Нормальное распределение - Элементы теории вероятностей и математической статистики

Наиболее важным распределением для непрерывных случайных величин является нормальное распределение. Множество явлений в практической жизни можно описать с помощью модели нормального распределения. Например, распределение высоты деревьев, площадей садовых участков, массы людей, дневной температуры и т. д. Нормальное распределение используется и для решения многих проблем в экономической жизни. Например, распределение числа дневных продаж в магазине, числа посетителей универмага в неделю, числа работников в некоторой отрасли, объемов выпуска продукции на предприятии и т. д.

Нормальное распределение находит широкое применение и для аппроксимации распределения дискретных случайных величин. Так, например, доходы от определенных видов рискованного бизнеса приблизительно подчиняются нормальному распределению.

Нормальное распределение иногда называют Законом ошибок. Например, отклонения в размерах деталей от установленного размера объясняются многими причинами. Каждая из них влияет на размер детали, так что отклонение, которое фактически регистрируется при измерениях, является суммой большого числа отклонений (ошибок) и следует нормальному закону распределения.

Нормальное распределение (Распределение Гаусса) является предельным случаем почти всех реальных распределений вероятности.

Говорят, что СВ Х Имеет нормальное распределение, если ее плотность вероятности имеет вид:

, (2.13)

Где M и У - параметры распределения, удовлетворяющие соотношениям.

Из (2.13) получаем формулу для функции распределения нормального распределения:

(2.14)

Нормальное распределение зависит от параметров M и У. При этом:

(2.15)

Если СВ Х имеет нормальное распределение с параметрами M и У, то символически это записывается так:

X~N(m, у2) (2.16).

В случае, когда M=0 и У=1, говорят о стандартном нормальном распределении.

Основные свойства плотности вероятности f(x) нормального распределения:

    А) функция F(x) существует при любых действительных значениях Х и принимает только положительные значения. Следовательно, график функции плотности нормального распределения расположен выше оси абсцисс; Б) при неограниченном возрастании Х по абсолютной величине значение F(x) стремится к нулю. Это значит, что ось абсцисс служит горизонтальной асимптотой кривой нормального распределения; В) максимальное значение функция F(x) принимает в точке Х = m, соответствующей математическому ожиданию случайной величины Х; Г) кривая нормального распределения симметрична относительно прямой Х = m, поскольку разность X - m входит в формулу (2.13) во второй степени; Д) кривая нормального распределения имеет две точки перегиба, расположенные симметрично относительно прямой Х = m. Абсциссы точек перегиба M - у и M + у, ординаты точек перегиба .

Формула (2.13) содержит два параметра: математическое ожидание M= М(Х) и стандартное отклонение у = У(X). Следовательно, существует бесконечно много нормально распределенных случайных величин, имеющих разные значения параметров M и У. Графики их плотностей имеют одинаковую форму - симметричную, колоколообразную. Если значения M и У известны, то из семейства нормальных случайных величин выделяют конкретную нормальную случайную величину с определенной плотностью вероятности.

кривые плотности нормального распределения с различными значениями m и у

Рис. 2.4. Кривые плотности нормального распределения с различными значениями m и у

Математическое ожидание M - это величина, которая характеризует положение кривой распределения на оси абсцисс (рис. 2.4). Изменение параметра M при неизменном значении у приводит к перемещению оси симметрии (Х = m) вдоль оси абсцисс и, следовательно, к соответствующему перемещению кривой распределения. Значение M иногда называют центром распределения или параметром сдвига. При Х = m функция плотности достигает максимума. Прямая Х = m является осью симметрии. Отметим, что вследствие симметрии она делит пополам площадь, расположенную под кривой плотности. Таким образом, значение M есть мода и медиана распределения Мо = m; Ме = m.

Изменение среднего квадратического отклонения при фиксированном значении математического ожидания приводит к изменению формы кривой распределения. С уменьшением значения У вершина кривой распределения будет подниматься, кривая будет более "островершинной" (вытянутой вдоль оси симметрии). С увеличением значения У кривая распределения менее островершинная и более растянута вдоль оси абсцисс. Одновременное изменение параметров M и У приведет к изменению формы и положения кривой нормального распределения.

Похожие статьи




Нормальное распределение - Элементы теории вероятностей и математической статистики

Предыдущая | Следующая