Заміна змінних у подвійному інтегралі - Застосування подвійного і потрійного інтегралів
Нехай функція f(x, у) неперервна в деякій замкненій і обмеженій області D і існує інтеграл: I=. Припустимо, що за допомогою формул
Х = x(u, v), у = у(и, v) (1.6)
Ми переходимо в інтегралі I до нових змінних u та v. Вважатимемо, що з формул (1.6) однозначно можна визначити u та v:
И = и(х, у), v = v(x, y). (1.7)
Згідно з формулами (1.7), кожній точці М(х;у) D ставиться у відповідність деяка точка M*(u;v) на координатній площині з координатами и і v. Нехай множина всіх точок M*(u;v) утворює обмежену замкнену область D. Формули (1.6) називаються формулами перетворення координат, а формули (1.7) - формулами оберненого перетворення.
Теорема. Якщо перетворення (1.7) переводить замкнену обмежену область D в замкнену обмежену область D і є взаємно однозначним, і якщо функції (1.6) мають в області D неперервні частинні похідні першого порядку і відмінний від нуля визначник:
(1.8)
А функція f(x, у) неперервна в області D, то справедлива така формула заміни змінних:
(1.9)
Функціональний визначник (1.8) називається визначником Якобі або якобіаном.
Таким чином, виконуючи заміну змінних в інтегралі І за формулами (1.6), ми маємо елемент площі dxdy в координатах х, у замінити елементом площі |J(u, v)|dudv в координатах и, v і стару область інтегрування D замінити відповідною їй новою областю.
Подвійний інтеграл у полярних координатах.
Розглянемо заміну декартових координат х, у полярними за відомими формулами:
Х =pcos, y = psin.
Обчислимо якобіан:
Дх/др = д(pcos)/dp = cos ; дх/ д=д(pcos)/ д = - psin ;
Дх/др = д(psin)/dp = sin ; дх/ д=д(psin)/ д = - pcos.
Знайдені частинні і похідні підставимо у визначник:
Отже, формула (4.9) набирає вигляду
(1.10)
Тут область D дана в декартовій системі координат Оху, а відповідна їй область D - у полярній системі координат.
Зауваження 1. У багатьох випадках формулу (1.10) доцільно застосовувати тоді, коли підінтегральна функція або рівняння границі області D містить суму х2 +у2 оскільки ця сума в полярних координатах має досить простий вигляд:
Х2 + у2 = 2 cos2 2 sin2
Рис. 1.8
Зауваження 2. Якщо область D (рис. 4.8, а) обмежена променями, які утворюють з полярною віссю кути та (<) і кривими та ( ), то полярні координати області D змінюються в межах
(рис. 4.8, б).
Тому формулу (3.10) можна записати у вигляді
(1.11)
Зауваження 3. Якщо область D охоплює початок координат, тобто точка О (0; 0) є внутрішньою точкою області D, то (4.10) можна записати у вигляді:
(1.12)
Де - полярне рівняння межі області D.
Приклад. Обчислити, якщо D - коло радіуса R = 2 з центром у початку координат.
Розв'язання. Оскільки межа області D в полярній системі координат задається рівнянням або, то за формулою (4.12) маємо:
Приклад. Обчислити, якщо область D обмежена колами: х2 +у2 = 2х, х2 + у2 = 4х (рис. 1.11).
Рис. 1.11
Розв'язання. Знайдемо рівняння межі області D в полярних координатах: 2 cos2 +sin2= 2cos, звідси -- 2cos - полярне рівняння малого кола; аналогічно знаходимо, що = 4cos є полярне рівняння великого кола. Кут змінюється у межах від до. Змінна змінюється у межі від 2 cos до 4 cos. Отже, за формулою (1.11) маємо:
Розділ 2.
Похожие статьи
-
Обчислення подвійного інтегралу - Застосування подвійного і потрійного інтегралів
Обчислення подвійного інтегралу. Обчислення подвійного інтегралу за формулою (1.2) як границі інтегральної суми, так само як і у випадку визначеного...
-
Застосування подвійного інтегралу до задач механіки Статичні моменти. Центр маси пластини. Нехай матеріальна пластина в площині Оху має форму області D;...
-
Обчислення потрійного інтегралу Нехай область G розташована у тривимірній прямокутній системі координат. Вона обмежена знизу і зверху поверхнями z = (x,...
-
Кратні інтеграли - розділ математичного аналізу. До поняття кратних інтегралів привели задачі про знаходження об'єму циліндричного тіла, про обчислення...
-
Заміна змінних у потрійному інтегралі - Застосування подвійного і потрійного інтегралів
Нехай обмежена, правильна, замкнена область G простору (х, y, z) взаємно однозначно відображається на область G* простору (u, v,w) за допомогою...
-
Подвійний інтеграл Зміна порядку інтегрування в подвійному інтегралі Хай маємо область D як показано на рис. 1: Рис. 1 І вона задається нерівностями:...
-
Деякі застосування потрійних інтегралів - Застосування подвійного і потрійного інтегралів
Задачі механіки. Нехай речовину неперервно розподілено в тривимірній області G з густиною (x, y,z) = (N). Розділемо G на елементарні частини. Маса...
-
Площа плоскої області обчислюється за формулою (6) У полярній системі координат формула (6) має вигляд (7) Об'єм циліндричного тіла, обмеженою зверху...
-
Висновок, Список використаної літератури - Застосування подвійного і потрійного інтегралів
У даній роботі ми спробували найбільш широко розкрити застосування кратного інтегралу. Завдяки кратним інтегралам ми можемо обчислювати площу плоскої...
-
Застосування потрійних інтегралів до задач геометрії та механіки - Вища математика
1. Потрійний інтеграл в сферичній системі координат. Сферичними координатами точки називаються числа. Де - кут між віссю і радіус-вектором точки ; -...
-
Робота сили Якщо - сила, яка вздовж кривої L змінюється по величині та напрямку, то при переміщенні матеріальної точки одиничної маси під дією цієї сили...
-
Обчислення потрійних інтегралів в декартових і циліфндричних кординатах - Вища математика
1. Поняття потрійного інтеграла Розглянемо в просторі деяку замкнену область. Нехай в області і на її границі визначена деяка неперервна функія, де -...
-
Знаходження границь та частинних похідних і диференціалів функцій двох змінних
Знаходження границь та частинних похідних і диференціалів функцій двох змінних Будь-який упорядкований набір з П Дійсних чисел Х 1 ,...,x N позначається...
-
Застосування визначених інтегралів, Обчислення площ - Визначений інтеграл
Обчислення площ Якщо на відрізку [а, b] функція F (х)0 , то згідно з форму-лою (4), обчислення площі криволінійної трапеції, зображеної на малюнку 1,...
-
У випадку криволінійного інтегралу функція інтегрується по кривій. Аналогічно для тривимірного простору: Обчислення криволінійного інтегралу І-го роду...
-
З математичної точки зору розв'язки (1) і (2) мають однаковий зміст. О-1 Подвійним інтегралом від функції по області називається границя (3) За умови, що...
-
Нехай функція F (х) задана на відрізку [a, b] . Розіб'ємо цей відрізок на N частин точками ділення А = х0 < x1 < x2 < ... < хn = b У кожному...
-
Функції багатьох змінних - Вища математика
Для функції однієї змінної залежна змінна, тобто функція, повністю визначається (залежить) за значенням однієї незалежної змінної. П-1. Об'єм кулі Але...
-
Інтегральне числення функції кількох змінних. - Вища математика
Розглянемо функцію двох змінних, областю визначення якої є деяка квадровна область. Зауважимо, що коли межа області складається із численного числа...
-
Визначення : Алгебраїчні лінійні рівняння називаються однорідними, якщо в них вільний член дорівнює нулю. Розглянемо таку систему, що має вигляд: (10.1)...
-
Визначення : Скалярний добуток двох векторів і дорівнює добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними . (6.1) Таким чином, скалярний добуток двох...
-
Обчислення подвійних інтегралів в полярній системі координат - Вища математика
Відомо, що полярні координати довільної точки зв'язані з її декартовими координатами формулами (1) Де Поняття подвійного інтеграла в полярній системі...
-
ЗАТ "Біола" випускає три види продукції: напій на основі сиропу з цукром, напій на основі сиропу з цукрозамінником, сік. У поточному місяці прогнозуються...
-
Застосування економіко-математичних методів для оптимізації бюджетних видатків на охорону здоров'я
Застосування економіко-математичних методів для оптимізації бюджетних видатків на охорону здоров'я Постановка проблеми. Сучасний стан фінансування...
-
Визначення : Сукупність лінійно незалежних векторів, по яких відбувається розкладання інших векторів, називається Базисом . Отже, у площині можуть...
-
Задача Коші - Лінійні різницеві рівняння зі сталими коефіцієнтами
Нехай - фундаментальна система, нормована при тобто , Де - одинична матриця. Загальний розв'язок однорідної системи має вигляд . Вважаючи невідомою...
-
Методи наближеного обчислення - Визначений інтеграл
Для деяких неперервних надінтегральних функцій F (х) первісну не можна виразити елементарними функціями. У цих випадках обчислення визначного інтеграла...
-
Так как целевая функция не является линейной, то эта задача является задачей нелинейного программирования. Найдем ее решение, используя геометрическую...
-
Межа функції - Основи вищої математики
Розглянемо деякі випадки зміни функції або прагнення аргументу Х до деякої межі " А " або до. Визначення 1: Нехай функція y=f(х) визначена в деякій...
-
І. Визначення : Окружністю називається множина всіх точок площини, що перебувають на однаковій відстані, названій Радіусом , від фіксованої точки,...
-
Пряма в просторі - Основи вищої математики
І. Загальне рівняння прямої Пряму в просторі найчастіше задають як перетинання двох площин І площина А 1 Х + В 1 Y + C 1 Z + D =0 ІІ площина А 2 Х + В 2...
-
Сферические координаты - Интегральное и дифференциальное исчисление
Пусть Где R - радиус-вектор точки М , т. е. R - расстояние от точки М до начала координат: Ц - угол между положительными направлением оси 0X и лучом (-...
-
Системи лінійних алгебраїчних рівнянь - Основи вищої математики
1. Будемо розглядати систему з "m" лінійних алгебраїчних рівнянь із "n" невідомими (8.1) Рішенням такої системи називається такий набір чисел Х 1, Х 2,...
-
Кривые сложения . Диаграмма цветности ху - Основные колориметрические системы
Как было сказано ранее, при разработке колориметрической системы XYZ было поставлено условие, что реальные цвета не должны иметь отрицательных координат....
-
Інтегрування частинами, Заміна змінної у визначеному інтегралі - Визначений інтеграл
Якщо проінтегрувати обидві частини рівності D[u(x) - v(x)] = v(x)du(x) + u(x)dv(x) В межах від А до B , то одержимо Звідси одержуємо важливу формулу...
-
Застосування парної лінійної регресії до прогнозування економічних показників Прогноз - це ймовірностне, науково обгрунтоване судження щодо перспектив,...
-
Застосування парної лінійної регресії в економічних дослідженнях Зв'язок між різними явищами в економіці складний і різноманітний. На рівень розвитку...
-
І. Визначення : Мішаним добутком трьох векторів і називається добуток виду, де два перших вектори перемножуються векторно, а їхній добуток множиться...
-
Частинні похідні функції двох змінних - Вища математика
Розглянемо ф-ю втрачену в деякому околі точки. 1) Зафіксуємо змінну. Дістанемо функцію однієї змінної. Якщо змінній в точці надано приріст, то отримаємо...
-
Набір арифметичного виразу здійснюється відповідно до таблиці. Після набору арифметичного виразу треба натиснути клавішу =. Якщо у виразі...
Заміна змінних у подвійному інтегралі - Застосування подвійного і потрійного інтегралів