Свойства дисперсии, Что называется полигоном, гистограммой, кумулятой? Как их строить? - Математическая статистика

    1. Если значения измеренного признака не отличаются друг от друга (равны между собой) - дисперсия равна нулю. Это соответствует отсутствию изменчивости в данных. 2. Прибавление одного и того же числа к каждому значению переменной не меняет дисперсию.

Dx+c = Dx так как У [(xj + с) - (Mx + c)]І = У (xj - Mx)І.

Прибавление константы к каждому значению переменной сдвигает график распределения этой переменной на эту константу (меняется среднее), но изменчивость (дисперсия) при этом остается неизменной.

3. Умножение каждого значения переменной на константу с изменяет дисперсию в сІ раз:

Dx-c = Dx-сІ так как У [(xj - с) - (Mx - c)]І = сІУ (xj - Mx)І.

При объединении двух выборок с одинаковой дисперсией, но с разными средними значениями дисперсия увеличивается.

Что называется полигоном, гистограммой, кумулятой? Как их строить?

Для наглядности принято использовать следующие формы графического представления статистических распределений:

Дискретный ряд изображают в виде полигона. Полигон частот - ломаная линия, отрезки которой соединяют точки с координатами (I , I); аналогично, Полигон относительных частот - ломаная, отрезки которой соединяют точки с координатами (, WI );

Пример 1. Имеется распределение 80 предприятий по числу работающих на них (чел.):

150

250

350

450

550

650

750

1

3

7

30

19

15

5 .

Решение. Признак Х - число работающих (чел.) на предприятии. В данной задаче признак Х является дискретным. Поскольку различных значений признака сравнительно немного - K = 7, применять интервальный ряд для представления статистического распределения нецелесообразно (в прикладной статистике в подобных задачах часто используют именно интервальный ряд). Ряд распределения - дискретный. Построим полигон распределения частот (рис. 1).

Рис. 1

Интервальный ряд изображают в виде гистограммы. Гистограмма частот есть ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основания которых - интервалы длиной, а высоты - плотности частот. В случае Гистограммы относительных частот высоты прямоугольников - плотности относительных частот. Здесь в общем случае, однако на практике чаще всего полагают величину H одинаковой для всех интервалов: . Очевидно для ранжированного вариационного ряда ; . В скобках указаны индексы J Исходного ранжированного вариационного ряда.

Площадь гистограммы есть сумма площадей ее прямоугольников:

Таким образом, площадь гистограммы частот равна объему выборки, а площадь гистограммы относительных частот равна единице.

В теории вероятностей гистограмме относительных частот соответствует график плотности распределения вероятностей. Поэтому гистограмму можно использовать для подбора закона распределения генеральной совокупности;

Пример 2. Дано распределение 100 рабочих по затратам времени на обработку одной детали (мин):

XI-1-XI

22-24

24-26

26-28

28-30

30-32

32-34

2

12

34

40

10

2 .

Решение. Признак Х - затраты времени на обработку одной детали (мин). Признак Х - непрерывный, ряд распределения - интервальный. Построим гистограмму частот (рис. 2), предварительно определив (K = 6) и плотность частоты :

XI-1-XI

22-24

24-26

26-28

28-30

30-32

32-34

1

6

17

20

5

1 .

Рис. 2

Кумулятивные ряды графически изображают в виде Кумуляты. Для ее построения на оси абсцисс откладывают варианты признака или интервалы, а на оси ординат - накопленные частоты Н() или относительные накопленные частоты, а затем точки с координатами (I ; H(I )) или (I ; ) соединяют отрезками прямой. В теории вероятностей кумуляте соответствует график интегральной функции распределения.

Пример 3. В распределении, данном в примере 1, найти накопленные частоты H(i ) и построить кумуляту.

Решение. Используем: H(X1) = 0, H(XI) = H(XI-1) + MI-1 (I=2,3,, K+1 , k = 7).

I

1

2

3

4

5

6

7

8

XI

150

250

350

450

550

650

750

850

MI

1

3

7

30

19

15

5

0

H(I )

0

0+1=1

1+3=4

4+7=11

11+30=41

41+19=60

60+15=75

75+5=80.

На рис. 3 показана кумулята распределения предприятий по числу работающих (чел.).

Рис. 3

Пример 4. В распределении, данном в примере 2, составить эмпирическую функцию распределения и построить кумуляту относительных частот.

Решение. Используем: H(X0) = 0, H(XI) = H(XI-1) + MI (I=1,2,, K , k = 6). ; Проверка: 1.

I

0

1

2

3

4

5

6

XI-1-XI

--22

22-24

24-26

26-28

28-30

30-32

32-34

MI

0

2

12

34

40

10

2

H(I )

0

0+2=2

2+12=14

14+34=48

48+40=88

88+10=98

98+2=100

0

0,02

0,14

0,48

0,88

0,98

1.

Построим кумуляту распределения (см. рис. 4).

Рис. 4

Похожие статьи




Свойства дисперсии, Что называется полигоном, гистограммой, кумулятой? Как их строить? - Математическая статистика

Предыдущая | Следующая