Використання диференціальних рівнянь в біології і математичних обчисленнях, Побудова диференціальних рівнянь з заданими параметричними сімействами кривих - Математичне моделювання та диференціальні рівняння
Біологія. Необхідно знайти залежність площі молодого листка, що має форму круга, від часу. Відомо, що швидкість зміни площі в момент пропорцією площі листка, довжини його ободу та косинусу кута між падаючим на листок сонячним променем і вертикаллю листка. Маємо модель:
де (1.25)
- const, , - коефіцієнт пропорційності; розв'язуючи рівняння (1.25) ми отримаємо таку залежність:
(1.26)
Математика. Обчислити невласний інтеграл
(1.27)
Залежний від параметра.
Знайдемо похідну:
Отримали диференціальне рівняння
(1.28)
При цьому відомо:
(1.29)
Розв'язуючи задачу Коші (1.28),(1.29), отримаємо:
(1.30)
Побудова диференціальних рівнянь з заданими параметричними сімействами кривих
Припустимо, що задано однопараметричне сімейство кривих:
(1.31)
Задача полягає в тому, щоб знайти диференціальне рівняння, розв'язками якого являються криві (1.31). Вважаючи, що функція (1.31) має повну похідну за x запишемо:
(1.32)
Тоді з (1.31) та (1.32) як з системи рівнянь, вилучаємо сталу і отримаємо шукане диференціальне рівняння першого порядку.
Якщо ж задано - параметричне сімейство кривих:
(1.33)
То до (1.33) додаються дані співвідношення:
(1.34)
З(1.33) та (1.34), як з системи рівнянь, кількість яких, вилучаються сталі і отримане таким чином співвідношення між
(1.35)
І буде шуканим диференціальним рівняння - го порядку.
В (1.32) та (1.34) означають частинні похідні відповідних порядків за вказаними змінними. При цьому припускаємо, що похідні існують, тобто функції (1.32) та (1.34) являються диференційовними відповідну кількість разів.
Аналогічно поступають і при складанні систем рівнянь.
Приклад 1. Знайти диференціальне рівняння першого порядку, розв'язками якого буде однопараметричне сімейство
(1.36)
Розв'язання. Продиференціюємо за праву частину нашого співвідношення в припущенні, що.
(1.37)
Враховуючи (1.36) рівність (1.37) перепишемо таким чином:
(1.38)
З (1.38) знаходимо С
І підставивши в (1.36) отримаємо шукане диференціальне рівняння
(1.39)
Приклад 2. Знайти диференціальне рівняння другого порядку, розв'язками якого буде двопараметричне сімейство
(1.40)
Розв'язання. Згідно описаного вище складаємо систему рівнянь:
(1.41)
З якої вилучивши і знаходимо шукане диференціальне рівняння:
(1.42)
Похожие статьи
-
Система диференціальних рівнянь вигляду Де - сталі величини, називається лінійною однорідною системою з сталими коефіцієнтами. У матричному вигляді вона...
-
Попит і пропозиція - економічній категорії товарного виробництва. Попит - представлена на ринку потреба в товарах, Пропозиція - продукт, який є на ринку...
-
Розв'язання систем рівнянь, Порядок виконання роботи - Вивчення математичного пакету MathСad
Матриця математичний пакет арифметичний Для розв'язання системи рівнянь з кількома невідомими треба задати початкові наближення для кожної змінної. Далі...
-
Закони Кеплера руху планет - Математичне моделювання та диференціальні рівняння
Згідно закону всесвітнього тяжіння два тіла, які знаходяться на віддалі друг від друга і які мають маси і притягаються з силою (1.8) Де - константа...
-
Поняття математичного моделювання - Математичне моделювання та диференціальні рівняння
Поняття математичного моделювання трактується різними авторами по своєму. Ми будемо його пов'язувати з нашою спеціалізацією - прикладна математика. Під...
-
Досить універсальним методом розв'язку лінійних однорідних систем з сталими коефіцієнтами є матричний метод. Він полягає в наступному. Розглядається...
-
(1.1) , (1.2) , (1.3) . (1.4) Запишемо математичну модель короткозамкненого асинхронного двигуна в системі координат статора (a-b), записану через...
-
Задача Коші - Лінійні різницеві рівняння зі сталими коефіцієнтами
Нехай - фундаментальна система, нормована при тобто , Де - одинична матриця. Загальний розв'язок однорідної системи має вигляд . Вважаючи невідомою...
-
Системи лінійних алгебраїчних рівнянь - Основи вищої математики
1. Будемо розглядати систему з "m" лінійних алгебраїчних рівнянь із "n" невідомими (8.1) Рішенням такої системи називається такий набір чисел Х 1, Х 2,...
-
Система диференціальних рівнянь, що записана у вигляді Чи у векторно-матричному вигляді Називається системою лінійних неоднорідних диференціальних...
-
Використання системи наскрізного моделювання при вирішенні фінансово-економічних задач
Використання системи наскрізного моделювання при вирішенні фінансово-економічних задач Постановка проблеми. Вирішення складних фінансово-економічних...
-
Впровадженню ARIS обов'язково повинна передувати серйозна "ручна" проектно - аналітична робота. У методології ARIS все розподілено, розмежовано і...
-
Доцільність використання імітаційної моделі - Основні аспекти імітаційного моделювання
Переваги застосування імітаційного моделювання найбільш помітно виявляються у разі моделювання виробничих і технологічних процесів, процесів...
-
Метод Гауса - Основи вищої математики
( Карл Фрідріх Гаус (1777-1855) іноземний член Петербурзької АН (1824), німецький математик. Праці: вища алгебра, диференціальна геометрія, математична...
-
Характеристичний багаточлен матриці, Розв'язання рівнянь - Вивчення математичного пакету MathСad
Для побудови характеристичного багаточлена матриці A використаємо символьні обчислення. Побудуємо матрицю D = A - Е, віднявши з діагональних елементів...
-
Конструкція та принцип дії турбодетандерної установки Принцип роботи турбодетандера заснований на розширенні газу в робочому колесі. Газ віддає енергію,...
-
Визначення. Матриця називається оберненою матриці, якщо їх добуток, тобто рівний одиничній матриці. Якщо квадратна матриця має зворотню матрицю, то вона...
-
Висновки - Побудова архітектури підприємства з використанням методології ARIS
У рефераті запропоновані критерії, виконання яких робить застосування ARIS дійсно ефективним Засобом для вирішення виділеного кола завдань. Хоча...
-
ВСТУП - Основні аспекти імітаційного моделювання
Імітаційне моделювання застосовується у всіх сферах діяльності людини починаючи від моделей технічних, технологічних та організаційних систем і...
-
Модуль імітаційного моделювання ARIS Simulation використовується в тих випадках, коли необхідно проаналізувати поведінку в часі розроблених моделей...
-
В даній роботі ми досліджували асинхронний двигун 4А112МА8У3. З механічних характеристик було помічено, що при швидкостях та, критичний момент АД...
-
Використання концепції ефективного автомобіля для моделювання динаміки транспортних потоків у транспортній мережі міста Постановка проблеми. Однією з...
-
Пряма в просторі - Основи вищої математики
І. Загальне рівняння прямої Пряму в просторі найчастіше задають як перетинання двох площин І площина А 1 Х + В 1 Y + C 1 Z + D =0 ІІ площина А 2 Х + В 2...
-
Знаходження границь та частинних похідних і диференціалів функцій двох змінних
Знаходження границь та частинних похідних і диференціалів функцій двох змінних Будь-який упорядкований набір з П Дійсних чисел Х 1 ,...,x N позначається...
-
Теоретичні основи оптимізаційних рішень Умови оптимальності у формі принципу максимуму дають, узагалі говорячи, достатню інформацію для рішення задачі...
-
Основу ІС становить інформаційна база (ІБ), що являє собою сукупність упорядкованої інформації, використовуваної при функціонуванні ІС [17,c.93]....
-
Рівняння дисоціації кислот, лугів і солей - Дисоціація
Електролітичну дисоціацію виражають рівняннями, як і будь-які інші хімічні реакції. Записуючи ці рівняння, звичайно не зазначають формул молекул води,...
-
Основні етапи побудови імітаційної моделі - Основні аспекти імітаційного моделювання
Далі будемо розглядати послідовність виконання робіт під час реалізації методу машинної імітації та склад етапів побудови імітаційної моделі. Розглянемо...
-
В процесі виконання курсової роботи здійснено: - зібрання важливої вхідної, вихідної, нормативно-довідкової інформації об'єкта дослідження -...
-
Рівняння, Трансцендентні рівняння - Основи вищої математики
З одним невідомим повинно бути одне, його звичайно приводять до канонічного вигляду: Приклад: Рівняння 1,2,3 ... степені і т. д. -- лінійні рівняння....
-
Методологія ARIS - Побудова архітектури підприємства з використанням методології ARIS
Методологія ARIS є досить рафінованою. Організація в ARIS розглядається з чотирьох точок зору: - організаційної структури, - функціональної структури, -...
-
СУТНІСТЬ ІМІТАЦІЙНОГО МОДЕЛЮВАННЯ - Основні аспекти імітаційного моделювання
У широкому розумінні імітаційне моделювання -- це процес конструювання моделі реальної системи та експерименти на цій моделі з метою визначення...
-
Концепція економіко-математичного моделювання процесу оптимізації обслуговування виробництва газотранспортних підприємств В сучасних умовах активної...
-
Оцінка адекватності моделі - Основні аспекти імітаційного моделювання
Якою б складною і повною не була модель, вона тим не менш є наближеним відображенням реального об'єкта і відображає його за певних прийнятих припущеннях....
-
Визначення системи. Постановка завдання - Основні аспекти імітаційного моделювання
Роберт Шеннон стверджує: "Ейнштейн якось сказав, що правильна постановка завдання навіть більш важлива, ніж її рішення. Як це не здасться дивним, надто...
-
Актуальність теми роботи. Масова комп'ютеризація і персоналізація комп'ютерної техніки в другій половині 80-х років, потреба в перебудові бізнес-процесів...
-
Дослідження взаємного розподілу значень економічних показників і знаходження співвідношень функціонування виробничих систем представляє наступний...
-
Графіки перехідних процесів, отримані шляхом моделювання: Момент двигуна, Нм Кутова швидкість ротора, рад/с Модуль потокозчеплення статора, Вб Модуль...
-
Математична модель асинхронного двигуна (1.1)-(1.4) отримана для Т-подібної схеми заміщення, що показана на рис.1, в той час як приведені в завданні...
-
Основна ідея розпаралелювання обчислень - мінімізація часу виконання задачі за рахунок розподілу навантаження між декількома обчислювальними пристроями....
Використання диференціальних рівнянь в біології і математичних обчисленнях, Побудова диференціальних рівнянь з заданими параметричними сімействами кривих - Математичне моделювання та диференціальні рівняння