Свойства плотности распределения (дифференциального распределения), Числовые характеристики непрерывной случайной величины - Элементы теории вероятностей и математической статистики

1. Дифференциальная функция - неотрицательная функция: f(x) ? 0, (2.5), где -? < x <+ ?.

Это следует из того, что F(X) - неубывающая функция, а значит ее производная неотрицательна.

2. Несобственный интеграл от дифференциальной функции в пределах от - ? до + ? равен 1 . (2.6)

Очевидно, что этот интеграл выражает вероятность достоверного события.

Числовые характеристики непрерывной случайной величины

Математическим ожиданием Непрерывной случайной величины Называется несобственный интеграл вида:

(2.7)

Дисперсией непрерывной случайной величины называется несобственный интеграл вида

(2.8)

Средним квадратическим отклонением (стандартным отклонением) Непрерывной случайной величины Называется квадратный корень из дисперсии:

(2.9)

Для числовых характеристик непрерывных случайных величин справедливы те же свойства, что и для дискретных. В частности, для дисперсии непрерывной случайной величины справедлива формула:

(2.10)

Квантиль порядка P одномерного распределения есть такое значение случайной величины XP, для которого выполняется равенство

(2.11)

Используя определение плотности распределения вероятности, можно получить другое определение квантиля порядка P. Это такое значение случайной величины XP, для которого выполняется равенство:

(2.12)

Т. е. точка XP делит площадь подграфика функции плотности распределения на две части таким образом, что площадь левой части равна P. Например, x1/2 - Медиана распределения, она делит площадь подграфика пополам. Например, выделяют такие значения Х (точки деления), которые делят площадь подграфика функции плотности распределения на четыре равные части по 25 % в каждой группе. Эти значения Х (точки деления) называются Квартилями (quartile), при этом средняя из них также называется Медианой (рис. 2.3.). Другие термины, которые достаточно известны, это децили (decile), которые делят площадь на 10 частей, и центили (centile), которые делят площадь под кривой на 100 частей (их также называют процентилями). Значения типа квартилей могут быть выражены через центили; например, самый левый квартиль равен 25-ому центилю, а медиана - 50-ому центилю.

Особое значение имеют 2.5 и 97.5-ые центили, а также 5-й и 95-ый центили. Первая пара широко используется при построении 95 % доверительного интервала, а вторая - для проверки статистических гипотез при уровне значимости, равном 5 %.

квартили для непрерывного распределения

Рис. 2.3. Квартили для непрерывного распределения

Зная конкретный закон распределения СВ, можно предвидеть вероятности попадания исследуемой СВ в определенные интервалы. Законов распределения много. Ограничимся рассмотрением тех, которые наиболее активно используются в эконометрическом анализе. К их числу относятся нормальное распределение, экспоненциальное распределение, распределение ч2, распределение Стьюдента, распределение Фишера.

Похожие статьи




Свойства плотности распределения (дифференциального распределения), Числовые характеристики непрерывной случайной величины - Элементы теории вероятностей и математической статистики

Предыдущая | Следующая