Означення та властивості визначеного інтеграла, Задачі, що привели до поняття визначеного інтеграла - Визначений інтеграл

Задачі, що привели до поняття визначеного інтеграла

Розглянемо дві задачі -- геометричну та фізичну.

1. Обчислення площі криволінійної трапеції. Нехай на відрізку [а, b] визначена неперервна функція У = F (х) і будемо поки що вважати, що F (х) 0 для усіх X є [а, А].

Фігуру, обмежену кривою у = F (х), відрізком [а, b] осі 0х, прямими Х = а та Х = b, називають криволінійною трапецією (дивись Малюнок 1). В окремих випадках може F (а) = 0 або F (b) = 0 і тоді відповідна сторона трапеції стягується в точку.

Для обчислення площі S цієї криволінійної трапеції поділимо відрізок [а, b] довільним чином на N частин точками

А = х0 < x1 < х2 < ... < xk < ... < хn = b

Довжини цих частин

Перпендикуляри до осі 0х, проведені із точок ділення до перети-ну із кривою У = F (х), розділяють усю площу трапеції на N вузьких криволінійних трапецій. Замінімо кожну із цих трапецій прямокутника з основою та висотою, де. Площа кожного такого прямокутника дорівнює

Сума площ усіх таких прямокутників буде дорівнювати

Таким чином, площа S криволінійної трапеції наближено дорівнює цій сумі, тобто

Ця формула буде тим точнішою, чим менше величина.

Щоб одержати точну формулу для обчислення площі S криволінійної трапеції, треба в цій формулі перейти до границі, коли Тоді

(1)

2. Обчислення шляху, який пройшла точка. Нехай потрібно визначити шлях S, який пройшла матеріальна точка, що рухається в одному напрямі із змінною швидкістю V(t) за час від T0 до T.

Поділимо проміжок часу T-t0 на N частин: ?t1,?t2,...,?tN.

Позначимо через довільний момент часу із проміжку ?tK, а значення швидкості у цій точці позначимо.

Точка, що рухається з постійною швидкістю VK на проміжку часу ?tK, проходить за цей час шлях а за час T - t0 вона пройде шлях

Будемо вважати, що шлях S, пройдений точкою, наближено дорівнює цій сумі. Коли ?tK>0, тоді змінна швидкість на проміжку ?tK мало відрізняється від постійної VK. Тому дійсне значення шляху, пройденого точкою за час T - t0 буде дорівнювати границі цієї суми при max ?tK> 0, тобто

(2)

До аналогічної суми зводиться задача про роботу змінної сили, що направлена по прямій лінії -- траєкторії руху точки, до якої прикладена ця сила та інші задачі.

Похожие статьи




Означення та властивості визначеного інтеграла, Задачі, що привели до поняття визначеного інтеграла - Визначений інтеграл

Предыдущая | Следующая