применяем 2е теоремы:

-формула полной вероятности

Теорема гипотез (формула Байеса).

Пусть вероятность полной группы не совместных гипотез H1, H2, ..., Hn известны и равны P(H1), P(H2), ..., P(Hn). Событие А может появиться совместно с условной вероятностью P(A|Hi) (i=1,2,...,n).

Спрашивается, как следует изменить вероятности гипотез после проведения опытов в связи с появлением этого события. Иными словами, требуется найти условную вероятность P(Hi, A).

Формула Байеса:

Ответ на билет 7

Числовые характеристики случайных величин.

Закон распределения случайных величин, представленный в той или иной форме, дает исчерпывающее описание случайной величины. Наиболее существенные особенности распределения в компактной форме описываются так называемыми числовыми характеристиками случайных величин. Они играют в теории вероятности огромную роль, с их помощью облегчается решение вероятностных задач. Рассмотрим наиболее часто встречающиеся числовые характеристики.

Характеристики положения.

Мат. Ожидание Мода Медиана

Важнейшая характеристика математическое ожидание, которая показывает среднее значение случайной величины.

Математическое ожидание величины Х обозначается М[X], или mx.

Для дискретных случайных величин математическое ожидание:

Сумма значений соответствующего значения на вероятность случайных величин.

Модой (Mod) случайной величины Х называют ее наиболее вероятное значение.

Для дискретной случайной величины. Для непрерывной случайной величины.

Mod=X3 Mod=X0

Одномодальное распределение

Много модальное распределение

В общем случае Mod и математическое ожидание не совпадают.

Медианой (Med) случайной величины Х называют такое значение, для которой вероятность того что P(X<Med)=P(X>Med). У любого распределения Med может быть только один.

Med разделяет площадь под кривой на 2 равные части. В случае одномодального и симметричного распределения

Mx=Mod=Med

Моменты

Чаще всего на практике применяются моменты двух видов начальное и центральное.

Начальный момент. - го порядка дискретной случайной величины Х называется сумма вида:

Для непрерывной случайной величины Х начальным моментом порядка называется интеграл, очевидно, что математическое ожидание случайной величины есть первый начальный момент.

Пользуясь знаком (оператором) М, начальный момент - го порядка можно представить как мат. ожидание - ой степени некоторой случайной величины.

Центрированной случайной величиной соответственной случайной величины Х называют отклонение случайной величины Х от ее математического ожидания:

Математическое ожидание центрированной случайной величины равно 0.

Для дискретных случайных величин имеем:

Моменты центрированной случайной величины носят название Центральных моментов

Центральный момент порядка случайной величины Х называют математическим ожиданием - ой степени соответствующей центрированной случайной величины.

Для дискретных случайных величин:

Для непрерывных случайных величин:

Связь между центральными и начальными моментами различных порядков

Из всех моментов в качестве характеристики случайной величины чаще всего применяют первый момент (мат. ожидание) и второй центральный момент.

Второй центральный момент называют дисперсией случайной величины. Он имеет обозначение:

Согласно определению

Для дискретной случайной величины:

Для непрерывной случайной величины:

Дисперсия случайной величины есть характеристика рассеянности (разбросанности) случайных величин Х около ее математического ожидания.

Дисперсия означает рассеивание. Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины.

Для наглядной характеристики рассеивания удобнее использовать величину, my той, что и размерность случайной величины. С этой целью из дисперсии извлекают корень и получают величину, называемую - среднеквадратичным отклонением (СКО) случайной величины Х, при этом вводят обозначение:

Среднеквадратичное отклонение иногда называют "стандартом" случайной величины Х.

Итак:

Математическое ожидание mx и Dx (или СКО ) наиболее частые употребляемые характеристики случайных величин, так как они определяют наиболее важные черты распределения, его положения и степень разбросанности.

Ответ на билет 9

Равномерное распределение

Равномерная плотность распределения определяется следующим образом:

Функция распределения определяется:

Найдем числовые характеристики:

(математическое ожидание)

(медиана), Mod - не существует для данного распределения

(дисперсия), (среднеквадратичное отклонение)

Ответ на билет 10

Закон распределения Пуасона

Рассмотрим дискретную случайную величину х, имеющую ряд распределения:

X

X0=0

X1=1

...

Xm=m

...

P

P0

P1

...

Pm

...

Говорят, что данное случайное распределение подчинено закону распределения Пуасона.

(k=m-1)

Ответ на билет 11

Нормальный закон распределения (закон Гауса)

Главная особенность в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие распределения, при весьма часто встречающихся типичных условиях.

Нормальный закон распределения характеризуется плотностью вероятности вида:

Можно показать, что дисперсия

Ответ на билет 13

Независимые случайные величины.

Случайные величины x и y независимы если вероятность.

Для зависимых величин x и y вероятность

Корреляционным моментом или Ковариацией случайных величин x и y называют величину:

Можно показать, что для независимых случайных величин cov(x, y)=0

Коэффициент корреляций

Случайные величины x1, x2, x3, ..., xn, называются не коррелированными, если

Ответ на билет 14

Теорема о числовых характеристиках

Если c не случайная (детерминированная) величина, то M[c]=c и D[c]=0

Если c не случайная - постоянная, а Х случайная (детерминированная), то:

Математическое ожидание суммы нескольких величин равно сумме их ожиданий.

Математическое ожидание линейной функции равно той же линейной функции от математических ожиданий аргументов.

Похожие статьи




Вероятность события А вычисляется как сумма произведений вероятностей каждой гипотезы на условную вероятность события при этой гипотезе. - Случайные величины

Предыдущая | Следующая