Обчислення подвійного інтегралу - Застосування подвійного і потрійного інтегралів
Обчислення подвійного інтегралу. Обчислення подвійного інтегралу за формулою (1.2) як границі інтегральної суми, так само як і у випадку визначеного інтегралу, пов'язане із значними труднощами. Щоб уникнути їх, обчислення подвійного інтегралу зводять до обчислення так званого повторного інтегралу - двох звичайних визначених інтегралів.
Покажемо, як це робиться. Припустимо, що при (х; у) Dфункція f(х, y0. Тоді подвійний інтеграл виражає об'єм циліндричного тіла (рис. 1.2) з основою О, обмеженого зверху поверхнею z = f(х, у). Обчислимо цей об'єм за допомогою методу паралельних перерізів:
V = (1.3)
Де S(х) - площа перерізу тіла площиною, перпендикулярною до осі Ох. Перед тим, як обчислити площу зробимо певні припущення відносно області D.
Рис. 1.2 Рис. 1.3
Припустимо спочатку, що область інтегрування D обмежена двома неперервними кривими у =; та у = і двома прямими а та b, причому для всіх (рис. 1.3).
Проведемо через точку (х; 0), де (а;b), пряму, паралельну вісі Оу. Ця пряма перетинає криві (х) та (х) в точках і, які називатимемо відповідно точкою входу в область D і точкою виходу з області D. Ординати цих точок позначимо відповідно увх та увих, тоді
Визначена таким чином область називається правильною в напрямі вісі Оу. Інакше кажучи, область D називається правильною в напрямі вісі Оу, якщо довільна пряма, яка проходить через внутрішню точку області D паралельно вісі Оу, перетинає межу області не більше, ніж у двох точках.
Знайдемо тепер площу S (х). Для цього проведемо через точку (х; 0; 0) площину, перпендикулярну вісі Ох (рис. 1.2). У перерізі цієї площини і циліндричного тіла утворюється трапеція С1М1М2С2. Апліката z = f(x, y) точки лінії М1М2 при фіксованому х є функцією лише у, причому у змінюється в межах від увх = (х) до увих = (х).
Площа S (х) трапеції С, М,М2С2 дорівнює визначеному інтегралу:
S(x)= .
Підставивши знайдене значення S (х) у формулу (1.3) враховуючи формулу (1.2), дістанемо:
Або в зручнішій формі:
(1.4)
Це і є шукана формула для обчислення подвійного інтеграла. Вираз, який стоїть праворуч у формулі (1.4) є повторний інтеграл. У повторному інтегралі інтегрування виконуємо спочатку по змінній у (при цьому змінна х вважається сталою), а потім по змінній х. Інтеграл по змінній у називають внутрішнім, а по змінній х - зовнішнім. У результаті обчислення внутрішнього інтегралу (в межах від (х) до (х)) одержуємо певну функцію від однієї змінної х. Інтегруючи цю функцію в межах від а до b, тобто обчислюючи зовнішній інтеграл, дістаємо деяке число - значення подвійного інтегралу.
Зауваження 1. Наведені геометричні міркування при одержанні формули (1.4) зроблені у випадку, коли f(x, y)> 0, (х, у) є D. Проте формула (1.4) залишається справедливою і в загальному випадку. Строге доведення цієї формули ми опускаємо.
Зауваження 2. Якщо область D обмежена двома неперервними кривими і двома прямими у = с, у = d (с < d), причому для всіх, тобто якщо область D правильна в напрямі осі Ох (рис.4.4), то справедлива формула
(1.5)
Рис. 1.4
Тут внутрішнім є інтеграл по змінній х. Обчислюючи його в межах від (при цьому у вважається сталою), дістанемо деяку функцію від однієї змінної у. Інтегруючи потім цю функцію в межах від с до d, дістанемо значення подвійного інтегралу.
Зауваження 3. Якщо область D правильна в обох напрямах, то подвійний інтеграл можна обчислювати як за формулою (1.4), так і за формулою (1.5). Результати матимемо однакові.
Зауваження 4. Якщо область не є правильною ні в напрямі осі Ох, ні в напрямі осі Оу (тобто існують вертикальні і горизонтальні прямі, які, проходячи через внутрішні точки області, перетинають її межу більше, ніж у двох точках), то таку область необхідно розбити на частини, кожна з яких є правильною областю у напрямі осі Ох чи вісі Оу.
Обчислюючи подвійні інтеграли по правильних областях і додаючи результати (властивість адитивності), знаходимо шуканий подвійний інтеграл по області D.
Рис. 1.5
Приклад. Область D обмежена еліпсами + у2 /4 = 1, х2 / 4 + у2 /16 = 1 і прямою х = 3/4 .
При інтегруванні в напрямі осі Оу область D складається з трьох частин ( рис. 1.5, а ).
При інтегруванні в напрямі осі Ох область D складається з семи частин ( рис. 1.5, б ).
Зауваження 5. Повторні інтеграли у формулах (1.4) і (1.5) називаються інтегралами з різним порядком інтегрування. Щоб змінити порядок інтегрування, потрібно від формули (1.4) перейти до формули (1.5), або навпаки.
У кожному конкретному випадку, залежно від вигляду області D та підінтегральної функції f(x, у), треба обирати той порядок інтегрування, який приводить до простіших обчислень.
Зауваження 6. Правильну в напрямі осі Оу або осі Ох область D позначаємо відповідно:
.
Приклад. Обчислити подвійний інтеграл y2dxdy, якщо D область D міститься в першій чверті і обмежена лініями х = 0 , у = х, y= 2-х.
Розв'язання.
Область інтегрування D зображено на рис. 1.6. Функція f(x, у) = ху неперервна в даній області. Обчислення даного подвійного інтегралу можна виконати за формулою (1.4), так і за формулою (1.5).
Область D правильна в напрямі осі Оу, тобто D: {xJ уJ 2- х2, OJ xJ 1}, тоді за формулою (1.4) маємо:
Рис. 1.6
Приклад. Змінити порядок інтегрування у повторному інтегралі: 1 = .
Розв'язання. Тут потрібно перейти від обчислення повторного інтегралу за формулою (1.5) до обчислення даного інтегралу за формулою (1.4). За даним інтегралом знайдемо область D.
Рис. 1.7
Область інтегрування D обмежена лініями: у = 0, у = 1, х = 0, х = еу або у=lnx (рис. 1.7). Якщо внутрішнє інтегрування провести по у, а зовнішнє - по х, то дану область D треба розглядати як правильну в напрямі осі Оу. Оскільки лінія, на якій містяться точки входу в область, дана двома різними рівняннями, то цю область треба розбити на дві частини D1, і D2.
Маємо: D, : {0J у J 1, 0 J xJ 1} D, : {lnxJ у J 1, 1J xJ e).
Даний інтеграл дорівнюватиме сумі двох інтегралів:
Похожие статьи
-
З математичної точки зору розв'язки (1) і (2) мають однаковий зміст. О-1 Подвійним інтегралом від функції по області називається границя (3) За умови, що...
-
Кратні інтеграли - розділ математичного аналізу. До поняття кратних інтегралів привели задачі про знаходження об'єму циліндричного тіла, про обчислення...
-
Обчислення потрійного інтегралу Нехай область G розташована у тривимірній прямокутній системі координат. Вона обмежена знизу і зверху поверхнями z = (x,...
-
Заміна змінних у подвійному інтегралі - Застосування подвійного і потрійного інтегралів
Нехай функція f(x, у) неперервна в деякій замкненій і обмеженій області D і існує інтеграл: I=. Припустимо, що за допомогою формул Х = x(u, v), у = у(и,...
-
Робота сили Якщо - сила, яка вздовж кривої L змінюється по величині та напрямку, то при переміщенні матеріальної точки одиничної маси під дією цієї сили...
-
Заміна змінних у потрійному інтегралі - Застосування подвійного і потрійного інтегралів
Нехай обмежена, правильна, замкнена область G простору (х, y, z) взаємно однозначно відображається на область G* простору (u, v,w) за допомогою...
-
Подвійний інтеграл Зміна порядку інтегрування в подвійному інтегралі Хай маємо область D як показано на рис. 1: Рис. 1 І вона задається нерівностями:...
-
Площа плоскої області обчислюється за формулою (6) У полярній системі координат формула (6) має вигляд (7) Об'єм циліндричного тіла, обмеженою зверху...
-
У випадку криволінійного інтегралу функція інтегрується по кривій. Аналогічно для тривимірного простору: Обчислення криволінійного інтегралу І-го роду...
-
Застосування подвійного інтегралу до задач механіки Статичні моменти. Центр маси пластини. Нехай матеріальна пластина в площині Оху має форму області D;...
-
Обчислення потрійних інтегралів в декартових і циліфндричних кординатах - Вища математика
1. Поняття потрійного інтеграла Розглянемо в просторі деяку замкнену область. Нехай в області і на її границі визначена деяка неперервна функія, де -...
-
Застосування визначених інтегралів, Обчислення площ - Визначений інтеграл
Обчислення площ Якщо на відрізку [а, b] функція F (х)0 , то згідно з форму-лою (4), обчислення площі криволінійної трапеції, зображеної на малюнку 1,...
-
Нехай функція F (х) задана на відрізку [a, b] . Розіб'ємо цей відрізок на N частин точками ділення А = х0 < x1 < x2 < ... < хn = b У кожному...
-
Висновок, Список використаної літератури - Застосування подвійного і потрійного інтегралів
У даній роботі ми спробували найбільш широко розкрити застосування кратного інтегралу. Завдяки кратним інтегралам ми можемо обчислювати площу плоскої...
-
Деякі застосування потрійних інтегралів - Застосування подвійного і потрійного інтегралів
Задачі механіки. Нехай речовину неперервно розподілено в тривимірній області G з густиною (x, y,z) = (N). Розділемо G на елементарні частини. Маса...
-
Обчислення подвійних інтегралів в полярній системі координат - Вища математика
Відомо, що полярні координати довільної точки зв'язані з її декартовими координатами формулами (1) Де Поняття подвійного інтеграла в полярній системі...
-
Застосування потрійних інтегралів до задач геометрії та механіки - Вища математика
1. Потрійний інтеграл в сферичній системі координат. Сферичними координатами точки називаються числа. Де - кут між віссю і радіус-вектором точки ; -...
-
Методи наближеного обчислення - Визначений інтеграл
Для деяких неперервних надінтегральних функцій F (х) первісну не можна виразити елементарними функціями. У цих випадках обчислення визначного інтеграла...
-
Визначення : Скалярний добуток двох векторів і дорівнює добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними . (6.1) Таким чином, скалярний добуток двох...
-
Набір арифметичного виразу здійснюється відповідно до таблиці. Після набору арифметичного виразу треба натиснути клавішу =. Якщо у виразі...
-
ЗАТ "Біола" випускає три види продукції: напій на основі сиропу з цукром, напій на основі сиропу з цукрозамінником, сік. У поточному місяці прогнозуються...
-
Визначення : Нехай дана матриця А=(mn), тоді мінором порядку "k" називають визначник, складений з елементів цієї матриці, якщо в неї викреслити (m--k)...
-
Застосування парної лінійної регресії до прогнозування економічних показників Прогноз - це ймовірностне, науково обгрунтоване судження щодо перспектив,...
-
Застосування економіко-математичних методів для оптимізації бюджетних видатків на охорону здоров'я
Застосування економіко-математичних методів для оптимізації бюджетних видатків на охорону здоров'я Постановка проблеми. Сучасний стан фінансування...
-
Визначення : Алгебраїчні лінійні рівняння називаються однорідними, якщо в них вільний член дорівнює нулю. Розглянемо таку систему, що має вигляд: (10.1)...
-
Переробка платиновміщуючих шламів - Виробництво і застосування платини
При електролітичному рафінуванні міді і нікелю платинові метали концентруються в анодних шламах, де їх зміст залежно від складу початкових руд...
-
ЙОД Сировиною для промислового одержання йоду служать нафтові бурові води, морські водорості, а також маткові розчини чилійської (натрієвої) селітри, що...
-
Нехай крива на площині має рівняння У = F (х). Треба знайти довжину дуги AB цієї кривої, обмежену прямими Х = а Та Х = b (дивись малюнок 6). Візьмемо на...
-
Натрій в природі, Отримання, застосування натрію - Натрій: історія, властивості
У природі лужні елементи трапляються лише у вигляді солей. Найважливішими мінералами Натрію є кам'яна сіль або галіт NaCl, чилійська селітра NaNO3,...
-
Застосування парної лінійної регресії в економічних дослідженнях Зв'язок між різними явищами в економіці складний і різноманітний. На рівень розвитку...
-
І. Визначення : Мішаним добутком трьох векторів і називається добуток виду, де два перших вектори перемножуються векторно, а їхній добуток множиться...
-
Фізичні властивості. - Виробництво і застосування платини
Платина дуже тугоплавкий метал, кристалізується в гранецентровані кубічні (р. ц. до.) грати. При дії на розчини солей відновниками метал може бути...
-
Інтегральне числення функції кількох змінних. - Вища математика
Розглянемо функцію двох змінних, областю визначення якої є деяка квадровна область. Зауважимо, що коли межа області складається із численного числа...
-
Зв'язок між визначеним та невизначеним інтегралами Означення 2. Визначений інтеграл з постійною нижньою межею та змінною верхньою межею називають...
-
Межа функції - Основи вищої математики
Розглянемо деякі випадки зміни функції або прагнення аргументу Х до деякої межі " А " або до. Визначення 1: Нехай функція y=f(х) визначена в деякій...
-
Знаходження границь та частинних похідних і диференціалів функцій двох змінних
Знаходження границь та частинних похідних і диференціалів функцій двох змінних Будь-який упорядкований набір з П Дійсних чисел Х 1 ,...,x N позначається...
-
Найти при помощи метода ячеек значение интеграла , Где - область, ограниченная функциями . 2. Теоретическая часть Рассмотрим K-мерный интеграл вида: (1)...
-
LU-розклад матриці, Обчислення власних чисел матриці - Вивчення математичного пакету MathСad
Щоб знайти LU-розклад матриці A, треба використовувати функцію Lu(A) . Функція Lu(A) повертає матрицю, яка містить три квадратні матриці P, L і U,...
-
Определение необходимого объема выборки - Основы эконометрики
В практике проектирования выборочного наблюдения возникает вопрос о необходимой численности выборки, которая необходима для обеспечения определенной...
-
Это раздел математического программирования, изучающий методы решения таких экстремальных задач, в которых результаты (эффективность) возрастают или...
Обчислення подвійного інтегралу - Застосування подвійного і потрійного інтегралів