Методи наближеного обчислення - Визначений інтеграл

Для деяких неперервних надінтегральних функцій F (х) первісну не можна виразити елементарними функціями. У цих випадках обчислення визначного інтеграла за формулою Ньютона-Лейбніца неможливе.

Крім того, у практичній діяльності часто досить знати лише наближене значення визначеного інтеграла і знаходити це набли-жене значення такими методами, які дозволяють використовувати сучасну обчислювальну техніку.

Тому математики багатьох країн розробляють ефективні методи наближеного обчислення визначеного інтеграла.

Найбільш часто використовують три методи -- метод прямо-кутників, метод трапецій та метод парабол (метод Сімпсона).

Якщо відрізок інтегрування [а, b] поділити на n рівних частин довжиною і позначити через середню точку відрізку визначений інтеграл можна обчислити за фор-мулою

(10)

Яку називають формулою прямокутників. Чим більше буде N, тим менше буде крок і права частина (10) буде давати більш точне значення інтеграла.

Якщо поділити відрізок інтегрування точками ділення

А = х0 < x-1 < х2 < ... < хK < ... < хN-1 < хK = b

На N рівних частин довжиною i позначити значення функції в точках ділення F (хK), тоді визначений інтеграл можна обчислити за формулою

(11)

Яку називають формулою трапецій. Легко бачити, що при зростанні N крок зменшується, тому значення інтеграла буде більш точним.

Якщо відрізок інтегрування [а, b] поділити на парну кількість рівних частин (тобто N = 2m) i позначити УK = F (xK), де XK = а + х-k -- точки ділення, K = 0, 1, ..., 2m, тоді визначений інтеграл можна обчислити за формулою

(12)

Яку називають формулою Сімпсона. Ця формула дає більш точне значення визначеного інтеграла тому, що для її доведення вико-ристовується метод парабол, за яким на кожному відрізку [xK-1, xK] три значення функції F (х) входять до інтегральної суми.

Похожие статьи

• Означення визначеного інтеграла та його зміст, Основні властивості визначеного інтеграла, Обчислення визначених інтегралів - Визначений інтеграл

  Нехай функція F (х) задана на відрізку [a, b] . Розіб'ємо цей відрізок на N частин точками ділення А = х0 < x1 < x2 < ... < хn = b У кожному...

• Застосування визначених інтегралів, Обчислення площ - Визначений інтеграл

  Обчислення площ Якщо на відрізку [а, b] функція F (х)0 , то згідно з форму-лою (4), обчислення площі криволінійної трапеції, зображеної на малюнку 1,...

• Обчислення довжини дуги кривої., Обчислення об'єму та площі поверхні тіла обертання - Визначений інтеграл

  Нехай крива на площині має рівняння У = F (х). Треба знайти довжину дуги AB цієї кривої, обмежену прямими Х = а Та Х = b (дивись малюнок 6). Візьмемо на...

• Інтегрування частинами, Заміна змінної у визначеному інтегралі - Визначений інтеграл

  Якщо проінтегрувати обидві частини рівності D[u(x) - v(x)] = v(x)du(x) + u(x)dv(x) В межах від А до B , то одержимо Звідси одержуємо важливу формулу...

• Визначені та невизначені інтеграли, Зв'язок між визначеним та невизначеним інтегралами - Визначений інтеграл

  Зв'язок між визначеним та невизначеним інтегралами Означення 2. Визначений інтеграл з постійною нижньою межею та змінною верхньою межею називають...

• Означення та властивості визначеного інтеграла, Задачі, що привели до поняття визначеного інтеграла - Визначений інтеграл

  Задачі, що привели до поняття визначеного інтеграла Розглянемо дві задачі -- геометричну та фізичну. 1. Обчислення площі криволінійної трапеції . Нехай...

• Потрійний інтеграл, Обчислення потрійного інтегралу - Застосування подвійного і потрійного інтегралів

  Обчислення потрійного інтегралу Нехай область G розташована у тривимірній прямокутній системі координат. Вона обмежена знизу і зверху поверхнями z = (x,...

• Криволінійний інтеграл І-го роду, Обчислення криволінійного інтегралу І-го роду, Механічний зміст криволінійного інтегралу І-го роду, Криволінійного інтеграла РР роду, Обчислення криволінійного інтегралу ІІ-го роду - Застосування кратних та криволінійних інтегралів

  У випадку криволінійного інтегралу функція інтегрується по кривій. Аналогічно для тривимірного простору: Обчислення криволінійного інтегралу І-го роду...

• Застосування кратних та криволінійних інтегралів, Подвійний інтеграл, Зміна порядку інтегрування в подвійному інтегралі, Обчислення площ фігур за допомогою подвійного інтегралу, Обчислення об'єму тіла за допомогою подвійного інтегралу, Обчислення площ поверхонь за допомогою подвійного інтегралу, Фізичний додаток подвійного інтегралу - Застосування кратних та криволінійних інтегралів

  Подвійний інтеграл Зміна порядку інтегрування в подвійному інтегралі Хай маємо область D як показано на рис. 1: Рис. 1 І вона задається нерівностями:...

• Означення подвійного інтегралу та його властивості, Обчислення подвійного інтеграла - Вища математика

  З математичної точки зору розв'язки (1) і (2) мають однаковий зміст. О-1 Подвійним інтегралом від функції по області називається границя (3) За умови, що...

• Обчислення подвійного інтегралу - Застосування подвійного і потрійного інтегралів

  Обчислення подвійного інтегралу. Обчислення подвійного інтегралу за формулою (1.2) як границі інтегральної суми, так само як і у випадку визначеного...

• Обчислення потрійних інтегралів в декартових і циліфндричних кординатах - Вища математика

  1. Поняття потрійного інтеграла Розглянемо в просторі деяку замкнену область. Нехай в області і на її границі визначена деяка неперервна функія, де -...

• Застосування подвійних інтегралів до задач геометрії, Обчислення маси пластинки, статичних моментів, моментів інерції і координат центра мас - Вища математика

  Площа плоскої області обчислюється за формулою (6) У полярній системі координат формула (6) має вигляд (7) Об'єм циліндричного тіла, обмеженою зверху...

• Обчислення подвійних інтегралів в полярній системі координат - Вища математика

  Відомо, що полярні координати довільної точки зв'язані з її декартовими координатами формулами (1) Де Поняття подвійного інтеграла в полярній системі...

• Обчислення арифметичних виразів, Обчислення виразів з параметрами, Завдання змінних, що приймають дискретні значення з проміжку, й обчислення функції від дискретного аргументу - Вивчення математичного пакету MathСad

  Набір арифметичного виразу здійснюється відповідно до таблиці. Після набору арифметичного виразу треба натиснути клавішу =. Якщо у виразі...

• Вступ, Подвійний інтеграл, Поняття подвійного інтегралу - Застосування подвійного і потрійного інтегралів

  Кратні інтеграли - розділ математичного аналізу. До поняття кратних інтегралів привели задачі про знаходження об'єму циліндричного тіла, про обчислення...

• Для кожного підприємства розраховується значення показника комплексної оцінки по формулі - Кількісні методи аналізу та їх використання для прийняття управлінських рішень

  , I=1,2,3,...,n, Де P J ? 1 - ваговий коефіцієнт J -го вихідного показника. Розташовуючи значення показника ПJ В порядку зростання, можна визначити...

• Сучасні методи та моделі оцінки та розподілу інвестиційних ресурсів - Модель розподілу інвестиційних ресурсів підприємства

  У системі управління реальними інвестиціями оцінка ефективності інвестиційних проектів є одним з найбільш відповідальних етапів. Від того, наскільки...

• ВСТУП - Кількісні методи аналізу та їх використання для прийняття управлінських рішень

  Кількісні, техніко-економічні економіко-математичні, методи особливо збагатили арсенал прийомів економічного аналізу господарської діяльності. Їх широке...

• СТОХАСТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ФАКТОРНИХ СИСТЕМ ГОСПОДАРСЬКОЇ ДІЯЛЬНОСТІ - Кількісні методи аналізу та їх використання для прийняття управлінських рішень

  Дослідження взаємного розподілу значень економічних показників і знаходження співвідношень функціонування виробничих систем представляє наступний...

• МЕТОДИ КІЛЬКІСНОЇ ОЦІНКИ ВПЛИВУ ФАКТОРІВ НА РЕЗУЛЬТАТИВНИЙ ПОКАЗНИК - Кількісні методи аналізу та їх використання для прийняття управлінських рішень

  Якщо відома факторна модель узагальнюючого економічного показника, то наступним етапом аналізу являється виявлення величини абсолютної і відносної зміни...

• Кореляційний і регресивний методи аналізу зв'язку

  Кореляційний і регресивний Методи аналізу зв'язку Основне завдання кореляційного і регресійного методів полягає в аналізі статистичних даних для...

• Методи визначення магнію, Методи розділення - Питні мінеральні води

  Методи розділення Осадження магній - амоній фосфату. Осад MgNH4PO4 - 6H2O утворюється в амоніачному середовищі, у присутності солей амонію. Для того, щоб...

• Межа функції - Основи вищої математики

  Розглянемо деякі випадки зміни функції або прагнення аргументу Х до деякої межі " А " або до. Визначення 1: Нехай функція y=f(х) визначена в деякій...

• Ранг матриці. Еквівалентні перетворення матриці Трапецевидна матриця і її ранг. Обчислення рангу матриці - Основи вищої математики

  Визначення : Нехай дана матриця А=(mn), тоді мінором порядку "k" називають визначник, складений з елементів цієї матриці, якщо в неї викреслити (m--k)...

• КОРЕЛЯЦІЙНО-РЕГРЕСИВНИЙ АНАЛІЗ - Кількісні методи аналізу та їх використання для прийняття управлінських рішень

  Кореляційно-регресивний аналіз - це класичний метод стохастичного моделювання господарської діяльності. Він вивчає взаємозв'язки показників господарської...

• Математичні методи ціноутворення в околі цінових знижок

  МАТЕМАТИЧНІ МЕТОДИ ЦІНОУТВОРЕННЯ В ОКОЛІ ЦІНОВИХ ЗНИЖОК Авторами досліджено, що ефективність рекламних звернень підприємства проявляється як ефект...

• LU-розклад матриці, Обчислення власних чисел матриці - Вивчення математичного пакету MathСad

  Щоб знайти LU-розклад матриці A, треба використовувати функцію Lu(A) . Функція Lu(A) повертає матрицю, яка містить три квадратні матриці P, L і U,...

• Методи визначення кальцію, Методи розділення - Питні мінеральні води

  Для визначення кальцію часто доводиться попередньо видаляти всі елементи, крім лужних і лужноземельних. Методи розділення Електроліз із ртутним катодом....

• Методи визначення ціни опціона - Теоретико-ймовірнісні моделі розрахунку ринкової вартості типів цінних паперів

  Оцінка на момент закінчення терміну дії опціону Припустимо, що нас цікавить вартість опціону "код" (далі просто "опціон") на момент закінчення його дії....

• Методи оцінки пінно-утворюючої здатності ПАР - Дослідження властивостей розчинів поверхнево-активних речовин

  В даний час існує ряд критеріїв для оцінки піно-утворення: 1. Властивості одинарної плівки. Ще Плато встановлено, що час життя плівки обернено...

• Розкриття невизначеностей. Формула Тейлора - Основи вищої математики

  1. Невизначеність виду 0/0. Теорема 1 ( Правило Лопіталя - Гійом 1661-1704 р., французький математик, автор першого друкованого підручника по...

• Безперервність функції - Основи вищої математики

  Нехай функція Y = F ( Х) визначена при деякому значенні Х 0 й у деякій околиці із центром у Х 0, нехай Y 0= F ( Х 0). Якщо Х одержить деякий позитивний...

• Знаходження границь та частинних похідних і диференціалів функцій двох змінних

  Знаходження границь та частинних похідних і диференціалів функцій двох змінних Будь-який упорядкований набір з П Дійсних чисел Х 1 ,...,x N позначається...

• Антициклічні методи регулювання економіки та атникризова політика - Сутність та фактори економічного моделювання

  Причини, які викликали різноманітні види циклів, різні, а тому необхідно визначити не лише ці причини, але й адекватні способи протидії. Короткостроковий...

• Механічний зміст криволінійного інтегралу ІІ-го роду - Застосування кратних та криволінійних інтегралів

  Робота сили Якщо - сила, яка вздовж кривої L змінюється по величині та напрямку, то при переміщенні матеріальної точки одиничної маси під дією цієї сили...

• Заміна змінних у подвійному інтегралі - Застосування подвійного і потрійного інтегралів

  Нехай функція f(x, у) неперервна в деякій замкненій і обмеженій області D і існує інтеграл: I=. Припустимо, що за допомогою формул Х = x(u, v), у = у(и,...

• Заміна змінних у потрійному інтегралі - Застосування подвійного і потрійного інтегралів

  Нехай обмежена, правильна, замкнена область G простору (х, y, z) взаємно однозначно відображається на область G* простору (u, v,w) за допомогою...

• Теоретичні ПОЛОЖЕННЯ, Теоретичні основи оптимізаційних рішень - Дослідження попиту годинників з метою оптимізації номенклатури на прикладі фірми "Годинникар"

  Теоретичні основи оптимізаційних рішень Умови оптимальності у формі принципу максимуму дають, узагалі говорячи, достатню інформацію для рішення задачі...

• Загальні властивості функцій - Функції та способи їх задання

  Означення : Множина всіх значень аргумента, для яких можна обчислити значення функції, називається природною областю визначення функції. Область...

Методи наближеного обчислення - Визначений інтеграл

Предыдущая | Следующая