Евклидовы кольца - Евклидовость в математике
Кольцо целостности Е называется евклидовым, если на множестве Е можно определить функцию е, значение которой является целыми неотрицательными числами, таким образом, что выполняются следующие аксиомы:
Е1. если a b, то е(а) е(b),
Е2. для любых a и b 0 найдутся элементы q, rЕ такие, что имеет место равенство а = bq+ r при выполнении условия r = 0 или е(r) е(b).
Представление элемента а через элемент b 0 в виде правой части равенства а = bq+ r с условием r = 0 или е(r) е(b) называется делением с остатком а и b; элемент q называется неполным частным и элемент r - остатком, независимо от того, равен нулю элемент r или не равен.
Функция е называется евклидовой нормой. Евклидова норма определяется аксиомами Е1 и Е2 неоднозначно. Свойства евклидовой нормы:
1. Если с и а 0, то е(с) = е(а).
Доказательство. Из условия ассоциированности ненулевых элементов с и а следует, что а с и с а. Из этих отношений делимости и аксиомы Е1 вытекают неравенства е(а) е(с) и е(с) е(а), следствие которых является доказываемое равенство.
2. Если с а и е(с) = е(а), то с и a - ассоциированные элементы.
Доказательство. Разделим с остатком а на с:а = сq+r. Если предположим, что r 0, то е(r) е(а). С другой стороны, из условия с а следует, что r а и е(r) е(а). Из полученного противоречия следует, что r=0. Но тогда a с, и элементы а и с ассоциированы
3. е(с) = е(1) тогда и только тогда, когда сG.
Доказательство. Достаточность условия вытекает из свойства 1 при а = 1, необходимость условия вытекает из свойства 2 при а = 1.
4. если еG, е(е) = е1.
Доказательство. Пусть для некоторого с верно равенство е(с) = е1. Так как с е, то из аксиомы Е1 следует неравенство е(е) е(с) (=е1). Вследствие минимальности числа е1 как значения евклидной нормы от сюда следует, что е(е) = е1
5. Если а не является элементом G, то е(а) е1
Доказательство проведем от противного. Допустим, чтое(а) = е1. Тогда, в силу свойства 4, е(а) = е(е). Отсюда с учетом отношения делимости а е и свойства 2 следует аG, что противоречит условию. Следовательно, свойство 5 верно
6. Если с а и с не ассоциировано с а, то е(с) е(а).
Доказательство вытекает из свойства 2 и аксиомы Е1
7. В евклидовом настоящем кольце множество значений евклидовой нормы бесконечно.
Доказательство. В евклидовом настоящем кольце содержится по крайней мере один регулярный элемент а. В силу свойства 6 последовательность значений евклидовой нормы е(а), е(а2), ..., е(аS), ... монотонно возрастает и не ограничена сверху
Пусть n - натуральное число и а1, ..., аН, ..., аN - произвольная система элементов произвольно взятого кольца целостности, содержащая по крайней мере один ненулевой элемент. Такие системы элементов мы будем называть ненулевыми в отличие от нулевых систем элементов, содержащих только нули. Общие делители элементов системы а1, ..., аН, ..., аN всегда существуют; таковым, например, является любой обратимый элемент кольца целостности.
Теорема (о существовании наибольшего общего делителя (НОД)). В евклидовом кольце Е для элементов каждой ненулевой системы вида а1, ..., аН, ..., аN существует НОД; каждый НОД элементов такой системы можно представить в виде линейной комбинации, составленной из элементов этой системы с коэффициентами из кольца Е.
Доказательство. Для исключения небольших тривиальных осложнений будем предполагать, что система а1, ..., аН, ..., аN не содержит нулей. Рассмотрим линейную форму над Е
(1)
C n 1 неизвестными. На множестве всех ненулевых значений линейной формы евклидова норма е принимает свое наименьшее значение; пусть оно достигается при, н = 1, ...,n. Положим
(2)
Докажем, что для всех н = 1, ..., n. С этой целью разделим на с остатком коэффициент на :
(3)
Предположение о том, что, приводит к противоречию. Действительно, исключая из равенства (3) при помощи равенства (2), получаем новое выражение для :
(4)
Которое представляет собою значение линейной формы. В силу минимальности числа е() как значения е() имеет место неравенство е()е(), противоречащее неравенству е()е(), вытекающему из уравнения (3) и аксиомы Е2 из определения евклидового кольца. Следовательно, = 0 и для всех указанных выше значений индекса н. Поэтому является общим делителем системы а1, ..., аН, ..., аN.
Так как любой общий делитель тех же элементов делит правую часть (2), то ; следовательно является НОД системы а1, ..., аН, ..., аN. Одновременно с существованием НОД доказано второе утверждение теоремы о возможности линейного представления НОД - это следует из формулы (2).
Теорема. Если S2 и, то.
Доказательство. и Достаточно доказать, что. Нетрудно убедиться в том, что имеют место следующие отношения делимости: и. Из них непосредственно следует, что. С другой стороны, очевидно, что является общим делителем элементов ; поэтому. Следовательно, элементы и ассоциированы.
Элементы при n 2 называются взаимно простыми, если. Отметим следующие свойства НОД двух и более элементов, большинство которых связано с понятием взаимной простоты элементов системы.
- 1. Если, то для любого с 0 имеет место отношение принадлежности. 2. Если, то. 3. При n 2 равенство имеет место тогда и только тогда, когда. 4. Если и, то 5. Если, и, то
Вернемся к рассмотрению системы элементов вида
(5)
Где n 1. Будем предполагать, что среди элементов системы (5) нет нулей. Элемент m? 0 такой, что m? aI, i=1, ..., n, называется общим кратным системы (5), если n 2, и кратным элемента aI, если n=1. Общие кратные любой системы ненулевых элементов существуют; например, их общим кратным является их произведение. Наибольшим общим кратным (НОК) системы (5) называется такое их общее кратное, на которое делится любое их общее кратное.
Теорема (о существовании НОК) В евклидовом кольце Е для каждой ненулевой системы элементов (5) существует НОК.
Доказательство. Пусть М - множество всех общих кратных элементов системы (5). На множестве М значения евклидовой нормы е(х) достигают своего минимума и пусть этот минимум достигается при х = m. Произвольно взятое разделим с остатком на m: m1 = mq + r. Предположение о том, что r 0, сразу приводит к противоречию: в силу свойства 2 делимости, в силу аксиомы Е2 имеем неравенство е(r) е(m), противоречащее минимальности е(m) на множестве М. Поэтому r = 0, ,следовательно, m есть НОК элементов системы (5)
Теорема (о связи между НОК и НОД). Пусть и, , тогда.
Доказательство. Элементы a и b представим в виде
,(6)
Где
(7)
Пусть m1 - произвольное общее кратное элементов a и b. По определению общего кратного m1 = aq = bt. Исключая из этих равенств a и b при помощи равенства (6), получаем равенства
M1 = a1Dq = b1Dt(8)
Из правого равенства (8) следует a1Q = b1T. Отсюда и из равенства (7) получаем q = b1S. Подставляем это выражение для q в левое из равенств (8), получаем равенство m1 = b1D s. Такой вид имеют все общие кратные элементов a и b. При s = е общее кратное
M = еa1B1D(9)
Обладает очевидным свойством: для любого общего кратного m1 элементов a и b имеет место отношение делимости m1 m. Поэтому. Умножая равенство (9) на d и используя равенство (6), получаем требуемый результат: md = еab
Теорема. Если s ? 2 и, то
Теорема. В евклидовом кольце каждое множество элементов, имеющих одно и то же значение евклидовой нормы, конечно тогда и только тогда, когда группа обратимых элементов этого кольца конечна.
Доказательство. Необходимость условия тривиальным образом вытекает из свойства евклидовой нормы 1. Для доказательства достаточности условия применим индукцию по порядковому номеру значений евклидовой нормы, расположенных в порядке монотонного возрастания. Неравенству е(х) ? е1 удовлетворяют только обратимые элементы (см. свойство евклидовой нормы 3), количество которых конечно по условию. Предположим, что для произвольного n ? 1 неравенству е(х) ? еN удовлетворяет лишь конечное число значений переменного х, и докажем, что неравенству е(х) ? еN+1 также удовлетворяет лишь конечное число значений переменного х. Будем доказывать это от противного: допустим, что неравенству е(х) ? еN+1 удовлетворяет бесконечно много попарно различных значений переменного х. Из этого допущения следует, что существует бесконечная последовательность х1, ..., хН, ... попарно различных элементов евклидового кольца такая, что выполняется равенство с(хН) = еN+1 Для нN. Произвольно выбираем элемент a с одним условием: е(a) = еN+2, что возможно в силу 7 свойства евклидовой нормы. Выбранный элемент a делим с остатком на хН и получаем последовательность равенств
(10)
Где
(11)
По предположению индукции существует лишь конечное число попарно различных элементов r н, удовлетворяющих условию (11). Поэтому существует бесконечная подпоследовательность
(12)
Последовательности х1, ..., хН, ..., для элементов которой в равенстве (10) будет одно и тоже значение остатка для всех s N. Отсюда непосредственно следует, что имеет место бесконечная цепочка равенств. Таким образом члены бесконечной последовательности (12) являются попарно различными делителями элемента a - r. С другой стороны, из предположения о конечности группы G следует, что полное число делителей элемента a - r ? 0 равно gф(a - r) r. Полученное противоречие говорит о том, что неравенству е(х) ? еN+1 удовлетворяет лишь конечное число значений переменной х. Шаг индукции и теоремы доказан.
Похожие статьи
-
Актуальность исследования Цель исследования: Изучение теоретических и практических аспектов евклидовости в математике Задачи исследования: 1. Изучить...
-
Линейные уравнения и системы линейных уравнений над кольцом целостности - Евклидовость в математике
Математическое предположение, которое может быть только истинным, или ложным, "существует столбец значений неизвестных такой, что соответствующие этому...
-
Матрицы над евклидовым кольцом - Евклидовость в математике
Введем следующее определение: строку над евклидовым кольцом Е будем называть канонической, если, кроме главного элемента, все остальные ее элементы...
-
В школьной алгебре одночленом от некоторой буквы x называется алгебраическое выражение вида, где a - некоторое число, x - буква, m - целое...
-
Ответ: 2) 3) 4) Знаки значений тригонометрических функций Ответ: Sin cos tg*ctg Таблица значений Ответ: Формулы сложения Ответ1 Формулы двойного...
-
Ответ: Функция f ставит в соответствие числу х число у, а функция g числу у число z. Говорят что h есть сложная функция составленная из функций g и f, и...
-
Ответ: Функция f называется четной если для любого х из ее области определения f(-x)=f(x) График четной функции симметричен относительно оси ординат....
-
Ответ: уравнение ax2+bx+c=0. Где а не равно нулю, называется квадратным. Чтобы его решить нужно вычислить дискриминант. D=b2 -4ac и сравнить его с нулем....
-
В теории чисел большую роль играет числовая функция, называемая функцией Эйлера. Определение 3.1. Функцией Эйлера называется функция, определенная на...
-
Принцип Дирихле - Разработка контрольных работ по математике
В математике большое значение имеют так называемые доказательства существования. Самый простой способ доказать существование объекта с заданными...
-
Ответ: Функция y=arctgx, ее график, свойства Ответ: Функция y=arcctgx, ее график, свойства Ответ: Решение уравнений sinx=a, частные случаи Ответ:...
-
Элементы матричного анализа - Методы решения системы линейных уравнений
Вектором, как на плоскости, так и в пространстве, называется направленный Отрезок , то есть такой Отрезок , один из концов которого выделен и называется...
-
Теореми про межі. Чудові межі - Основи вищої математики
Будемо розглядати сукупність функцій, які залежать від того самого аргументу Х , при цьому Ха або Х . Доведення проводиться для одного із цих випадків,...
-
Межа функції - Основи вищої математики
Розглянемо деякі випадки зміни функції або прагнення аргументу Х до деякої межі " А " або до. Визначення 1: Нехай функція y=f(х) визначена в деякій...
-
Геометрия древних египтян (Планиметрия) - История развития математики
Если не учитывать весьма скромный вклад древних обитателей долины между Тигром и Евфратом и Малой Азии, то геометрия зародилась в Древнем Египте до 1700...
-
Система счисления и вычислительная техника египтян - История развития математики
Расшифровка системы счисления, созданной в Египте во времена первой династии (ок. 2850 до н. э.), была существенно облегчена тем, что иероглифические...
-
Системи лінійних алгебраїчних рівнянь - Основи вищої математики
1. Будемо розглядати систему з "m" лінійних алгебраїчних рівнянь із "n" невідомими (8.1) Рішенням такої системи називається такий набір чисел Х 1, Х 2,...
-
Системы счисления в Древней Греции - История развития математики
В Древней Греции имели хождение две основных системы счисления - аттическая и ионическая. Аттическая система счисления использовалась греками,...
-
Задание №1 Найти матрицу АВ+3Е и ВА+3Е, где , , Е - единичная матрица соответствующего порядка. Решение: Найти матрицу АВ+3Е 1.1 Найдем размер матрицы...
-
Ответ: В педагогических исследованиях прикладная направленность математики, понимается как содержательная и методическая связь курса математики с...
-
Математик-циклоп - Великая теорема Ферма
Создание математики -- занятие мучительное и таинственное. Объект доказательства часто бывает ясен, но путь к доказательству теряется в тумане, и...
-
II семестр §1. Евклидово пространство Евклидово пространство - это линейное пространство с некоторым образом введенной операцией "скалярного...
-
Ответ: Модуль разности точного и приближенного значения величины называется абсолютной погрешностью приближения. Любое положительное число, которое...
-
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ Если некоторому множеству значений поставлено по определенному правилу F во взаимнооднозначное соответствие некоторое множество, то тогда...
-
Визначники та їх властивості - Основи вищої математики
До поняття визначника приходимо, розглядаючи системи алгебраїчних рівнянь першого степеня. Розглянемо систему рівнянь: (2.1) X та y -- невідомі,...
-
Счетные и несчетные множества - Методы решения системы линейных уравнений
Пусть, например, А и В Ї некоторые множества. Тогда их возможные взаимоотношения можно рассмотреть в виде таблицы: Диаграмма Венна Диаграмма Венна...
-
Диференціал, Визначення диференціала. - Основи вищої математики
Визначення диференціала. Формули й правила диференціювання. Використання диференціала для наближених обчислень. Основні теореми диференціального...
-
Похідна. Її фізична (механічна) і геометрична інтерпретація - Основи вищої математики
І. Вважаючи, що X 0, розглянемо в даній фіксованій точці " Х " відношення приросту функції в цій точці до відповідного приросту аргументу Х . (7.1) (7.1)...
-
А) Представлення у вигляді многочлена, тобто можна представити у вигляді многочлена за допомогою елементарних перетворень (приведеня подібних членів і...
-
Границя функції, Неперервність - Вища математика
Нехай функція визначена в деякому околі точки. Околом точки називається сукупність усіх точок таких, що віддаль О-2. (Гепрія Гейне (1821-1881)- нім....
-
ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЇ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ, Поняття межі послідовності - Основи вищої математики
Математика алгебра геометрія тригонометрія Поняття межі послідовності Визначення : Нехай кожному натуральному числу n=1, 2, 3, ... за деяким законом...
-
Ряды конгруэнций - Формационные основы универсальных алгебр
5.1. Конечная цепь конгруэнции алгебры А вида (1) , Называется Рядом конгруэнций, а число -- Длиной ряда. Фактор алгебры называется Главным , если и из ,...
-
Метод Гауса - Основи вищої математики
( Карл Фрідріх Гаус (1777-1855) іноземний член Петербурзької АН (1824), німецький математик. Праці: вища алгебра, диференціальна геометрія, математична...
-
Автори програми: вчитель інформатики ЗОШ № 3 Жовтневого району Семенова Л. О. Рекомендована для використання у школах Запорізької області. Програма...
-
Ответ: y=f(kx) получается из Графика функции f(x) сжатием его вдоль оси ох в k раз, если k>1 и растяжением в 1 деленную на k раз, если k>0 но меньше 1....
-
Визначення : Нехай дана матриця А=(mn), тоді мінором порядку "k" називають визначник, складений з елементів цієї матриці, якщо в неї викреслити (m--k)...
-
Доказательство теоремы - Об одной теореме теории чисел
Доказательство теоремы проводится отдельно для случая, когда (т. е. показатель степени в равенстве (2) - НЕЧЕТНОЕ число) и когда (т. е. показатель...
-
Визначення : Скалярний добуток двох векторів і дорівнює добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними . (6.1) Таким чином, скалярний добуток двох...
-
Четыре периода развития математики - История развития математики
С точки зрения выдающегося советского математика академика Андрея Николаевича Колмогорова, история развития математического знания распадается на четыре...
-
Визначення : Сукупність лінійно незалежних векторів, по яких відбувається розкладання інших векторів, називається Базисом . Отже, у площині можуть...
Евклидовы кольца - Евклидовость в математике