Понятие матриц


Диагональная матрица, все диагональные элементы которой равны единице (), называется единичной матрицей и обозначается символом E.

Элементы единичной матрицы могут быть представлены с помощью дельта-символа Кронекера:

. (1)

В матричной алгебре матрица E играет ту же роль, что число единица в системе вещественных чисел, а именно - при умножении на единичную матрицу (справа или слева) исходная матрица не изменяется:

. (2)

Действительно, пусть - произвольная матрица размера mЧn. Рассмотрим i, j-ый элемент матричного произведения AE, где E - единичная матрица n-го порядка.

Согласно определению матричного произведения и с учетом свойств дельта-символа,

(3)

Для любых допустимых значений индексов i, j и, следовательно, AE = A.

Рассмотрим теперь i, j-ый элемент матричного произведения EA, где E - единичная матрица m-го порядка:

(4)

Попарное равенство матричных элементов для всех i, j влечет за собой равенство соответствующих матриц: EA = A.

Транспонирование. Рассмотрим произвольную матрицу A из m строк и n столбцов.

Ей можно сопоставить такую матрицу B из n строк и m столбцов, у которой каждая строка является столбцом матрицы A с тем же номером (следовательно, каждый столбец является строкой матрицы A с тем же номером). Итак, если

, то.

Эту матрицу B называют транспонированной матрицей A, а переход от A к B транспонированием.

Таким образом, транспонирование - это перемена ролями строк и столбцов матрицы. Матрицу, транспонированную к матрице A, обычно обозначают AT.

Связь между матрицей A и ее транспонированной можно записать в виде

.

Свойства транспонированных матриц.

    1). Если E-единичная матрица, то E=ET. 2). Двукратное транспонирование не изменяет матрицу (AT)T=A. 3). Транспонирование суммы матриц равносильно сложению транспонированных матриц:
      (A+B)T=AT+BT
    4).Транспонирование произведения матриц равносильно умножению транспонированных матриц:

.

    5). Транспонирование обратной матрицы равносильно вычислению обратной к транспонированной матрице:
      (A-1)T=(AT)-1 .
    6). Если транспонированная матрица AT совпадает с данной матрицей A, то матрица A называется симметрической.

Симметричной (Симметрической) называют квадратную матрицу, элементы которой симметричны относительно главной диагонали. Более формально, симметричной называют такую матрицу A, что.

Это означает, что она равна ее транспонированной матрице:

A = AT

Невырожденная матрица Ї квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля. В противном случае она называется вырожденной.

Для квадратной матрицы M над полем невырожденность эквивалентна каждому из следующих условий:

M обратима, то есть существует обратная матрица;

Строки (столбцы) матрицы M линейно независимы;

Элементарными преобразованиями строк (столбцов) матрицу M можно привести к единичной матрице;

Ранг матрицы равен ее размерности.

Похожие статьи




Понятие матриц

Предыдущая | Следующая