Застосування визначених інтегралів, Обчислення площ - Визначений інтеграл
Обчислення площ
Якщо на відрізку [а, b] функція F (х)0, то згідно з форму-лою (4), обчислення площі криволінійної трапеції, зображеної на малюнку 1, можна знайти за формулою
Якщо на відрізку [a, b] функція F (х)0, то криволінійна тра-пеція, обмежена кривою F (х), відрізком [а, b] та прямими Х = а І Х = b, буде розташована нижче осі 0х. Визначений інтеграл у цьому випадку буде 0. Але площа є невід'ємною величиною, тому площу криволінійної трапеції, розташованої нижче осі 0х, треба знаходити за формулою
або (f(x)0)
Якщо F (х) на відрізку [а, b] декілька разів змінює свій знак, то інтеграл по відрізку [а, b] треба розбити на суму інтегралів по част-кових відрізках. Інтеграл буде додат-ним на тих відрізках, де F (х) 0 та від'ємним там, де F (х)<0. Інтеграл по відрізку [а, b] дає різницю площ, що лежать вище та нижче осі 0х (дивись Малюнок 2).
Щоб одержати суму площ (без врахування розташування відносно осі 0х) треба знайти суму абсолют-них величин інтегралів по часткових
Мал. 2
Відрізках або обчислити інтеграл від абсолютного значення функції, тобто
Приклад 1. Обчислити площу фігури, обмеженої еліпсом
Розв'язування. Із аналітичної гео-метрії відомо, що цей еліпс має вигляд такий, як на Малюнку 3.
Шукана площа S дорівнює 4S1, де S1 -- площа заштрихованої частини еліпса, що розташована у першому квадранті. Отже,
Із рівняння еліпса знаходимо у:
Мал. 3.
Для заштрихованої частини еліпса у0, тому і ми одержуємо
(1)
Заміна X = sin t дає: Dx = cost - dt; T = arcsin x,
tB = arcsin1 = .
Отже,
За формулою (13) одержимо S = 8 - (квадратних одиниць).
Якщо треба обчислити площу фігури, обмеженої кривими y = F1(х), y=F2(х) та прямими х = а, х = b (дивись, наприклад, Малюнок 4), то при F1(х)F2(х) її можна знайти за формулою
(14)
Мал. 4
Приклад 2. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями
та
Розв'язування. Спочатку зобразимо фігуру, площу якої треба знайти (Мал. 5). Знайдемо точку перетину цих парабол. Ко-ординати точок перетину задовольняють обом рівнянням, тому
Мал. 5
Отже, площа заштрихованої фігури буде
(квадратних одиниць).
Похожие статьи
-
Нехай крива на площині має рівняння У = F (х). Треба знайти довжину дуги AB цієї кривої, обмежену прямими Х = а Та Х = b (дивись малюнок 6). Візьмемо на...
-
Методи наближеного обчислення - Визначений інтеграл
Для деяких неперервних надінтегральних функцій F (х) первісну не можна виразити елементарними функціями. У цих випадках обчислення визначного інтеграла...
-
У випадку криволінійного інтегралу функція інтегрується по кривій. Аналогічно для тривимірного простору: Обчислення криволінійного інтегралу І-го роду...
-
Обчислення потрійного інтегралу Нехай область G розташована у тривимірній прямокутній системі координат. Вона обмежена знизу і зверху поверхнями z = (x,...
-
Нехай функція F (х) задана на відрізку [a, b] . Розіб'ємо цей відрізок на N частин точками ділення А = х0 < x1 < x2 < ... < хn = b У кожному...
-
Подвійний інтеграл Зміна порядку інтегрування в подвійному інтегралі Хай маємо область D як показано на рис. 1: Рис. 1 І вона задається нерівностями:...
-
Обчислення подвійного інтегралу - Застосування подвійного і потрійного інтегралів
Обчислення подвійного інтегралу. Обчислення подвійного інтегралу за формулою (1.2) як границі інтегральної суми, так само як і у випадку визначеного...
-
Застосування подвійного інтегралу до задач механіки Статичні моменти. Центр маси пластини. Нехай матеріальна пластина в площині Оху має форму області D;...
-
Робота сили Якщо - сила, яка вздовж кривої L змінюється по величині та напрямку, то при переміщенні матеріальної точки одиничної маси під дією цієї сили...
-
Площа плоскої області обчислюється за формулою (6) У полярній системі координат формула (6) має вигляд (7) Об'єм циліндричного тіла, обмеженою зверху...
-
Кратні інтеграли - розділ математичного аналізу. До поняття кратних інтегралів привели задачі про знаходження об'єму циліндричного тіла, про обчислення...
-
Задачі, що привели до поняття визначеного інтеграла Розглянемо дві задачі -- геометричну та фізичну. 1. Обчислення площі криволінійної трапеції . Нехай...
-
Зв'язок між визначеним та невизначеним інтегралами Означення 2. Визначений інтеграл з постійною нижньою межею та змінною верхньою межею називають...
-
Обчислення подвійних інтегралів в полярній системі координат - Вища математика
Відомо, що полярні координати довільної точки зв'язані з її декартовими координатами формулами (1) Де Поняття подвійного інтеграла в полярній системі...
-
Інтегрування частинами, Заміна змінної у визначеному інтегралі - Визначений інтеграл
Якщо проінтегрувати обидві частини рівності D[u(x) - v(x)] = v(x)du(x) + u(x)dv(x) В межах від А до B , то одержимо Звідси одержуємо важливу формулу...
-
Заміна змінних у потрійному інтегралі - Застосування подвійного і потрійного інтегралів
Нехай обмежена, правильна, замкнена область G простору (х, y, z) взаємно однозначно відображається на область G* простору (u, v,w) за допомогою...
-
Деякі застосування потрійних інтегралів - Застосування подвійного і потрійного інтегралів
Задачі механіки. Нехай речовину неперервно розподілено в тривимірній області G з густиною (x, y,z) = (N). Розділемо G на елементарні частини. Маса...
-
Застосування потрійних інтегралів до задач геометрії та механіки - Вища математика
1. Потрійний інтеграл в сферичній системі координат. Сферичними координатами точки називаються числа. Де - кут між віссю і радіус-вектором точки ; -...
-
Обчислення потрійних інтегралів в декартових і циліфндричних кординатах - Вища математика
1. Поняття потрійного інтеграла Розглянемо в просторі деяку замкнену область. Нехай в області і на її границі визначена деяка неперервна функія, де -...
-
Заміна змінних у подвійному інтегралі - Застосування подвійного і потрійного інтегралів
Нехай функція f(x, у) неперервна в деякій замкненій і обмеженій області D і існує інтеграл: I=. Припустимо, що за допомогою формул Х = x(u, v), у = у(и,...
-
Набір арифметичного виразу здійснюється відповідно до таблиці. Після набору арифметичного виразу треба натиснути клавішу =. Якщо у виразі...
-
Висновок, Список використаної літератури - Застосування подвійного і потрійного інтегралів
У даній роботі ми спробували найбільш широко розкрити застосування кратного інтегралу. Завдяки кратним інтегралам ми можемо обчислювати площу плоскої...
-
Визначення : Скалярний добуток двох векторів і дорівнює добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними . (6.1) Таким чином, скалярний добуток двох...
-
З математичної точки зору розв'язки (1) і (2) мають однаковий зміст. О-1 Подвійним інтегралом від функції по області називається границя (3) За умови, що...
-
Застосування парної лінійної регресії до прогнозування економічних показників Прогноз - це ймовірностне, науково обгрунтоване судження щодо перспектив,...
-
Застосування парної лінійної регресії в економічних дослідженнях Зв'язок між різними явищами в економіці складний і різноманітний. На рівень розвитку...
-
І. Визначення : Мішаним добутком трьох векторів і називається добуток виду, де два перших вектори перемножуються векторно, а їхній добуток множиться...
-
Визначення : Алгебраїчні лінійні рівняння називаються однорідними, якщо в них вільний член дорівнює нулю. Розглянемо таку систему, що має вигляд: (10.1)...
-
Визначення : Нехай дана матриця А=(mn), тоді мінором порядку "k" називають визначник, складений з елементів цієї матриці, якщо в неї викреслити (m--k)...
-
Знаходження границь та частинних похідних і диференціалів функцій двох змінних
Знаходження границь та частинних похідних і диференціалів функцій двох змінних Будь-який упорядкований набір з П Дійсних чисел Х 1 ,...,x N позначається...
-
Системи лінійних алгебраїчних рівнянь - Основи вищої математики
1. Будемо розглядати систему з "m" лінійних алгебраїчних рівнянь із "n" невідомими (8.1) Рішенням такої системи називається такий набір чисел Х 1, Х 2,...
-
Загальні властивості функцій - Функції та способи їх задання
Означення : Множина всіх значень аргумента, для яких можна обчислити значення функції, називається природною областю визначення функції. Область...
-
Переробка платиновміщуючих шламів - Виробництво і застосування платини
При електролітичному рафінуванні міді і нікелю платинові метали концентруються в анодних шламах, де їх зміст залежно від складу початкових руд...
-
Застосування економіко-математичних методів для оптимізації бюджетних видатків на охорону здоров'я
Застосування економіко-математичних методів для оптимізації бюджетних видатків на охорону здоров'я Постановка проблеми. Сучасний стан фінансування...
-
LU-розклад матриці, Обчислення власних чисел матриці - Вивчення математичного пакету MathСad
Щоб знайти LU-розклад матриці A, треба використовувати функцію Lu(A) . Функція Lu(A) повертає матрицю, яка містить три квадратні матриці P, L і U,...
-
ЙОД Сировиною для промислового одержання йоду служать нафтові бурові води, морські водорості, а також маткові розчини чилійської (натрієвої) селітри, що...
-
Натрій в природі, Отримання, застосування натрію - Натрій: історія, властивості
У природі лужні елементи трапляються лише у вигляді солей. Найважливішими мінералами Натрію є кам'яна сіль або галіт NaCl, чилійська селітра NaNO3,...
-
Фізичні властивості. - Виробництво і застосування платини
Платина дуже тугоплавкий метал, кристалізується в гранецентровані кубічні (р. ц. до.) грати. При дії на розчини солей відновниками метал може бути...
-
Математическое ожидание генеральной совокупности назовем генеральной средней, т. е. . Теорема. Выборочное среднее есть состоятельная и несмещенная оценка...
-
Собственно-корреляционные параметрические методы изучения связи - Основы эконометрики
Измерение тесноты и направления связи является важной задачей изучения и количественного измерения взаимосвязи социально-экономических явлений. Оценка...
Застосування визначених інтегралів, Обчислення площ - Визначений інтеграл