Теория вероятностей и математическая статистика


Задача 1

Малое предприятие имеет два цеха - А и В. Каждому установлен месячный план выпуска продукции. Известно, что цех А свой план выполняет с вероятностью 0,4. Вероятность выполнения плана цехом В при условии, что цех А выполнит свой план, равна 0,25. Известно также, что с вероятностью 0,2 может сложиться ситуация, когда ни один из цехов свой план не выполнит.

Если оба цеха выполнят свои планы в предстоящий месяц, то предприятие увеличит свой счет в банке на 5 единиц; если оба не выполнят - снимет со счета 4 единицы; если цех А выполнит, а цех В не выполнит - увеличит счет только на 2 единицы; если же цех А не выполнит, а цех В выполнит - сократит свой счет на 1 единицу.

Требуется:

Определить вероятность выполнения плана цехом В;

Выяснить, зависит ли выполнение плана цехом А от того, выполнит или не выполнит свой план цех В;

Найти вероятность того, что предприятию придется снимать деньги со счета в банке;

Определить, на сколько и в какую сторону (увеличения - уменьшения) изменится в среднем счет предприятия в банке по результатам работы в предстоящем месяце (ожидаемое изменение счета в банке).

Решение:

Указанные в задаче событии необходимо представить графически с помощью диаграммы Эйлера-Венна (рисунок 1).

диаграмма эйлера-венна

Рисунок 1. Диаграмма Эйлера-Венна

1) По условию задачи дано: Р(А) = 0,4; РА(В) = 0,25; Р= 0,2.

Так как Р= 1 - Р(А+В), а

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) - Р= Р(А) + Р(В) - Р(А)РА(В),

Тогда

Р= 1 - Р(А+В) = (Р(А) + Р(В) - Р(А)РА(В)) = 1 - Р(А) - Р(В) + Р(А)РА(В),

Р(В) = 1 - Р(А) - Р+ Р(А)РА(В).

Получим вероятность выполнения плана цехом В:

Р(В) = 1 - 0,4 - 0,2 + 0,4 0,25 = 1 - 0,6 + 0,1 = 0,5.

2) Найдем условные вероятности РВ (А) и :

РВ (А) =

=

Так как РВ (А) , то выполнение плана цехом А зависит от того, выполнит или не выполнит свой план цех В.

3) Предприятию придется снимать деньги со счета в банке при наступлении событий: и. Найдем вероятности этих событий:

Р() = Р(В) - Р(АВ) = 0,5 - 0,1 = 0,4; Р= 0,2 - дано по условию задачи.

Тогда вероятность того, что предприятию придется снимать деньги со счета в банке, равна Р() + Р= 0,4 + 0,2 = 0,6.

4) Из условия задачи следует, что по своему характеру случайная величина Х (изменение счета предприятия в банке) является дискретной. Множество ее возможных значений конечно и состоит их четырех элементов, которые целесообразно расположить в порядке возрастания и обозначить соответственно через х1 = -4; х2 = -1; х3 = 2; х4 = 5.

Р1 = Р= 0,2;

Р2 = Р() = 0,4;

Р3 = = Р(А) - Р(АВ) = 0,4 - 0,1 = 0,3;

Р4 = Р= 0,1.

В итоге ряд распределения случайной величины Х распределен полностью:

XI

Х1 = -4

Х2 = -1

Х3 = 2

Х4 = 5

PI

Р1 = 0,2

Р2 = 0,4

Р3 = 0,3

Р4 = 0,1

Зная ряд распределения случайной величины Х, ее математическое ожидание найдем по формуле:

Значит, в среднем предприятие уменьшит свой счет в банке на 0,1 единицу.

Задача 2

Оптовая база заключает договоры с магазинами на снабжение товарами. Известно, что от каждого магазина заявка на обслуживание на очередной день может поступить на базу с вероятностью 0,25, причем независимо от других магазинов.

Требуется:

Определить минимальное количество магазинов (n0,85), с которыми база должна заключить договоры, чтобы с вероятностью не менее 0,85 от них поступала хотя бы одна заявка на обслуживание на очередной день;

При найденном в пункте 1) значении п0,85 определить:

А) наиболее вероятное число заявок (т0) на обслуживание на очередной день и вероятность поступления такого количества заявок;

Вероятность поступления не менее (п -- 1) заявок;

Математическое ожидание и дисперсию числа заявок на обслуживание на очередной день.

Решение:

1) Вероятность того, что в данной серии испытаний событие А наступит хотя бы один раз, определим по формуле:

Получим:

    2) n0,85 = 7. А) Наиболее вероятное значение m0 случайной величины Х найдем из условия:

Є [np - q; np + q]

При n=7 и р= 0,25; q = 1-p=0,75 получаем:

Є [7]=

Отсюда =2, тогда

Р(Х=2) = .

B) n-1 = 7-1 = 6, поэтому вероятность поступления не менее (n-1)=6 заявок равна:

С) Для случайной величины Х, распределенной по биномиальному закону с параметрами n и р, ее математическое ожидание и дисперсия определяются по формулам:

MX = np, DX = npq.

При n=7, и р=0,25 получаем:

Задача 3

Математический дисперсия гистограмма

Торговая фирма располагает разветвленной сетью филиалов и есть основания считать, что ее суммарная дневная выручка X является нормально распределенной случайной величиной. Выявленные значения этой величины по 100 рабочим дням представлены в виде следующего интервального ряда:

I

1

2

3

4

5

6

7

8

(Xi-1;Xi)

(0;5)

(5;10)

(10,15)

(15.20)

(2О;25)

(25:30)

(30:35)

(35;40)

NI

2

3

8

18

24

22

13

10

Требуется:

Построить гистограмму относительных частот;

Определить несмещенные оценки для неизвестных математического ожидания тХ и дисперсии случайной величины X;

Найти 95-процентные доверительные интервалы для тХ и

Решение:

1) В условиях данной задачи необходимо исходить из того, что наблюдаемая величина Х - дневная выручка торговой формы - имеет непрерывное распределение вероятностей. Статистическим аналогом графика плотности распределения такой случайной величины является гистограмма. Она представляет собой совокупность прямоугольников, построенных на выделенных интервалах наблюдаемых значений случайной величины Х как на основаниях. Площадь каждого i-ого прямоугольника равна относительной частоте i-ого интервала, определяемой по формуле:

Отсюда высота i-ого прямоугольника вычисляется как

,

Где - длина i-ого интервала (в данной задаче ==5).

Полная площадь гистограммы, таким образом, будет равна единице. На основании изложенного для построения гистограммы составим следующую таблицу:

Таблица 4 - Расчетная таблица для построения гистограммы

I

1

2

3

4

5

6

7

8

(Xi-1;Xi)

(0;5)

(5;10)

(10,15)

(15.20)

(2О;25)

(25:30)

(30:35)

(35;40)

NI

2

3

8

18

24

22

13

10

0,02

0,03

0,08

0,18

0,24

0,22

0,13

0,10

0,004

0,006

0,016

0,036

0,048

0,044

0,026

0,02

Вид этой гистограммы позволяет считать рассматриваемое распределение вероятностей нормальным.

2) Несмещенные оценки и найдем по формулам:

Где xI - середина i-ого интервала.

Все необходимые вычисления для удобства и наглядности проведем в рамках следующей таблицы:

Таблица 5 - Расчет математического ожидания и дисперсии

I

1

2

3

4

5

6

7

8

Xi

2,5

7,5

12,5

17,5

22,5

27,5

32,5

37,5

0,02

0,03

0,08

0,18

0,24

0,22

0,13

0,10

0,5

0,225

1

3,15

5,4

6,05

4,225

3,75

21,8

16,8

11,8

6,8

1,8

3,2

8,2

13,2

475,24

282,24

139,24

46,24

3,24

10,24

67,24

174,24

9,5048

8,4672

11,1392

8,3232

0,7776

2,2528

8,7412

17,424

Исходя из формулы

Получаем: условных денежных единиц

Получаем:

Доверительный интервал для неизвестного имеет вид:

Где =0,95; а.

Так как выборка взята из нормальной совокупности с известным средним квадратическим отклонением, то величина определяется по формуле:

Где = ; n = 100, а есть аргумент функции Лапласа F(х), при котором

По таблице приложения 2 в [2] находим x? = 1,96.

Тогда

,

Доверительный интервал для имеет вид:

Где s = 8,2, а величина q определяется по таблице приложения 4 в [2] по и q = 0?143/

Тогда

Задача 4

По результатам n = 18 замеров времени X изготовления детали определены выборочное среднее и исправленная дисперсия s2=18. Полагая распределение случайной величины X нормальным, на уровне значимости а = 0,01 решить, можно ли принять а0= 90 в качестве нормативного времени изготовления детали.

Пояснение: Основную гипотезу проверить при альтернативной гипотезе НА, указанной в исходных данных для решения задач НА:

Решение:

    1. 2. 3. По виду НО, НА и К заключаем, что критическая общность в данном случае будет двусторонней. 4. Тогда правую критическую точку определим по таблице критических точек распределения Стьюдента из приложении 6 в [2] по уровню значимости и числу степеней свободы. С степенями свободы

При этом используем нижнюю строку таблицы <уровень значимости (односторонняя критическая область)>. Получим == 2,57;

5. Вычислим наблюдаемое значение критерия К:

~ S (t, n).

6. Так как, то гипотезу следует отвергнуть.

Список использованных источников

    1. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 2004. - 479 с. 2. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высшая школа, 2004 - 404 с. 3. Карасев А. И. Аксютина 3.М, Савельева Т. И. Курс высшей математики для экономических вузов. М.: Высшая школа, 1982, ч.2. - 405 с. 4. Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ЮНИТИ, 2000. - 378 с.

Похожие статьи




Теория вероятностей и математическая статистика

Предыдущая | Следующая