Линейные уравнения и системы линейных уравнений над кольцом целостности - Евклидовость в математике

Математическое предположение, которое может быть только истинным, или ложным, "существует столбец значений неизвестных такой, что соответствующие этому столбцу значения линейных выражений f b h равны" записывается с помощью знака равенства в следующей форме:

(21)

Формула (21) с учетом ее смысла называется линейным уравнением над кольцом целостности В. Линейное выражение, находящееся в формуле (21) слева от знака равенства, называется левой частью уравнения, находящееся с права - его правой частью. Элементы b0 и c0 называют свободными членами, элементы b1, ..., bN, c1, ..., cN называются коэффициентами (при соответствующих неизвестных).

О неизвестных x1, ..., xn говорят, что они входят в линейное уравнение (21). О неизвестном xН (н = 1, ..., n) говорят, что оно существенно входит в линейное уравнение (21), если bН ? cН, то говорят, что неизвестное входит в линейное уравнение (21) несущественно.

Если существует столбец над кольцом В такое, что соответствующие этому столбцу значения левой и правой частей линейного уравнения (21) равны, то столбец К называется решением линейного уравнения (21), а о самом линейном уравнении говорят, что оно разрешимо. Решение линейного уравнения записывают не только в виде столбца К, но и в виде строки КТ и, еще, в виде системы равенств

Пусть задано s ? 2 пар линейных выражений над кольцом целостности В: , где н =1, ...., s. Математическое предположение, которое может быть только или истинным, или ложным, "существует столбец значений неизвестных такой, что соответствующие этому столбцу значения линейных выражений fН и hН равны для всех указанных значений индекса н" записывается в форме упорядоченной (сверху вниз) системы s равенств

(22)

..................................................................

Упорядоченная система равенств (22) с учетом ее смысла, придаваемого ей предыдущим предложением, называется системой линейных уравнений над кольцом целостности В.

Преобразование систем линейных уравнений

ЭПС-1 Умножение уравнения системы на элемент еG

ЭПС-2 Прибавление к одному уравнению системы другого ее уравнения, умноженного на элемент qB.

Элементарные преобразования систем линейных уравнений обладают следующими свойствами, доказательства которых тривиальны.

    1. Каждое ЭПС обратимо 2. Каждое ЭПС преобразует систему линейных уравнений в равносильную.

Рассмотрим систему линейных уравнений:

(23)

..........................................

Пусть А - матрица коэффициентов системы линейных уравнений (23), В - столбец свободных членов той же системы линейных уравнений. Системе линейных уравнений (23) взаимно однозначно соответствует блочная матрица, которая называется расширенной матрицей системы, и столбец неизвестных Х. С помощью введенных матриц систему линейных уравнений (23) можно записать в матричной форме

АХ = В(24)

Которая называется матричным уравнением. Два матричных уравнения с одним и тем же столбцом неизвестных называются равносильными, если их общие решения совпадают.

Теорема. Пусть две системы линейных уравнений записаны в матричных формах. Если системы линейных уравнений равносильны, то соответствующие им матричные уравнения равносильны, и обратно.

Доказательство тривиальным образом вытекает из определения равносильности систем линейных уравнений и равносильности матричных уравнений.

Похожие статьи




Линейные уравнения и системы линейных уравнений над кольцом целостности - Евклидовость в математике

Предыдущая | Следующая