Теория вероятностей и математическая статистика
Задача 1
Малое предприятие имеет два цеха - А и В. Каждому установлен месячный план выпуска продукции. Известно, что цех А свой план выполняет с вероятностью 0,4. Вероятность выполнения плана цехом В при условии, что цех А выполнит свой план, равна 0,25. Известно также, что с вероятностью 0,2 может сложиться ситуация, когда ни один из цехов свой план не выполнит.
Если оба цеха выполнят свои планы в предстоящий месяц, то предприятие увеличит свой счет в банке на 5 единиц; если оба не выполнят - снимет со счета 4 единицы; если цех А выполнит, а цех В не выполнит - увеличит счет только на 2 единицы; если же цех А не выполнит, а цех В выполнит - сократит свой счет на 1 единицу.
Требуется:
Определить вероятность выполнения плана цехом В;
Выяснить, зависит ли выполнение плана цехом А от того, выполнит или не выполнит свой план цех В;
Найти вероятность того, что предприятию придется снимать деньги со счета в банке;
Определить, на сколько и в какую сторону (увеличения - уменьшения) изменится в среднем счет предприятия в банке по результатам работы в предстоящем месяце (ожидаемое изменение счета в банке).
Решение:
Указанные в задаче событии необходимо представить графически с помощью диаграммы Эйлера-Венна (рисунок 1).
Рисунок 1. Диаграмма Эйлера-Венна
1) По условию задачи дано: Р(А) = 0,4; РА(В) = 0,25; Р= 0,2.
Так как Р= 1 - Р(А+В), а
Р(А+В) = Р(А) + Р(В) - Р= Р(А) + Р(В) - Р(А)РА(В),
Тогда
Р= 1 - Р(А+В) = (Р(А) + Р(В) - Р(А)РА(В)) = 1 - Р(А) - Р(В) + Р(А)РА(В),
Р(В) = 1 - Р(А) - Р+ Р(А)РА(В).
Получим вероятность выполнения плана цехом В:
Р(В) = 1 - 0,4 - 0,2 + 0,4 0,25 = 1 - 0,6 + 0,1 = 0,5.
2) Найдем условные вероятности РВ (А) и :
РВ (А) =
=
Так как РВ (А) , то выполнение плана цехом А зависит от того, выполнит или не выполнит свой план цех В.
3) Предприятию придется снимать деньги со счета в банке при наступлении событий: и. Найдем вероятности этих событий:
Р() = Р(В) - Р(АВ) = 0,5 - 0,1 = 0,4; Р= 0,2 - дано по условию задачи.
Тогда вероятность того, что предприятию придется снимать деньги со счета в банке, равна Р() + Р= 0,4 + 0,2 = 0,6.
4) Из условия задачи следует, что по своему характеру случайная величина Х (изменение счета предприятия в банке) является дискретной. Множество ее возможных значений конечно и состоит их четырех элементов, которые целесообразно расположить в порядке возрастания и обозначить соответственно через х1 = -4; х2 = -1; х3 = 2; х4 = 5.
Р1 = Р= 0,2;
Р2 = Р() = 0,4;
Р3 = = Р(А) - Р(АВ) = 0,4 - 0,1 = 0,3;
Р4 = Р= 0,1.
В итоге ряд распределения случайной величины Х распределен полностью:
XI |
Х1 = -4 |
Х2 = -1 |
Х3 = 2 |
Х4 = 5 |
PI |
Р1 = 0,2 |
Р2 = 0,4 |
Р3 = 0,3 |
Р4 = 0,1 |
Зная ряд распределения случайной величины Х, ее математическое ожидание найдем по формуле:
Значит, в среднем предприятие уменьшит свой счет в банке на 0,1 единицу.
Задача 2
Оптовая база заключает договоры с магазинами на снабжение товарами. Известно, что от каждого магазина заявка на обслуживание на очередной день может поступить на базу с вероятностью 0,25, причем независимо от других магазинов.
Требуется:
Определить минимальное количество магазинов (n0,85), с которыми база должна заключить договоры, чтобы с вероятностью не менее 0,85 от них поступала хотя бы одна заявка на обслуживание на очередной день;
При найденном в пункте 1) значении п0,85 определить:
А) наиболее вероятное число заявок (т0) на обслуживание на очередной день и вероятность поступления такого количества заявок;
Вероятность поступления не менее (п -- 1) заявок;
Математическое ожидание и дисперсию числа заявок на обслуживание на очередной день.
Решение:
1) Вероятность того, что в данной серии испытаний событие А наступит хотя бы один раз, определим по формуле:
Получим:
- 2) n0,85 = 7. А) Наиболее вероятное значение m0 случайной величины Х найдем из условия:
Є [np - q; np + q]
При n=7 и р= 0,25; q = 1-p=0,75 получаем:
Є [7]=
Отсюда =2, тогда
Р(Х=2) = .
B) n-1 = 7-1 = 6, поэтому вероятность поступления не менее (n-1)=6 заявок равна:
С) Для случайной величины Х, распределенной по биномиальному закону с параметрами n и р, ее математическое ожидание и дисперсия определяются по формулам:
MX = np, DX = npq.
При n=7, и р=0,25 получаем:
Задача 3
Математический дисперсия гистограмма
Торговая фирма располагает разветвленной сетью филиалов и есть основания считать, что ее суммарная дневная выручка X является нормально распределенной случайной величиной. Выявленные значения этой величины по 100 рабочим дням представлены в виде следующего интервального ряда:
I |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
(Xi-1;Xi) |
(0;5) |
(5;10) |
(10,15) |
(15.20) |
(2О;25) |
(25:30) |
(30:35) |
(35;40) |
NI |
2 |
3 |
8 |
18 |
24 |
22 |
13 |
10 |
Требуется:
Построить гистограмму относительных частот;
Определить несмещенные оценки для неизвестных математического ожидания тХ и дисперсии случайной величины X;
Найти 95-процентные доверительные интервалы для тХ и
Решение:
1) В условиях данной задачи необходимо исходить из того, что наблюдаемая величина Х - дневная выручка торговой формы - имеет непрерывное распределение вероятностей. Статистическим аналогом графика плотности распределения такой случайной величины является гистограмма. Она представляет собой совокупность прямоугольников, построенных на выделенных интервалах наблюдаемых значений случайной величины Х как на основаниях. Площадь каждого i-ого прямоугольника равна относительной частоте i-ого интервала, определяемой по формуле:
Отсюда высота i-ого прямоугольника вычисляется как
,
Где - длина i-ого интервала (в данной задаче ==5).
Полная площадь гистограммы, таким образом, будет равна единице. На основании изложенного для построения гистограммы составим следующую таблицу:
Таблица 4 - Расчетная таблица для построения гистограммы
I |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
(Xi-1;Xi) |
(0;5) |
(5;10) |
(10,15) |
(15.20) |
(2О;25) |
(25:30) |
(30:35) |
(35;40) |
NI |
2 |
3 |
8 |
18 |
24 |
22 |
13 |
10 |
0,02 |
0,03 |
0,08 |
0,18 |
0,24 |
0,22 |
0,13 |
0,10 | |
0,004 |
0,006 |
0,016 |
0,036 |
0,048 |
0,044 |
0,026 |
0,02 |
Вид этой гистограммы позволяет считать рассматриваемое распределение вероятностей нормальным.
2) Несмещенные оценки и найдем по формулам:
Где xI - середина i-ого интервала.
Все необходимые вычисления для удобства и наглядности проведем в рамках следующей таблицы:
Таблица 5 - Расчет математического ожидания и дисперсии
I |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
Xi |
2,5 |
7,5 |
12,5 |
17,5 |
22,5 |
27,5 |
32,5 |
37,5 |
0,02 |
0,03 |
0,08 |
0,18 |
0,24 |
0,22 |
0,13 |
0,10 | |
0,5 |
0,225 |
1 |
3,15 |
5,4 |
6,05 |
4,225 |
3,75 | |
21,8 |
16,8 |
11,8 |
6,8 |
1,8 |
3,2 |
8,2 |
13,2 | |
475,24 |
282,24 |
139,24 |
46,24 |
3,24 |
10,24 |
67,24 |
174,24 | |
9,5048 |
8,4672 |
11,1392 |
8,3232 |
0,7776 |
2,2528 |
8,7412 |
17,424 |
Исходя из формулы
Получаем: условных денежных единиц
Получаем:
Доверительный интервал для неизвестного имеет вид:
Где =0,95; а.
Так как выборка взята из нормальной совокупности с известным средним квадратическим отклонением, то величина определяется по формуле:
Где = ; n = 100, а есть аргумент функции Лапласа F(х), при котором
По таблице приложения 2 в [2] находим x? = 1,96.
Тогда
,
Доверительный интервал для имеет вид:
Где s = 8,2, а величина q определяется по таблице приложения 4 в [2] по и q = 0?143/
Тогда
Задача 4
По результатам n = 18 замеров времени X изготовления детали определены выборочное среднее и исправленная дисперсия s2=18. Полагая распределение случайной величины X нормальным, на уровне значимости а = 0,01 решить, можно ли принять а0= 90 в качестве нормативного времени изготовления детали.
Пояснение: Основную гипотезу проверить при альтернативной гипотезе НА, указанной в исходных данных для решения задач НА:
Решение:
- 1. 2. 3. По виду НО, НА и К заключаем, что критическая общность в данном случае будет двусторонней. 4. Тогда правую критическую точку определим по таблице критических точек распределения Стьюдента из приложении 6 в [2] по уровню значимости и числу степеней свободы. С степенями свободы
При этом используем нижнюю строку таблицы <уровень значимости (односторонняя критическая область)>. Получим == 2,57;
5. Вычислим наблюдаемое значение критерия К:
~ S (t, n).
6. Так как, то гипотезу следует отвергнуть.
Список использованных источников
- 1. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 2004. - 479 с. 2. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высшая школа, 2004 - 404 с. 3. Карасев А. И. Аксютина 3.М, Савельева Т. И. Курс высшей математики для экономических вузов. М.: Высшая школа, 1982, ч.2. - 405 с. 4. Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ЮНИТИ, 2000. - 378 с.
Похожие статьи
-
Контрольная работа По дисциплине: Теория вероятностей Контрольная работа № 1 Вариант 1 Задача № 1 Условие: Из 10 изделий, среди которых 4 бракованные,...
-
Непрерывные величины - возможные значение, которых непрерывно заполняют некоторый диапазон. Плотность распределения вероятности непрерывной случайной...
-
Математическое ожидание, дисперсия Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными...
-
Нормальное распределение, также называемое распределением Гаусса, - распределение вероятностей, которое играет важнейшую роль во многих областях знаний,...
-
Методы непараметрической статистики - Основы теории систем и системного анализа
Использование классических распределений случайных величин обычно называют "параметрической статистикой" - мы делаем предположение о том, что...
-
Вопросы по теории вероятностей - Случайные величины
Основные понятия теории вероятностей: события, вероятность события, частота события, случайная величина. Сумма и произведение событий, теоремы сложения и...
-
Математическим ожиданием случайной величины х (М[x])называется средне взвешенно значение случайной величины причем в качестве весов выступают вероятности...
-
Опытом называется всякое осуществление определенных условий и действий, при которых наблюдается изучаемое случайное явление. Опыты можно характеризовать...
-
Прогностическая сила - Базовые результаты математической теории классификации
С целью поиска приемлемого показателя качества диагностики рассмотрим восходящую к Р. Фишеру [20] широко известную параметрическую вероятностную модель...
-
ЛИТЕРАТУРА - Математическая статистика
1. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. Пособие для вузов / В. Е. Гмурман. - 9-е изд., стер. - М.: Высш. шк., 2003. - 188...
-
Средняя арифметическая Средней арифметической величиной называется такое среднее значение признака, при вычислении которого общий объем признака в...
-
Введение - Основные понятия теории вероятностей
Каждая наука, развивающая общую теорию какого-либо круга явлений, содержит ряд основных понятий, на которых она базируется. Таковы, например, в геометрии...
-
События А и В называются независимыми, если Р(АВ)=Р(А)*Р(В). Пусть например бросаются две монеты; А-выпадение "герба" при первом бросании, В-выпадение...
-
Вероятность - математическая оценка возможности появления это события в результате опыта - обозначается Р (А).- при условии :0 ?Р (А)?1, Р (?...
-
Признаки Х и Y находятся в Корреляционной зависимости , если каждому значению одного признака X I соответствует определенная Условная средняя другого...
-
Часто используют такой показатель качества алгоритма диагностики, как "вероятность (или доля) правильной классификации (диагностики)" [12, 13] - чем этот...
-
Определение выборки и генеральной совокупности - Математическая статистика
Генеральная совокупность - идеализация реальной совокупности (теоретически бесконечная), из которой производится выборка конечного объема для...
-
ТВ-раздел математики, в которой используются различные разделы математики для своего развития. Задача: выяснение закономерностей, возникающих при...
-
В ряде случаев в экономической практике возникает потребность расчета среднего размера признака, выраженного в квадратных или кубических единицах...
-
Данная контрольная работа состоит из двух частей - теоретической и практической. В теоретической части будет подробно рассмотрена такая важная...
-
Средняя геометрическая - Общая теория статистики
Если значения осредняемого признака существенно отстоят друг от друга или заданы коэффициентами (темпы роста, индексы цен), то для расчета применяют...
-
Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице. Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания...
-
Понятие "показатель асимметрии", Понятие "показатель эксцесса" - Математическая статистика
Когда график вариационного ряда (распределение набора данных) скошен в правую сторону больше, чем в левую, то мы говорим, что распределение имеет...
-
Методы классификации - неотъемлемая часть математических методов исследования, интересная теоретически и важная практически. Обзоры этой научной области...
-
Аннотация - Базовые результаты математической теории классификации
Математическая теория классификации содержит большое число подходов, моделей, методов, алгоритмов. Эта теория весьма многообразна. Выделим в ней три...
-
Распределением признака Называется закономерность встречаемости разных его значений. Нормальное распределение Характеризуется тем, что крайние значения...
-
1. Если значения измеренного признака не отличаются друг от друга (равны между собой) - дисперсия равна нулю. Это соответствует отсутствию изменчивости в...
-
Признак, частота признака, кумулятивная частота - Математическая статистика
Основной величиной в статистических измерениях является единица статистической совокупности. Единица статистической совокупности характеризуется набором...
-
Решение: Коэффициент использования (количество заявок, поступающих за время использования одной заявки) A) Вероятность того, что оба канала свободны: B)...
-
Сначала обсудим один из широко применяемых методов кластер-анализа - с метода k-средних. Он предназначен для разбиения исходного множества элементов...
-
Обозначим вероятность соответствующих событий через Pi - Случайные величины
, Так как рассматриваемые события образуют полную группу не совместных событий, то Х полностью описана с вероятностной точки зрения, если мы зададим...
-
Выборочное среднее и выборочная дисперсия - Математическое ожидание случайной величины
Для описания группирования и рассеивания наблюдаемых данных используются так называемые числовые характеристики выборочной совокупности, из которых...
-
Моменты распределений дискретных случайных величин. - Распределение вероятности случайных величин
Итак, закон распределения вероятностей дискретной СВ несет в себе всю информацию о ней и большего желать не приходится. Не будет лишним помнить, что этот...
-
Статистическая вероятность и распределения случайных величин - Основы научных исследований
В теории вероятностей под случайной величиной понимают отношения числа благоприятных исходов испытаний к общему числу испытаний. Например, если из 10...
-
Пусть - один и тот же опыт повторяется n-раз, не зависимо от результатов; в любом опыте может наступить событие А с вероятностью p, либо событие A с...
-
Среднее арифметическое - Числовая характеристика совокупности чисел а1, .... аn, определяемая формулой: В = (а1 + .....+аn) / n Среднее гармоническое -...
-
Заключение - Основные понятия теории вероятностей
Эмпирическое "определение" вероятности связано с частотой наступления события исходя из того, что при достаточно большом числе испытаний частота должна...
-
Основные характеристики выборки и генеральной совокупности - Математическая статистика
Числовые характеристики генеральной совокупности называются Генеральными параметрами или просто Параметрами . Например, параметрами нормального...
-
применяем 2е теоремы: -формула полной вероятности Теорема гипотез (формула Байеса). Пусть вероятность полной группы не совместных гипотез H1, H2, ..., Hn...
-
Математическое ожидание генеральной совокупности назовем генеральной средней, т. е. . Теорема. Выборочное среднее есть состоятельная и несмещенная оценка...
Теория вероятностей и математическая статистика