Решение матричных игр в чистых стратегиях - Элементы теории игр в задачах оптимального управления экономическими процессами

Пусть у игроков А и В соответственно M и N чистых стратегий, которые обозначим через

и.

Выбор игроками любой пары стратегий и однозначно определяет исход игры, описываемый числом. Матрица

Называется платежной матрицей, где - выигрыш игрока А и проигрышь игрока В.

Платежную матрицу удобно также представить в виде таблицы 5

В ее строках расположены чистые стратегии игрока А, а в столбцах - чистые стратегии игрока В.

Цель матричной игры - выбор наиболее выгодных стратегий, доставляющих игроку А максимальный выигрыш, а игроку В - минимальный проигрыш. Стратегию игрока А называют оптимальной, если при ее применении выигрыш игрока А не уменьшается при любой стратегии игрока В. Оптимальной для игрока В называют стратегию, при которой проигрыш игрока В не увеличивается при любой стратегии игрока А. При поиске оптимальных стратегий игроки соблюдают принцип осторожности, согласно которому противник является по меньшей мере таким же разумным и не упустит ни единой возможности использовать любую ошибку соперника в своих интересах. Пусть игрок А выбрал некоторую стартегию. Сначала он найдет минимальное значение ожидаемого выигрыша:

,

А затем из всех выберет наибольшее

.

Число называют Нижней ценой игры и является гарантированным выигрышем игрока А.

Очевидно, находится в одной из строк матрицы H, к примеру в строке. Тогда стратегию называют максиминной, т. к. .

В свою очередь игрок В, стремясь минимизировать проигрыш и используя принцип осторожности, сначала для каждой чистой стратегии найдет максимально возможный проигрыш - , а затем среди выберт минимальное значение. Ему будет соответствовать чистая стратегия, называемая минимаксной, т. к. . Число называют Верхней ценой игры. Оно показывает какой максимальный проигрыш может быть у игрока В. Таким образом, правильно используя чистые стратегии, игрок А обеспечит выигрыш не меньше, а игрок В не позволит игроку А выиграть больше чем.

Рассмотрим примеры нахождения и.

Пример 1. Пусть игра задана платежной матрицей :

Выпишем для каждой строки справа от матрицы, а снизу каждого столбца. Тогда получим

Верхняя и нижняя цены игры совпали: .

Пример 2. Задана платежная матрица

Здесь.

Теорема 1. В любой матричной игре нижняя цена игры не превосходит верхней цены игры, т. е. .

Обозначим через и номера чистых стратегий, при котором. Пару чистых стратегий и при этом называют Седловой точкой игры, а - Седловым элементом платежной матрицы.

Число называют чистой ценой игры. Простота решения игры с седловой точкой заключается в том, что сразу найдены оптимальные стратегии: максиминная для игрока А и минимаксная для игрока В, а цена игры - седловой элемент платежной матрицы: . Отметим, что матричная игра может содержать несколько седловых точек. Максиминные и минимаксные стратегии называют общим термином - минимаксными стратегиями, а их выбор - принципом минимакса.

Похожие статьи




Решение матричных игр в чистых стратегиях - Элементы теории игр в задачах оптимального управления экономическими процессами

Предыдущая | Следующая