Примеры решения задач - Элементы теории вероятностей и математической статистики

Задача 1. 1. Пусть случайная величина Х распределена нормально с параметрами M=0 и у=1. Все вычисления приведены на рис. 2.4 и рис. 2.5.

А) Столбец С содержит значения функции плотности распределения, найденные по определению этой функции по формуле (2.13).

B) Столбец D содержит значения функции плотности распределения, найденные с помощью встроенной функцией НОРМРАСП().

Эта встроенная функция возвращает значения, связанные с нормальным распределением для указанного среднего и стандартного отклонения.

Синтаксис: НОРМРАСП(x; m; sigma; logical),

Где X - значение, для которого вычисляется значения функций F(X) и F(X);

M и Sigma - параметры распределения;

Logical - логическое значение, определяющее форму функции. Если Logical имеет значение ИСТИНА, то функция НОРМРАСП возвращает интегральную функцию распределения; если аргумент имеет значение ЛОЖЬ, то возвращается функция плотности распределения.

А в случае M=0 и У=1, интеграл:

Поскольку аналитическое вычисление интеграла путем нахождения первообразной невозможно, вычислим интеграл, используя приемы приближенного интегрирования. Принимая во внимание, что большая часть распределения сосредоточена в интервале от -3У До 3У, справедливо следующее соотношение

Чтобы найти численно последний интеграл, воспользуемся формулой трапеций:

, (2.28)

Вычисление этого интеграла приведено на рис. 2.4 и 2.5. Подынтегральной функцией является функция F(x). В интервале F8:F48 содержатся слагаемые для вычисления выражения в квадратных скобках формулы 2.28. В ячейке F49 содержится сумма всех слагаемых, в ячейке G60 содержится приближенное значение интеграла, вычисленного по формуле (2.28), оно равно 0,999933. Теоретическое значение этого интеграла равно 1, таким образом, абсолютная погрешность вычисления равна 10-4.

Для приближенного вычисления математического ожидания, определяемого формулой (2.7), необходимо воспользоваться формулой (2.28), взяв в качестве подынтегральной функции функцию Х F(x). Все промежуточные вычисления содержатся в интервале G8:G49. В ячейке G62 содержится приближенное значение этого интеграла, вычисленного по формуле (2.28), равное 0,000000. Теоретическое значение математического ожидания равно нулю (A=0), таким образом, абсолютная погрешность равна 10-6.

Для приближенного вычисления дисперсии, определяемой формулой (2.8), необходимо воспользоваться формулой (2.28), взяв в качестве подынтегральной функции.

Все промежуточные вычисления содержатся в интервале H8:H49. В ячейке G64 содержится приближенное значение интеграла, вычисленного по формуле (2.28), равное 0,998816. Теоретическое значение дисперсии равно у2=1, таким образом абсолютная погрешность равна 10-3.

Рис. 2.4. Рабочий лист в режиме отображения данных

Рис. 2.5. Рабочий лист в режиме отображений формул

Рис. 2.6. Графики плотности и функции распределения для нормального распределения

Рис. 2.7. Геометрический смысл вычисления вероятности попадания СВ в интервал

Задача 2. В отделение банка приходит N клиентов в час. Известно, что промежуток времени между приходами двух клиентов распределен по экспоненциальному закону распределения. Исследовать этот закон распределения при заданной интенсивности, выполнив следующие действия:

1. Составить таблицу значений функции плотности распределения и функции распределения при изменении значений x от 0 до b c шагом h=b/N, при N=40. Построить графики этих функций. Значение b подобрать самостоятельно таким образом, чтобы таблица была содержательной, т. е. F(b) было достаточно близко к 1, a f(b) достаточно близко к 0, а шаг h был достаточно мал.

Таблицу построить двумя способами:

A) пользуясь непосредственным определением функции плотности и функции распределения;

B) пользуясь встроенной функцией ЭКСПРАСП().

2. Используя приемы приближенного интегрирования, проверить соотношения (2.6), (2.19) для заданного распределения. Вычислить погрешности. 3. Предположим, что в банк уже пришел один клиент.

A) какова вероятность того, что следующий клиент придет не ранее, чем через 12 мин и не позже, чем через 24 мин?

B) какова вероятность того, что следующий клиент придет в течение 12 мин?

C) какова вероятность того, что следующий клиент придет позже, чем через 24 мин?

Используя графики функции плотности распределения F(x) и функции распределения F(x), проиллюстрируйте полученный результат. Приведем решение при N =5.

Решение Задачи при N =5.

По определению интенсивности, в данном случае Л = 5.

Построим таблицу значений функции при изменении X от 0 до 2 у c шагом H=0,05. Т. е. таблица будет содержать 41 значение.

Все построения приведены на рис. 2.8-2.10.

А) Столбцы В и С содержат значения функции плотности распределения и функции распределения, вычисленных по определению (2.18), (2.17).

B) Столбцы D и Е содержат значения тех же функций, вычисленных с помощью встроенной функцией ЭКСПРАСП().

Эта встроенная функция возвращает значения, связанные с экспоненциальным распределением для значения параметра Л.

Синтаксис: ЭКСПРАСП(x; lyambda; logical)

Где X - значение, для которого строится распределение;

Lyambda - это значение параметра распределения;

Logical - логическое значение, определяющее форму функции. Если Logical имеет значение ИСТИНА, то функция ЭКСПРАСП возвращает интегральную функцию распределения, если аргумент имеет значение ЛОЖЬ, то возвращается функция плотности распределения.

Искомые графики приведены на рис. 2.10.

2. Для того чтобы проверить соотношение (2.6), необходимо вычислить интеграл:

Т. к. Л=5, вычисляем интеграл:

.

Принимая во внимание, что большая часть распределения сосредоточена в интервале от 0 до 2 (для данного Л), справедливо следующее соотношение:

.

Чтобы найти последний интеграл, воспользуемся приближенной формулой трапеций (2.28).

Вычисление этого интеграла приведено на рис. 2.8 и 2.9. Подынтегральной функцией является функция F(x). В интервале F7:F47 содержатся слагаемые для вычисления выражения в квадратных скобках из формулы (2.28). В ячейке F48 содержится сумма всех слагаемых, в ячейке F58 содержится приближенное значение интеграла, вычисленного по формуле (2.28), т. е. 1,005157.

Теоретическое значение этого интеграла равно 1, таким образом, абсолютная погрешность вычислений равна 0.005.

Для приближенного вычисления математического ожидания (2.7) используем (2.28), взяв в качестве подынтегральной функции функцию Х F(x). Все промежуточные вычисления содержатся в интервале G7:G47. В ячейке F60 содержится приближенное значение интеграла, вычисленного по формуле (2.28), т. е. 0,198861.

Теоретическое значение математического ожидания равно 1/Л =0.2, таким образом, абсолютная погрешность вычислений равна 0,001.

Для приближенного вычисления дисперсии (2.8) необходимо воспользоваться формулой (2.28), взяв в качестве подынтегральной функции функцию. Все промежуточные вычисления содержатся в интервале H7:H48. В ячейке F62 содержится приближенное значение интеграла, вычисленного по формуле (2.28), т. е. 0.040453.

Теоретическое значение дисперсии распределения равно (1/ Л)2=(0.2)2=0.04, таким образом, абсолютная погрешность вычислений равна 0,004.

Рис. 2.8. Рабочий лист в режиме отображения данных

Рис. 2.9. Рабочий лист в режиме отображения формул

Рис. 2.10. Графики плотности и функции распределения для экспоненциального распределения

3. Чтобы вычислить вероятность того, что следующий клиент придет не ранее, чем через 12 мин и не позже, чем через 24 мин, необходимо сначала перевести минуты в часы, поскольку в качестве интенсивности используется количество посещений в час. При этом 12 мин - это 0,2 часа, а 24 мин - это 0,2 часа. Таким образом, искомую вероятность можно вычислить по формуле:

Cтрока 52 (рис. 2.8) содержит указанные расчеты. На рис. 2.11. приведена иллюстрация для вычисления значений. Это площадь заштрихованной криволинейной трапеции, и она равна 0,6826.

Рис. 2.11. Использование графиков плотности и функции распределения экспоненциального распределения для вычисления искомой вероятности

Аналогичные расчеты и диаграммы необходимо построить для двух других интервалов.

Задача 3. Т. к. MS Excel не является специализированным математическим пакетом, в нем отсутствуют встроенные функции для построения плотности и функции распределения многих распределений. Поэтому для построения необходимо использовать функции, написанные пользователем UDF (user define function) написанные на встроенном языке VBA (Visual Basic for Application). Эти функции из [1] приведены в Приложении.

Для вычисления значений функций плотности распределений ч2 (хи - квадрат), Стьюдента (T-Распределение) и распределения Фишера (F-распределение) можно использовать UDF CPDF, TPDF и FPDF соответственно.

Распределение ч2 (хи - квадрат). Для нахождения критических значений Распределения ч2 В MS Excel имеется встроенная функция ХИ 2ОБР().

Синтаксис: ХИ 2ОБР(p;df)

Где P - это P-значение;

Df - это число степеней свободы.

Решение приведено на рис. 2.12-2.17.

построение таблицы значений функции плотности чпри различном числе степеней свободы df (режим отображения данных)

Рис. 2.12. Построение таблицы значений функции плотности Ч2 При различном числе степеней свободы df (режим отображения данных)

графики функции плотности чпри различном числе степеней свободы df

Рис. 2.13. Графики функции плотности ч2 При различном числе степеней свободы df

Рис. 2.14. Нахождение критических значений для различных p-значений распределения ч2

Рис. 2.15. Геометрический смысл критических значений для различных P-значений

построение таблицы значений функции плотности чпри различном числе степеней свободы df (режим отображения формул)

Рис. 2.16. Построение таблицы значений функции плотности ч2 При различном числе степеней свободы df (режим отображения формул)

нахождение критических значений для различных p-значений распределения ч(режим отображения формул)

Рис. 2.17. Нахождение критических значений для различных p-значений распределения ч2 (режим отображения формул)

Используя рис. 2.13, сделайте вывод о симметричности распределения в зависимости от числа степеней свободы. Анализируя рис. 2.14-2.15, сделайте выводы об изменении критических значений в зависимости от P-значений.

Распределение Стьюдента. Для нахождения критических значений распределения Стьюдента в MS Excel есть встроенная функция СТЬЮДРАСПОБР. Эта функция возвращает двустороннее TКрит критическое значение распределения Стьюдента как функцию вероятности и числа степеней свободы.

Синтаксис: СТЬЮДРАСПОБР(p; df)

Где P - вероятность, соответствующая двусторонней критической области распределения Стьюдента;

Df - число степеней свободы, характеризующее распределение.

Критическая точка (T-значение) для односторонней критической области может быть получена при замене аргумента "вероятность" на 2*"вероятность". Для вероятности 0,05 и числа степеней свободы равного 10, критическое значение для двухсторонней критической области критическое значение вычисляют с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР(0,05;10) и оно равно 2,28139. Критическое значение для односторонней критической области для той же вероятности и числа степеней свободы может быть вычислено по формуле СТЬЮДРАСПОБР(2*0,05;10) и равняется 1,812462.

Решение приведено на рис. 2.18-2.23.

Рис. 2.18. Таблица значений функции плотности распределения Стьюдента при различном числе степеней свободы df (режим отображения данных)

Рис. 2.19. Графики функции плотности распределения Стьюдента При различном числе степеней свободы df

Рис. 2.20. Нахождение двусторонних критических значений распределения Стьюдента для различных p-значений

Рис. 2.21. Геометрический смысл двустороннего критического значения для распределения Стьюдента для p-значения равного 0,05

Рис. 2.22. Геометрический смысл одностороннего критического значения для распределения Стьюдента для P-значения, равного 0,05

С помощью рис. 2.19 сделайте вывод об изменении графика распределения Стьюдента в зависимости от числа степеней свободы и его близости к кривой нормального распределения. По данным рис. 2.20 сделайте выводы об изменении критических T значений в зависимости от P-значений. По рис. 2.21 и 2.22 оцените односторонние и двусторонние критические значения при фиксированном числе степеней свободы и одном и том же уровне значимости p.

построение таблицы значений функции плотности распределения стьюдентапри различном числе степеней свободы df (режим отображения формул)

Рис. 2.23. Построение таблицы значений функции плотности распределения Стьюдента При различном числе степеней свободы df (режим отображения формул)

Распределение Фишера. Для нахождения критических значений распределения Фишера в MS Excel имеется встроенная функция FРАСПОБР().

Синтаксис: FРАСПОБР(p;df1;df2)

Где P - это p-значение;

Df1 - это число степеней свободы числителя;

Df2 - это число степеней свободы знаменателя.

Решение приведено на рис. 2.24-2.29.

таблица значений функции плотности распределения фишерапри различном числе степеней свободы df2 и фиксированном значении числа степеней свободы df1, равном 5 (режим отображения данных)

Рис. 2.24. Таблица значений функции плотности распределения Фишера При различном числе степеней свободы df2 и фиксированном значении числа степеней свободы df1, равном 5 (режим отображения данных)

Рис. 2.25. Нахождение критических значений распределения Фишера для различных P-значений

Рис. 2.26. Геометрический смысл критических значений для различных P-значений распределения Фишера

графики функции плотности распределения фишерапри различном числе степеней свободы df2 и фиксированном значении числа степеней свободы df1, равном 5

Рис. 2.27. Графики функции плотности распределения Фишера При различном числе степеней свободы df2 и фиксированном значении числа степеней свободы df1, равном 5

Рис. 2.28. Построение таблицы значений функции плотности распределения Фишера При различном числе степеней свободы df2 и фиксированном значении числа степеней свободы df1 равном 5 (режим отображения формул)

Рис. 2.29. Нахождение критических значений распределения Фишера для различных P-значений (режим отображения формул)

Примеры решения задач - Элементы теории вероятностей и математической статистики

Похожие статьи