Обчислення довжини дуги кривої., Обчислення об'єму та площі поверхні тіла обертання - Визначений інтеграл
Нехай крива на площині має рівняння У = F (х). Треба знайти довжину дуги AB цієї кривої, обмежену прямими Х = а Та Х = b (дивись малюнок 6).
Візьмемо на AB точки А, М1, М2, ..., МN-1, В з абсцисами a, Х1, Х2, ..., ХN-1, B, відповідно, та проведемо хорди
AM1,M1M2,...,MK-1,MK,...,MN-1B,
Довжини яких позначимо
Одержимо ламану лінію, вписану в дугу AB. Довжиною ламаної буде
Мал. 6
Означення 1. Довжиною L дуги АВ називають границю, до якої прямує довжина вписаної ламаної, коли довжина її найбіль-шої частини прямує до нуля, тобто
Теорема 1. Якщо на відрізку [а, b] функція F (х) та її похідна F'(x) неперервні, то довжина дуги кривої У = F (х), обмеже-ної прямими Х = а та Х = b, обчислюється за формулою
Доведення. Із Малюнка 6 бачимо, що за теоремою Піфагора
Згідно з теоремою Лагранжа маємо:
де
Тому і довжина вписаної ламаної буде
За умовою теореми F'(х) неперервна, тому і функція також неперервна, а це означає, що існує скінченна границя
Що й треба було довести.
Наслідок. Якщо дуга задана параметрична x = (t), y = , , то її довжину знаходять за формулою
Обчислення об'єму та площі поверхні тіла обертання
Нехай криволінійна трапеція, обмежена кривою У = F (х), від-різком [а, b] осі 0х та прямими Х = a та X = b обертається нав-коло осі 0х (Мал. 7). Тоді об'єм тіла обертання можна знайти за формулою
(17)
А площу поверхні обертання за формулою
(18)
Приклад 3. Обчислити об'єм ку-лі радіуса R.
Мал. 7
Розв'язування. Кулю можна розглядати як результат обертан-ня півкруга, обмеженого частиною кола х2 + у2 = R2, у0, навколо осі 0х.
Використовуючи рівність симетричність кола відносно осі 0у та формулу (17), одержимо об'єм V кулі
(кубічних одиниць).
Похожие статьи
-
Застосування визначених інтегралів, Обчислення площ - Визначений інтеграл
Обчислення площ Якщо на відрізку [а, b] функція F (х)0 , то згідно з форму-лою (4), обчислення площі криволінійної трапеції, зображеної на малюнку 1,...
-
Методи наближеного обчислення - Визначений інтеграл
Для деяких неперервних надінтегральних функцій F (х) первісну не можна виразити елементарними функціями. У цих випадках обчислення визначного інтеграла...
-
Нехай функція F (х) задана на відрізку [a, b] . Розіб'ємо цей відрізок на N частин точками ділення А = х0 < x1 < x2 < ... < хn = b У кожному...
-
Інтегрування частинами, Заміна змінної у визначеному інтегралі - Визначений інтеграл
Якщо проінтегрувати обидві частини рівності D[u(x) - v(x)] = v(x)du(x) + u(x)dv(x) В межах від А до B , то одержимо Звідси одержуємо важливу формулу...
-
Зв'язок між визначеним та невизначеним інтегралами Означення 2. Визначений інтеграл з постійною нижньою межею та змінною верхньою межею називають...
-
Задачі, що привели до поняття визначеного інтеграла Розглянемо дві задачі -- геометричну та фізичну. 1. Обчислення площі криволінійної трапеції . Нехай...
-
У випадку криволінійного інтегралу функція інтегрується по кривій. Аналогічно для тривимірного простору: Обчислення криволінійного інтегралу І-го роду...
-
Подвійний інтеграл Зміна порядку інтегрування в подвійному інтегралі Хай маємо область D як показано на рис. 1: Рис. 1 І вона задається нерівностями:...
-
Обчислення потрійного інтегралу Нехай область G розташована у тривимірній прямокутній системі координат. Вона обмежена знизу і зверху поверхнями z = (x,...
-
Точки розриву і їхня класифікація. Теореми про безперервні функції - Основи вищої математики
Якщо функція F така, що для неї існують межі F ( А +0) і F ( А --0), однак F ( А ) F ( А +0) F ( А --0), то, мабуть, вона нерозривна (не безперервна) у...
-
Знаходження границь та частинних похідних і диференціалів функцій двох змінних
Знаходження границь та частинних похідних і диференціалів функцій двох змінних Будь-який упорядкований набір з П Дійсних чисел Х 1 ,...,x N позначається...
-
Дослідження функції однієї змінної за допомогою першої й другої похідних - Основи вищої математики
I. Ознаки сталості зростання й спадання функції Теорема 1. Якщо у всіх точках проміжку A < X < B похідна F ( Х) = 0, то функція F ( Х) зберігає в...
-
Теорема 1. Нехай послідовності (хП) і (уП) мають відповідно границі а і b. Тоді послідовність (xN+yN) має границю а + b. Теорема 2. Нехай послідовності...
-
LU-розклад матриці, Обчислення власних чисел матриці - Вивчення математичного пакету MathСad
Щоб знайти LU-розклад матриці A, треба використовувати функцію Lu(A) . Функція Lu(A) повертає матрицю, яка містить три квадратні матриці P, L і U,...
-
Обчислення подвійного інтегралу - Застосування подвійного і потрійного інтегралів
Обчислення подвійного інтегралу. Обчислення подвійного інтегралу за формулою (1.2) як границі інтегральної суми, так само як і у випадку визначеного...
-
Набір арифметичного виразу здійснюється відповідно до таблиці. Після набору арифметичного виразу треба натиснути клавішу =. Якщо у виразі...
-
Границя функції, Неперервність - Вища математика
Нехай функція визначена в деякому околі точки. Околом точки називається сукупність усіх точок таких, що віддаль О-2. (Гепрія Гейне (1821-1881)- нім....
-
Загальні властивості функцій - Функції та способи їх задання
Означення : Множина всіх значень аргумента, для яких можна обчислити значення функції, називається природною областю визначення функції. Область...
-
Розкриття невизначеностей. Формула Тейлора - Основи вищої математики
1. Невизначеність виду 0/0. Теорема 1 ( Правило Лопіталя - Гійом 1661-1704 р., французький математик, автор першого друкованого підручника по...
-
Теорема 1. Похідна від функції logax дорівнює, тобто якщо y=logax, то . (11.1) Теорема 2. Похідна від sinx є cosx, тобто якщо y=sinx, то Y =cosx. (11.2)...
-
Теорема 1. Похідна Const =0, тобто якщо Y = С, те Y =0, де С = Const . Y = С -- пряма паралельна осі ОХ й Tg =0, тобто F ( Х) =0. Теорема 2. Постійний...
-
Аргумент, функція, похідна - Математичний аналіз
Різниця між двома аргументами називається приростом аргументу. Приростом функції називається різниця між двома значеннями функції. Нехай в деякому околі...
-
Межа функції - Основи вищої математики
Розглянемо деякі випадки зміни функції або прагнення аргументу Х до деякої межі " А " або до. Визначення 1: Нехай функція y=f(х) визначена в деякій...
-
І. Визначення : Окружністю називається множина всіх точок площини, що перебувають на однаковій відстані, названій Радіусом , від фіксованої точки,...
-
Площа плоскої області обчислюється за формулою (6) У полярній системі координат формула (6) має вигляд (7) Об'єм циліндричного тіла, обмеженою зверху...
-
Обчислення подвійних інтегралів в полярній системі координат - Вища математика
Відомо, що полярні координати довільної точки зв'язані з її декартовими координатами формулами (1) Де Поняття подвійного інтеграла в полярній системі...
-
Кратні інтеграли - розділ математичного аналізу. До поняття кратних інтегралів привели задачі про знаходження об'єму циліндричного тіла, про обчислення...
-
Теорема Маркова - Невід'ємні матриці
Нехай для стохастичної матриці P існує натуральне число k0 таке, що (тобто всі елементи додатні). Тоді 1. (існування границі матриці означає, що існує...
-
Біологія . Необхідно знайти залежність площі молодого листка, що має форму круга, від часу. Відомо, що швидкість зміни площі в момент пропорцією площі...
-
Застосування подвійного інтегралу до задач механіки Статичні моменти. Центр маси пластини. Нехай матеріальна пластина в площині Оху має форму області D;...
-
Вычисление потока и циркуляции векторного поля
Вычисление потока и циркуляции векторного поля Векторный теорема стокс остроградский Даны векторное поле и плоскость, которая совместно с координатными...
-
Одним із перспективних напрямів при дослідженні кристалів ZnS:Mn є дослідження температурних характеристик його спектрів. Нова інформація в цьому напрямі...
-
Диференціал, Визначення диференціала. - Основи вищої математики
Визначення диференціала. Формули й правила диференціювання. Використання диференціала для наближених обчислень. Основні теореми диференціального...
-
Похідна функцій заданих неявно і параметрично - Основи вищої математики
І. Нехай значення двох змінних Х и Y зв'язані між собою деяким рівнянням F ( Х , Y )=0. (13.1) Якщо функція Y = F ( Х) визначена на інтервалі ( А , B )...
-
Длина дуги кривой - Определенный интеграл
Прямоугольные координаты Пусть в прямоугольных координатах дана плоская кривая AB, уравнение которой y = f(x), где a ? x ? b. (рис 1). Под длиной...
-
Заміна змінних у подвійному інтегралі - Застосування подвійного і потрійного інтегралів
Нехай функція f(x, у) неперервна в деякій замкненій і обмеженій області D і існує інтеграл: I=. Припустимо, що за допомогою формул Х = x(u, v), у = у(и,...
-
Похідна. Її фізична (механічна) і геометрична інтерпретація - Основи вищої математики
І. Вважаючи, що X 0, розглянемо в даній фіксованій точці " Х " відношення приросту функції в цій точці до відповідного приросту аргументу Х . (7.1) (7.1)...
-
Математична модель завдання, як і структура рішення, складається із кількох етапів. Перший етап. На основі масиву даних обчислюється тенденція темпу...
-
Безперервність функції - Основи вищої математики
Нехай функція Y = F ( Х) визначена при деякому значенні Х 0 й у деякій околиці із центром у Х 0, нехай Y 0= F ( Х 0). Якщо Х одержить деякий позитивний...
-
Нескінченно мала й нескінченно велика величини - Основи вищої математики
Визначення . Змінна N , що має межу рівну 0, називається нескінченно малою величиною, якщо для кожного > 0 знайдеться n 0 таке, що | N |< ( N > N 0) ....
Обчислення довжини дуги кривої., Обчислення об'єму та площі поверхні тіла обертання - Визначений інтеграл