Матрицы. Линейные операции над ними и их свойства, Умножение матриц. Транспонирование. Свойства - Сферический треугольник и его применение

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длины.

Матрицы равны между собой, если равны все их соответствующие элементы.

Матрица, у которой число строк и столбцов равно - называется квадратной.

Матрица, все элементы которой, кроме элементов главной диагонали равны нулю, называется диагональной.

Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны 1, называется единичной. Обозначается буквой Е.

Матрица, у которой все элементы по одну сторону от главной диагонали равны нулю, называется треугольной.

Матрица, у которой все элементы равны нулю, называется нулевой.

    1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
Умножение матриц. Транспонирование. Свойства

Операция умножения возможна, если количество столбцов первой матрицы равно количеству строк другой матрицы.

Где

    1. 2. 3. 4.

Матрица, полученная заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей транспонированной, к данной.

    1. 2. 3. Определители матриц. Свойства определителей. Миноры и алгебраические дополнения 1. 2. 3.

Для нахождения определителя более высокого порядка, матрицу приводят к треугольному виду и считают произведение элементов на главной диагонали.

Свойства:

    1. Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами, и наоборот. 2. При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак. 3. Определитель, имеющий два одинаковых или пропорциональных ряда, равен нулю. 4. Общий множитель элементов можно вынести за знак определителя. 5. Если элементы какого-либо ряда представляют собой сумму элементов, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей. 6. Определитель не изменится, если прибавим ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и тоже число. 7. Определитель равен сумме элементов, умноженных на соответствующее им алгебраическое дополнение. 8. Сумма произведения элементов одного ряда на алгебраические дополнения параллельного ряда равна нулю. 4. Разложение определителя по элементам ряда. Теорема замещения

Определитель равен сумме произведений элементов на соответствующее им алгебраическое дополнение.

Берем любые N чисел и умножим на алгебраическое дополнение какой-либо строки.

    5. Обратная матрица. Достаточное условие существования обратной матрицы 1. 2. 3.

Для того чтобы матрица имела обратную достаточно того, чтобы она была невырождена.

    6. Элементарные преобразования матриц. Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы 1. Перестановка местами 2 параллельных рядов матрицы. 2. Умножение элементов ряда матрицы на число отличное от нуля, отличное от нуля. 3. Прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и тоже число.

Из элементов стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим определитель k-ого порядка. Наибольший из порядков таких миноров называется рангом матрицы.

7. Решение линейных уравнений. Решение невырожденых систем. Метод Гаусса

Сначала следует привести систему к треугольному (ступенчатому) виду, а затем ступенчато решить.

Формула Крамера.

Затем матрицей B заменить первый столбец матрицы А, подсчитать определитель и разделить его на detA, так мы получим x1. То же самое проделать со 2-ым и 3-им столбцом.

8. Однородные система уравнений. Фундаментальная система решений

Система однородных уравнений всегда имеет нулевое решение. Если ранг матрицы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений. Для того, чтобы система имела ненулевые решения, необходимо, чтобы ее определитель был равен нулю.

9. Линейные пространства. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Размерность и базис линейного пространства

Рассмотрим непустое множество элементов, которые будем обозначать через x, y, z, ... и множество действительных чисел. На этом множестве введем две операции (сложение и умножение). Пусть эти две операции подчиняются аксиомам:

    1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

V; x, y, z, ... V

Множество V с двумя операциями, удовлетворяющее аксиомам называется линейным пространством.

Элементы линейного пространства называются векторами, обозначаются, , . Существует единственный нулевой элемент, для каждого элемента существует единственный противоположный.

Линейная зависимость и независимость системы векторов. Пусть имеется n векторов.

Составим линейную комбинацию:

, если система n векторов - линейно-зависима.

Если среди n векторов какие-то k линейно-зависимы, то вся система векторов является линейно-зависимой.

Если система n векторов линейно-независима, то любая часть из этих векторов будет тоже линейно-независимой.

Размерность и базис линейного пространства. Пусть система n векторов линейно-независима, а любая система n+1 векторов - линейно-зависима, тогда число n называют размерностью пространства. dimV=n

Система этих n линейно-независимых векторов называется базисом линейного пространства. Рассмотрим систему n+1 векторов.

Такое представление называется разложение по базису, а числа называют координатами вектора.

Разложение любого вектора в выбранном базисе - единственно.

10. Матрица перехода от базиса к базису. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису

N - мерное пространство.

VN - базис, состоящий из n векторов.

В пространстве есть базисы

11. Скалярное произведение векторов и его свойства

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению этих векторов на косинус угла между ними.

    1. 2. 3. 4.

12. Векторное произведение векторов и его свойства

Три некомпланарных вектора образуют правую тройку если с конца третьего поворот от первого вектора ко второму совершается против часовой стрелки. Если по часовой - то левую.

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор, который:

    1. Перпендикулярен векторам и. 2. Имеет длину, численно равную площади параллелограмма, образованного на векторах и.

,

Где

Похожие статьи




Матрицы. Линейные операции над ними и их свойства, Умножение матриц. Транспонирование. Свойства - Сферический треугольник и его применение

Предыдущая | Следующая