Введение, Теоретические основы эвклидовости в математике, Кольца целостности - Евклидовость в математике
Актуальность исследования
Цель исследования: Изучение теоретических и практических аспектов евклидовости в математике
Задачи исследования:
- 1. Изучить основные понятия и теоремы евклидовости в математике 2. Рассмотреть разные виды задач, связанных с евклидовыми кольцами, представить их подробное решение
Теоретическая значимость исследования заключается в систематизации теории по евклидовой математике.
Практическая значимость исследования заключается в том, что представлены задачи разного уровня сложности, которые могут быть использованы в практике в практике вузовского обучения. Всего рассмотрено 16 задач
Методы исследования: анализ математической литературы и других информационных источников; обобщение, конкретизация.
Структура работы: данная работа состоит из введения, двух глав, заключения, библиографического списка, общим объемом страниц. Во введении обоснована актуальность, ставиться цель и задачи. В первой главе рассматриваются основные понятия и теоремы
Эвклидовость математика линейный уравнение
Теоретические основы эвклидовости в математике
Кольца целостности
Пусть В - пустое множество, конечное или бесконечное. Пусть на множестве В определены две бинарные алгебраические операции: сложение и умножение. Множество В вместе с определенными на нем сложением и умножением элементов, называется коммутативным кольцом, если выполняются следующие аксиомы:
К1. Сложение ассоциативно, т. е. для любых a, b,c место равенство (a+b)+c = a+(b+c)
К2. Сложение коммутативно, т. е. для любых a, b имеет место равенство a+b = b+a
К3. Существует элемент 0В такое, что для каждого a имеет место равенство a+0 = a, где 0 - нулевой элемент
К4. Для каждого а существует элемент - аВ такой, что а+(-а) = 0, где
-а - противоположный элемент
Нуль и противоположные элементы коммутативного кольца обладают следующими свойствами:
- 1. нуль противоположен самому себе 0 = -0; 2. аналогия знака противоположности элемента с логическим отрицанием: -(-а) = а; 3. из одной части равенства двух сумм любое слагаемое можно перенести в другую часть с противоположным знаком: если a+b = с, то b = - a+c; 4. умножение дистрибутивно по отношению к вычетани: для любых a, b, c имеет место равенство c(a-b) = ca - cb; 5. аннулирование произведения: 0-с = 0, для любого с; 6. правила знаков при умножении: для любых a и b имеет место равенство (-a)b = a(-b) = -(ab), (-a)(-b) = ab;
К5. Умножение ассоциативно, т. е. для любых a, b, c имеет место равенство (ab)c = a(bc)
К6.Умножение коммутативно, т. е. для любых a, b имеет место равенство ab = ba
К7. Умножение дистрибутивно по отношению к сложению, т. е. для любых a, b, c имеет место равенство c(a+b) = ca +cb
Коммутативное кольцо называется кольцом целости, если операция умножения элементов удовлетворяет еще двум аксиомам:
К8. Если ab = 0, то a = 0 или b = 0
К9. Существует элемент 1 0 такой, что для каждого элемента имеет место равенство 1-а = а.
Непустое множество С по отношению к кольцу В называется подкольцом, если С?В и С является кольцом по сложению и умножению, определенным на В. Всегда существующие подкольца кольца В - само кольцо В и нулевое кольцо (кольцо состоящее из одного нуля кольца В) называются тривиальными. Каждое подкольцо некоторого кольца, не являющийся тривиальным, называется его собственным подкольцом.
Если для элементов с и b кольца целостности В, где b0, найдется элемент q такой, что с = bq, то говорят, что с делиться на b и выражают это формулой с b. Определенное таким образом бинарное отношение "b делит с" выражают формулой b/с. Если с 0, то b и q называют делителями элемента с; каждое из них называют дополнительными делителями по отношению к другому.
Отношение делимости обладает следующими свойствами:
- 1. Свойство транзитивности: если с b и b а, то с а. 2. Пусть s N. Если с1 b, ..., сS b, то при любых элементах k1,..., kS имеет место делимость k1С1+...+ kSСSB 3. Пусть m 0. Если а b, то аm bm и обратно.
Элементы е и з (не исключено, что е = з), принадлижащие кольцу целостности и для которых выполняется равенство ез = 1, называются обратными
Для того чтобы кратко охарактеризовать множество всех обратимых элементов кольца целостности В, удобно воспользоваться понятием абелевой группы. Множество Н, на котором определена алгебраическая операция (назовем ее умножением), называется абелевой (или коммутативной) группой, если выполняются следующие аксиомы:
Г1. для любых a, b, сН имеет место равенство (ab) с=a(bс),
Г2. для любых a, bН имеет место равенство ab=ba,
Г3. существует элемент 1Н такой, что для каждого аН имеет место равенство 1-а = а, где элемент 1 называется еденицей или нейтральным элементом,
Г4. для каждого аН существует элемент а-1Н такой, что имеет место равенство аа-1=1,где каждый из элементов а и а-1 называется обратным или нейтрализующим по отношению к другому.
Так как алгебраическая операция на группе Н названа умножением и обозначена соответствующим образом, то группу Н называют еще мультипликативной абелевой группой.
Кроме групповых свойств, обратимые элементы обладают еще следующими свойствами по отношению к ненулевым элементам кольца целостности В
- 1. a е для любых a и е, 2. если а с, то а ес для любого е, 3. если еa с, то a с, 4. если a - необратимый элемент, то при любом е элемент еa также является необратимым, 5. если a с и с a, то существует элемент е такой, что имеет место равенство с = еa.
Биективное отображение кольца В на кольцо на кольцо В? называется изоморфизмом, а кольца В и В? - изоморфными, если при этом биективном отображении соответствие элементов обладает следующими свойствами: если а а?и b b?, то a+b а?+b?.
Теорема. Любой изоморфизм колец целостности В и В? обладает следующими свойствами: а) 0 0?, б) 1 1?, в) если а а?, то - а - а?, г) если ез = 1, е е ?, з з?, то е?з? = 1?.
Кольцо целостности В, в котором, кроме нуля, все элементы являются обратимыми, называется полем.
Каждое числовое поле содержит бесконечно много элементов и поэтов и поэтому называется бесконечным. Существуют и представляют большой интерес конечные поля, которые часто называют полями Галуа.
Теорема 1) Для каждого q = pN, где p - положительное простое число и nN, существует поле Галуа GF(q) и характеристика его равна p.
- 2) Полей Галуа, количество элемент в которых является степенью простого числа, не существует. 3) Для поля Галуа, содержащие равные количества элементов, изоморфны.
В произвольном (не обязательно конечном) коммутативном кольце с единицей каждый элемент, не являющийся ни нулем, ни делителем нуля, не обратимым элементом, мы будем называть регулярным.
Теорема. В коммутативном настоящем кольце В произведение регулярных элементов является регулярным элементом.
Теорема. В конечном коммутативном кольце с единицей нет регулярных элементов.
Похожие статьи
-
Евклидовы кольца - Евклидовость в математике
Кольцо целостности Е называется евклидовым, если на множестве Е можно определить функцию е, значение которой является целыми неотрицательными числами,...
-
Линейные уравнения и системы линейных уравнений над кольцом целостности - Евклидовость в математике
Математическое предположение, которое может быть только истинным, или ложным, "существует столбец значений неизвестных такой, что соответствующие этому...
-
Матрицы над евклидовым кольцом - Евклидовость в математике
Введем следующее определение: строку над евклидовым кольцом Е будем называть канонической, если, кроме главного элемента, все остальные ее элементы...
-
Гомоморфизм алгебр. Конгруэнции - Формационные основы универсальных алгебр
3.1. Отображение f из алгебры A в алгебру B называется гомоморфизмом, если для любых элементов и любой n-арной операции справедливо равенство Если же...
-
Введение - Теоретические основы статистики результатов экономической деятельности
Экономическая статистика -- одного из наиболее важных разделов статистической науки и вида деятельности органов государственной статистики, призванных...
-
Конечные прямые и подпрямые произведения - Формационные основы универсальных алгебр
На протяжении всего параграфа будут рассматриваться только конечные проиведения. Пусть алгебра и - подалгебра алгебры. Тогда отображение Такое, что для...
-
Решетки (структуры) - Формационные основы универсальных алгебр
Понятие решетки (пример 11) играет исключительно важную роль в изучении самых общих алгебр. И это, в первую очередь, связано с иным подходом в...
-
Определение. Примеры - Формационные основы универсальных алгебр
1. Пусть А - непустое множество (АШ), n -- натуральное число, - декартова (прямая) n-ая степень множества А. В частности, если n=0, то под будем понимать...
-
В школьной алгебре одночленом от некоторой буквы x называется алгебраическое выражение вида, где a - некоторое число, x - буква, m - целое...
-
Ряды конгруэнций - Формационные основы универсальных алгебр
5.1. Конечная цепь конгруэнции алгебры А вида (1) , Называется Рядом конгруэнций, а число -- Длиной ряда. Фактор алгебры называется Главным , если и из ,...
-
Статистики, Свойства оценок - Основы научных исследований
Любая функция от элементов выборки называется Статистикой . Следовательно, точечная оценка также является статистикой. Однако не всякая статистика может...
-
Введение - Синтез пара-нитродифенила. Теоретические основы нитрования
Нитрования - один из важнейших процессов в химической промышленности. Продукты, получаемые за счет нитрования, являются полуфабрикатами для производства...
-
Введение, Теоретическая часть - Механические свойства полимеров
Цель работы: Изучить прочность полиэтиленово й пленки при деформации растяжения и процесс релаксации напряжения. Построение деформационной и...
-
Введение - Формационные основы универсальных алгебр
Впервые, понятие формации алгебраических систем было введено Л. А. Шеметковым в 1984 г. в работе [1] .Напомним, что непустой класс F алгебраических...
-
Введение, Что такое наука - Основы научных исследований
Что такое наука Развитие металлургии вообще и обработки металлов давлением в частности требует создания новых технологий и оборудования, которое...
-
Теоретические основы масс-спектрометрии Масс-спектрометрия представляет собой метод исследования веществ, основанный на определении массы (точнее,...
-
Развитие методов многокритериальной оптимизации сложных систем обусловлено необходимостью повышения эффективности их функционирования на основе обобщения...
-
Генеральная совокупность и выборка - Основы научных исследований
Распределение случайной величины содержит всю информацию о ее статистических свойствах. Много ли нужно знать значений случайной величины, чтобы построить...
-
Методы отбора выборок - Основы научных исследований
Известны три метода отборок выборок: случайный, систематический и комбинированный. В результате случайного отбора получается случайная выборка. Выборка...
-
Решетка конгруэнций - Формационные основы универсальных алгебр
Если - отношение эквивалентности на множестве и, то будем это отношение изображать в виде неориентированного графа Ris04.eps Ris05.eps 4.1. Теорема....
-
Ответ: Функция f называется четной если для любого х из ее области определения f(-x)=f(x) График четной функции симметричен относительно оси ординат....
-
В данной работе доказывается методами элементарной математики "большая" или "последняя" теорема Ферма. Некоторая, излишняя в обычных случаях, подробность...
-
Введение, Объект, система, модель - Виды моделей
Моделированием называют построение модели того или иного явления реального мира. В общем виде модель - это абстракция реального явления, сохраняющая его...
-
Многообразия - Формационные основы универсальных алгебр
8.1. Пусть и -- слова сигнатуры в счетном алфавите. Тогда формальное равенство называется - тождеством или тождеством сигнатуры. Пусть тождество имеет...
-
Алгебры слов (термов) - Формационные основы универсальных алгебр
7.1. Пусть - некоторая сигнатура, - произвольное множество, в частности пустое. Построим множество - слов (- термов) индуктивно следующим образом:...
-
Физическое моделирование - Основы научных исследований
Физическими моделированием называется изучение свойств явлений или процессов на физических моделях, заменяющих собою объект, который в таком случае...
-
Введение - Моделирование лингвистических оценок на основе ACL-шкалы
Лингвистические оценки (ЛО) являются средством качественного оценивания и сравнения характеристик объектов, используемые проектировщиками, менеджерами,...
-
Проблема аккуратной компьютерной имитации рабочего процесса ДВС всех типов заключается в высокой размерности модельных динамических систем, причем...
-
Процесс получения винилхлорида сбалансированным методом из этилена состоит из шести стадий: 1. синтез 1,2-дихлорэтана прямым жидкофазным хлорированием...
-
Теоретические основы процесса Реакторы смешения - это емкостные аппараты с мешалкой или циркуляционным насосом. Человечество давно пользуется...
-
Процесс нитрования углеводородов смесью азотной и серной кислот протекает в гетерогенной среде, так как образуются две фазы - органическая...
-
Перечислимость. - Рекурсивные функции
В предыдущем упражнении мы показали, что операции алгебры логики не выводят за пределы разрешимых предикатов. Но полный язык математической логики, как...
-
Задание №1 Найти матрицу АВ+3Е и ВА+3Е, где , , Е - единичная матрица соответствующего порядка. Решение: Найти матрицу АВ+3Е 1.1 Найдем размер матрицы...
-
Принцип сходимости, Предел функции. Теорема Гейне - Свойства функций
Рассмотрим вопрос о существовании пределов последовательностей концевых точек бесконечной системы промежутков, вложенных друг в друга. Лемма Кантора ....
-
Логарифм алгебраический угол число Формулы двойного аргумента Sin 2x=2sin xЧcos x Cos 2x=cosІx-sinІx Cos 2x=1-2sinІx Cos 2x=2cosІx-1 Обратные...
-
Теоретические основы каталитического пиролиза - Пиролиз углеводородного сырья
Теоретические основы процесса каталитического пиролиза в настоящее время изучены недостаточно. В качестве активных компонентов катализаторов для пиролиза...
-
Кинетика и катализ, Теоретические основы термического пиролиза - Пиролиз углеводородного сырья
Теоретические основы термического пиролиза Термическое разложение углеводородов представляет собой сложный процесс, который можно представить как ряд...
-
Валовой внутренний продукт (ВВП) - общий показатель экономической деятельности страны, центральный макроэкономический показатель системы национальных...
-
Заключение - Теоретические основы статистики результатов экономической деятельности
1. С целью выявления тенденций среди компаний Западной Сибири, мы взяли официальные, достоверные данные о величине валовой прибыли 31 компании за 2015...
-
Свойства операции умножения матриц - Методы решения системы линейных уравнений
1)Умножение матриц не коммутативно, т. е. АВ ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких - либо матриц соотношение АВ=ВА...
Введение, Теоретические основы эвклидовости в математике, Кольца целостности - Евклидовость в математике