Обчислення довжини дуги кривої., Обчислення об'єму та площі поверхні тіла обертання - Визначений інтеграл

Нехай крива на площині має рівняння У = F (х). Треба знайти довжину дуги AB цієї кривої, обмежену прямими Х = а Та Х = b (дивись малюнок 6).

Візьмемо на AB точки А, М1, М2, ..., МN-1, В з абсцисами a, Х1, Х2, ..., ХN-1, B, відповідно, та проведемо хорди

AM1,M1M2,...,MK-1,MK,...,MN-1B,

Довжини яких позначимо

Одержимо ламану лінію, вписану в дугу AB. Довжиною ламаної буде

Мал. 6

Означення 1. Довжиною L дуги АВ називають границю, до якої прямує довжина вписаної ламаної, коли довжина її найбіль-шої частини прямує до нуля, тобто

Теорема 1. Якщо на відрізку [а, b] функція F (х) та її похідна F'(x) неперервні, то довжина дуги кривої У = F (х), обмеже-ної прямими Х = а та Х = b, обчислюється за формулою

Доведення. Із Малюнка 6 бачимо, що за теоремою Піфагора

Згідно з теоремою Лагранжа маємо:

де

Тому і довжина вписаної ламаної буде

За умовою теореми F'(х) неперервна, тому і функція також неперервна, а це означає, що існує скінченна границя

Що й треба було довести.

Наслідок. Якщо дуга задана параметрична x = (t), y = , , то її довжину знаходять за формулою

Обчислення об'єму та площі поверхні тіла обертання

Нехай криволінійна трапеція, обмежена кривою У = F (х), від-різком [а, b] осі 0х та прямими Х = a та X = b обертається нав-коло осі 0х (Мал. 7). Тоді об'єм тіла обертання можна знайти за формулою

(17)

А площу поверхні обертання за формулою

(18)

Приклад 3. Обчислити об'єм ку-лі радіуса R.

Мал. 7

Розв'язування. Кулю можна розглядати як результат обертан-ня півкруга, обмеженого частиною кола х2 + у2 = R2, у0, навколо осі 0х.

Використовуючи рівність симетричність кола відносно осі 0у та формулу (17), одержимо об'єм V кулі

(кубічних одиниць).

Похожие статьи




Обчислення довжини дуги кривої., Обчислення об'єму та площі поверхні тіла обертання - Визначений інтеграл

Предыдущая | Следующая