Матрицы над евклидовым кольцом - Евклидовость в математике
Введем следующее определение: строку над евклидовым кольцом Е будем называть канонической, если, кроме главного элемента, все остальные ее элементы являются нулями кольца Е; это определение дословно переносится на столбцы кольца Е.
Теорема (о канонической строке). Если А - ненулевая строка над евклидовым кольцом, то в классе содержится каноническая строка.
Доказательство. Пусть какой-нибудь минимальный элемент класса содержится в строке. Можно предположить, что минимальный элемент является главным элементом строки А0. Поэтому строка А0 имеет вид. Применяя аксиому Е2 из определения евклидова кольца, разделим с остатком элементы строки А0 На элемент. В результате получим равенства
(13)
Где или, или Применив теперь к строке А0 Элементарные преобразования, состоящие в прибавлении к i-му элементу главного элемента, умноженного на - qI, i=2, ...., n, получим строку
(14)
В силу минимальности элемента классе неравенства не, невозможны. Поэтому r2 = ... = rN = 0 и строка А1 является канонической
Теорема. Если из строки над Е
(15)
При помощи одного элементарного преобразования получена строка
(16)
То множество всех НОД элементов строки (15) совпадает с множеством всех элементов строки (16)
Доказательство. Существует только три типа элементарных преобразований строк. В результате применения одного из элементарных преобразований к строке (15) между элементами строки (15) и элементами строки (16) могут иметь место только следующие связи:
- 1: b'I=еbI, i = 1, ...,n, еG, 2: b'I=еbI, ЕG; b'I=bI, если i ? 1, 3: b'I=bI + bKQ, qЕ; b'I=bI, Если i ? 1.
Пусть d - какая-нибудь НОД элементов строки (15), д - какая-нибудь НОД элементов строки (16). Для каждого преобразования 1, 2, 3 тривиальным образом устанавливается, что d является общим делителем элементов строки (16), д - общим делителем элементов строки (15). Поэтому д d и d д. Из этих отношений делимости следует равенство.
Из доказанной теоремы вытекает следующее.
Следствие 1. Если то
Следствие 2. Если - минимальный элемент класса, к которому принадлежит строка, то
Диагональная матрица, независимо от размеров, называется канонической, если все ее ненулевые элементы расположены на главной диагонали подряд, начиная с главного элемента; каждый ненулевой элемент делит следующий за ним элемент главной диагонали, если таковой имеет. Например, следующие матрицы над Z, - канонические. Канонической считается каждая ненулевая одноэлементная матрица.
Теорема (о канонической матрице). Если А - ненулевая матрица над евклидовым кольцом, то в классе содержится каноническая матрица.
Доказательство проведем индукцией по минимальному порядку матриц t. Утверждение теоремы верно для всех матриц, для которых t = 1. Это следует из того, что: 1) ненулевая матрица, минимальный порядок которой равен 1, может быть только или одноэлементной матрицей, или строкой, или столбцом; 2) одноэлементная матрица уже является канонической, а для строк и столбцов утверждение теоремы верно. Предположим, что утверждение теоремы верно для матриц, минимальный порядок которых равен t 1, и докажем, что утверждение теоремы будет верно и для матриц, минимальный порядок которых равен t+1. Пусть матрица А имеет размер s n и минимальный порядок t+1. В классе найдется матрица, главный элемент которой будет минимальный. Пусть это будет матрица
.
Пользуясь аксиомой Е2 из определения евклидового кольца, разделим с остатком элементы а12, ..., а1n первой строки и элементы а21, ..., аS1 первого столбца матрицы А0 на элемент. В результате получим равенства
Применяя к матрице А0 суперпозицию элементарных преобразований, состоящих в прибавлении к i-му столбцу первого столбца, умноженного на - q1i, i = 2, ..., n и затем - в прибавлении к j-й строке первой строки, умноженной на - q1j, j = 2, ..., s, получим некоторую матрицу А1. В этой матрице первая строка и первый столбец будут и
Так как, то, в силу минимальности элемента, имеют место равенства. Поэтому матрица А1 должна иметь вид
Матрица А2 этой матрицы, которая получается из нее вычеркиванием первой строки и первого столбца, имеет минимальный порядок t и по предположению индукции приводится к каноническому виду
Так как элементарные преобразования, приводящие подматрицу А2 к каноническому виду, выполняется в рамках матрицы А1 без изменения ее первой строки и первого столбца, то матрица А*
Принадлежит классу. Остается доказать, что. Для этого выполняем деление с остатком элемента на элемент : , где r = 0 или е(r)< е(). Выполнив это, применим к матрице А* пОследовательно два элементарных преобразования:
- 1) ко второму столбцу прибавим первый, 2) ко второй строке прибавим первую, умноженную на - q. В результате получим матрицу, содержащую на втором месте главной диагонали элемент r. В силу минимальности элемента в классе возможно только r = 0.Это значит, что и матрица А* - каноническая в классе.
Теорема (о минорах). Если А и В - пара эквивалентных матриц, имеющих ранг r, то для каждого натурального числа k ? r верно равенство
Доказательство. Можно ограничиться рассмотрением матриц А и В, размер которых s n удовлетворяет условию: s ? 2, n ?2. Докажем сначала утверждение теоремы в предположении, что матрица В получена из матрицы А одним элементарным преобразованием. Из всех миноров порядка k матрицы А составим строку.
На ряду со строкой S рассмотрим строку соответствующих миноров матрицы В.
Эти строки составляются так, что соответствующие миноры из матриц А и В имеют одинаковые индексы: , н = 1, ..., h. Докажем, что Т ~ S. Для этого рассмотрим элементарные преобразования матриц четырех типов, одно из которых может быть преобразующим матрицу А в матрицу В.
- 1. Пусть матрица В получена из матрицы А умножением ее на i-й строки на обратный элемент е. Очевидно, что, если минор не содержит i-й строки, и, если минор сдержит i-й строку. Следовательно, строка Т получается из строки S умножением некоторых ее элементов на е. Поэтому Т ~ S. 2. Пусть матрица В получена из матрицы А прибавлением к i-й строке матрицы А ее i-й строки, умноженной на элемент q, причем i ? j. Если в минор не входит i-я строка, то. Если в минор входят и i-я и j-я строки, то, в силу известного свойства определителей, имеет место равенство. Если же в минор входит i-я строка, но не входит j-я строка, то, где минор получается из минора заменой в нем i-й строки матрицы А ее j-й строкой. Из полученных выражений для миноров, входящих в строку Т, следует, что Т ~ S 3. В случае, когда матрица В получена из матрицы А умножением ее
I-го столбца на обратимый элемент е, доказательство ничем существенным не отличается от доказательства в случае 1.
4. В случае, когда матрица В получена из матрицы А прибавлением к
I-му столбцу матрицу А ее j-го столбца, умноженного на элемент q, доказательство ничем существенным не отличается от доказательства в случае 2 Тем самым эквивалентность срок Т ~ S соответствующих минорам матриц А и В доказано. Из эквивалентности Т ~ S вытекает, что. Таким образом, в случае, когда матрица В получена из матрицы А утверждение теоремы доказано.
Из теоремы вытекают два следствия
Следствие 1. Пусть rang А = r > 1. Если в классе канонической является матрица
,
То /
Следствие 2. Если матрица, определенная в следствии 1, является канонической в классе, то каноническими в классе являются все матрицы вида
С любыми е1, е2, ..., еRG и только они.
Теорема (об элементах канонической матрицы). Если rang А = r и
(17)
То в качестве ненулевых элементов канонической матрицы в классе можно взять элементы
(18)
Доказательство. Пусть - все ненулевые элементы некоторой канонической матрицы в классе. Из условия (17), которым подчинены элементы, и следствия 1 вытекают равенства
(19)
Где е1, е2, ..., еR - подходящие элементы на G. Из этих равенств тривиальным способом следует, что
(20)
Так как элементы канонической матрицы определяются с точностью до ассоциированности, то, как это вытекает из равенства (20), в качестве элементов канонической матрицы в классе можно взять элементы (18) и только в том порядке, в котором они уже расположены.
Похожие статьи
-
Линейные уравнения и системы линейных уравнений над кольцом целостности - Евклидовость в математике
Математическое предположение, которое может быть только истинным, или ложным, "существует столбец значений неизвестных такой, что соответствующие этому...
-
Евклидовы кольца - Евклидовость в математике
Кольцо целостности Е называется евклидовым, если на множестве Е можно определить функцию е, значение которой является целыми неотрицательными числами,...
-
Актуальность исследования Цель исследования: Изучение теоретических и практических аспектов евклидовости в математике Задачи исследования: 1. Изучить...
-
Ранг матрицы. - Методы решения системы линейных уравнений
Как было сказано Выше , минором матрицы порядка s называется определитель матрицы, образованной из элементов исходной матрицы, находящихся на пересечении...
-
Матриці. Дії над матрицями Матриця вперше з'явилась в середині ХІХ століття в роботах англійських математиків У. Гамільтона і А. Келі [У. Гамільтон,...
-
Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длины. Матрицы равны между собой, если равны все их соответствующие...
-
Определение . Алгебраическим дополнением минора матрицы называется его Дополнительный минор , умноженный на (-1) в степени, равной сумме номеров строк и...
-
Визначення : Нехай дана матриця А=(mn), тоді мінором порядку "k" називають визначник, складений з елементів цієї матриці, якщо в неї викреслити (m--k)...
-
МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ Матрицей A называется любая прямоугольная таблица, составленная из чисел, которые называют элементами матрицы и обозначается...
-
Диагональная матрица, все диагональные элементы которой равны единице (), называется единичной матрицей и обозначается символом E. Элементы единичной...
-
Элементарные преобразования, Миноры - Методы решения системы линейных уравнений
Определение. Элементарными преобразованиями матрицы назовем следующие преобразования: 1) умножение строки на число, отличное от нуля; 2) прибавление к...
-
Матрицы и определители - Методы решения системы линейных уравнений
Определение. Матрицей размера mn, где m - число строк, n - число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа...
-
В теории чисел большую роль играет числовая функция, называемая функцией Эйлера. Определение 3.1. Функцией Эйлера называется функция, определенная на...
-
Математик-циклоп - Великая теорема Ферма
Создание математики -- занятие мучительное и таинственное. Объект доказательства часто бывает ясен, но путь к доказательству теряется в тумане, и...
-
Свойства операции умножения матриц - Методы решения системы линейных уравнений
1)Умножение матриц не коммутативно, т. е. АВ ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких - либо матриц соотношение АВ=ВА...
-
Вступ, Необхідні відомості з теорії матриць - Невід'ємні матриці
Відомо [[1]-[10]], яку важливу роль відіграють невід'ємні матриці в математичних моделях економіки, біології, теорії ймовірностей тощо. Одними з...
-
Диференціал, Визначення диференціала. - Основи вищої математики
Визначення диференціала. Формули й правила диференціювання. Використання диференціала для наближених обчислень. Основні теореми диференціального...
-
Нескінченно мала й нескінченно велика величини - Основи вищої математики
Визначення . Змінна N , що має межу рівну 0, називається нескінченно малою величиною, якщо для кожного > 0 знайдеться n 0 таке, що | N |< ( N > N 0) ....
-
В школьной алгебре одночленом от некоторой буквы x называется алгебраическое выражение вида, где a - некоторое число, x - буква, m - целое...
-
Визначники та їх властивості - Основи вищої математики
До поняття визначника приходимо, розглядаючи системи алгебраїчних рівнянь першого степеня. Розглянемо систему рівнянь: (2.1) X та y -- невідомі,...
-
Для трехотраслевой экономической системы заданы матрица коэффициентов Прямых материальных затрат И вектор конечной продукции Найти коэффициенты полных...
-
Матрицы пространственных весов формализуют предположение о том, что исследуемый объект (район) имеет большую связь с близлежащими объектами (районами),...
-
Гомоморфизм алгебр. Конгруэнции - Формационные основы универсальных алгебр
3.1. Отображение f из алгебры A в алгебру B называется гомоморфизмом, если для любых элементов и любой n-арной операции справедливо равенство Если же...
-
УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ Любая Поверхность есть геометрическое место точек, ее составляющих, определенное уравнением Иными словами, все точки, которые...
-
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СКАЛЯРНЫХ И ВЕКТОРНЫХ ВЕЛИЧИН Величины называют Скалярными (скалярами), Если они после выбора единиц измерения полностью...
-
Задание №1 Найти матрицу АВ+3Е и ВА+3Е, где , , Е - единичная матрица соответствующего порядка. Решение: Найти матрицу АВ+3Е 1.1 Найдем размер матрицы...
-
Принцип Дирихле - Разработка контрольных работ по математике
В математике большое значение имеют так называемые доказательства существования. Самый простой способ доказать существование объекта с заданными...
-
Задание. Рассматривается вычислительная система состоящая из n вычислительных машин. Имеется n задач. Задана матрица T определяющая время решения i-й...
-
Теорема Маркова - Невід'ємні матриці
Нехай для стохастичної матриці P існує натуральне число k0 таке, що (тобто всі елементи додатні). Тоді 1. (існування границі матриці означає, що існує...
-
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О КОММИВОЯЖЕРЕ МЕТОДОМ ВЕТВЕЙ И ГРАНИЦ: ОСНОВНАЯ СХЕМА - Задача коммивояжера
Пусть - конечное множество и - вещественно-значная функция на нем; требуется найти минимум этой функции и элемент множества, на котором этот минимум...
-
Дослідження функції однієї змінної за допомогою першої й другої похідних - Основи вищої математики
I. Ознаки сталості зростання й спадання функції Теорема 1. Якщо у всіх точках проміжку A < X < B похідна F ( Х) = 0, то функція F ( Х) зберігає в...
-
Розкриття невизначеностей. Формула Тейлора - Основи вищої математики
1. Невизначеність виду 0/0. Теорема 1 ( Правило Лопіталя - Гійом 1661-1704 р., французький математик, автор першого друкованого підручника по...
-
Построение исходного опорного плана - Экономико-математические методы
Моделирование экономический математический опорный Построение опорных планов, а также их преобразование будем производить непосредственно в...
-
Теорема 1. Похідна від функції logax дорівнює, тобто якщо y=logax, то . (11.1) Теорема 2. Похідна від sinx є cosx, тобто якщо y=sinx, то Y =cosx. (11.2)...
-
Точки розриву і їхня класифікація. Теореми про безперервні функції - Основи вищої математики
Якщо функція F така, що для неї існують межі F ( А +0) і F ( А --0), однак F ( А ) F ( А +0) F ( А --0), то, мабуть, вона нерозривна (не безперервна) у...
-
Теореми про межі. Чудові межі - Основи вищої математики
Будемо розглядати сукупність функцій, які залежать від того самого аргументу Х , при цьому Ха або Х . Доведення проводиться для одного із цих випадків,...
-
Позор математики - Великая теорема Ферма
С тех пор, как я еще мальчиком впервые столкнулся с Великой теоремой Ферма, она стала моим увлечением на всю жизнь, -- вспоминает Эндрю Уайлс, и его...
-
Пусть: A = 0,4/ x1 + 0,2/ x2+0/ x3+1/ x4; B = 0,7/ x1+0,9/ x2+0,1/ x3+1/ x4; C = 0,1/ x1+1/ x2+0,2/ x3+0,9/ x4. Здесь: 1. A?B, то есть A содержится в...
-
Визначення. Матриця називається оберненою матриці, якщо їх добуток, тобто рівний одиничній матриці. Якщо квадратна матриця має зворотню матрицю, то вона...
-
Масс-спектрометрия с лазерной десорбцией/ионизацией при помощи матрицы (MALDI-MS) впервые была использована в 1988 году Танакой, Карасом и Хилленкампом....
Матрицы над евклидовым кольцом - Евклидовость в математике