Понятие матриц
Диагональная матрица, все диагональные элементы которой равны единице (), называется единичной матрицей и обозначается символом E.
Элементы единичной матрицы могут быть представлены с помощью дельта-символа Кронекера:
. (1)
В матричной алгебре матрица E играет ту же роль, что число единица в системе вещественных чисел, а именно - при умножении на единичную матрицу (справа или слева) исходная матрица не изменяется:
. (2)
Действительно, пусть - произвольная матрица размера mЧn. Рассмотрим i, j-ый элемент матричного произведения AE, где E - единичная матрица n-го порядка.
Согласно определению матричного произведения и с учетом свойств дельта-символа,
(3)
Для любых допустимых значений индексов i, j и, следовательно, AE = A.
Рассмотрим теперь i, j-ый элемент матричного произведения EA, где E - единичная матрица m-го порядка:
(4)
Попарное равенство матричных элементов для всех i, j влечет за собой равенство соответствующих матриц: EA = A.
Транспонирование. Рассмотрим произвольную матрицу A из m строк и n столбцов.
Ей можно сопоставить такую матрицу B из n строк и m столбцов, у которой каждая строка является столбцом матрицы A с тем же номером (следовательно, каждый столбец является строкой матрицы A с тем же номером). Итак, если
, то.
Эту матрицу B называют транспонированной матрицей A, а переход от A к B транспонированием.
Таким образом, транспонирование - это перемена ролями строк и столбцов матрицы. Матрицу, транспонированную к матрице A, обычно обозначают AT.
Связь между матрицей A и ее транспонированной можно записать в виде
.
Свойства транспонированных матриц.
- 1). Если E-единичная матрица, то E=ET. 2). Двукратное транспонирование не изменяет матрицу (AT)T=A. 3). Транспонирование суммы матриц равносильно сложению транспонированных матриц:
- (A+B)T=AT+BT
.
- 5). Транспонирование обратной матрицы равносильно вычислению обратной к транспонированной матрице:
- (A-1)T=(AT)-1 .
Симметричной (Симметрической) называют квадратную матрицу, элементы которой симметричны относительно главной диагонали. Более формально, симметричной называют такую матрицу A, что.
Это означает, что она равна ее транспонированной матрице:
A = AT
Невырожденная матрица Ї квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля. В противном случае она называется вырожденной.
Для квадратной матрицы M над полем невырожденность эквивалентна каждому из следующих условий:
M обратима, то есть существует обратная матрица;
Строки (столбцы) матрицы M линейно независимы;
Элементарными преобразованиями строк (столбцов) матрицу M можно привести к единичной матрице;
Ранг матрицы равен ее размерности.
Похожие статьи
-
Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длины. Матрицы равны между собой, если равны все их соответствующие...
-
Определение . Алгебраическим дополнением минора матрицы называется его Дополнительный минор , умноженный на (-1) в степени, равной сумме номеров строк и...
-
МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ Матрицей A называется любая прямоугольная таблица, составленная из чисел, которые называют элементами матрицы и обозначается...
-
Свойства операции умножения матриц - Методы решения системы линейных уравнений
1)Умножение матриц не коммутативно, т. е. АВ ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких - либо матриц соотношение АВ=ВА...
-
Матрицы и определители - Методы решения системы линейных уравнений
Определение. Матрицей размера mn, где m - число строк, n - число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа...
-
Ранг матрицы. - Методы решения системы линейных уравнений
Как было сказано Выше , минором матрицы порядка s называется определитель матрицы, образованной из элементов исходной матрицы, находящихся на пересечении...
-
Матрицы над евклидовым кольцом - Евклидовость в математике
Введем следующее определение: строку над евклидовым кольцом Е будем называть канонической, если, кроме главного элемента, все остальные ее элементы...
-
ПРАВАЯ И ЛЕВАЯ ТРОЙКИ ВЕКТОРОВ Линейно независимые векторы, и образуют Правую Тройку векторов, если они имеют такую же ориентацию, как соответственно...
-
Понятие числовой последовательности - Свойства функций
Числовой последовательностью называется числовая функция, определенная на множестве натуральных чисел . Если функцию задать на множестве натуральных...
-
Гамильтоновы циклы, Основные понятия и определения - Гамильтоновы циклы
Название "гамильтонов цикл" произошло от задачи "Кругосветное путешествие" предложенной ирландским математиком Вильямом Гамильтоном в 1859 году. Нужно...
-
ФУНКЦИИ, Основные понятия - Свойства функций
Основные понятия При изучении различного рода явлений приходится иметь дело с совокупностью переменных величин, которые связаны между собой таким...
-
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СКАЛЯРНЫХ И ВЕКТОРНЫХ ВЕЛИЧИН Величины называют Скалярными (скалярами), Если они после выбора единиц измерения полностью...
-
Тема, с которой мы сегодня ознакомимся это "Применение матриц при решении экономических задач." Рассмотрим как с помощью матриц можно решать...
-
Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице. Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания...
-
Понятие рациональной дроби, Интегрирование рациональных дробей - Неопределенный интеграл
Пусть даны два многочлена РN(х)=aNXN+aN-1XN+1+ ... +a1X1+a0 и QM(x)= bMXM+bM-1XM+1+ ... +b1X1+b0 (aN, bM?0). О: Функция R(х) называется...
-
ПРОИЗВОДНАЯ, ЕЕ СВОЙСТВА И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ. ПРОИЗВОДНАЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Если отношение имеет предел при этот предел называют...
-
Становление понятий о химическом элементе. - Становление понятия о химическом элементе
Теоретические представления о химических явлениях рассматривались в курсе философии в свете общих представлений о возникновении и исчезновении веществ....
-
Пусть { , , ..., } - множество возможных состояний некоторой физической системы. В любой момент времени система может находиться только в одном...
-
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ Скалярным произведением двух векторов иназывается число S =|| || сos (). Эта операция обозначается. В частности,...
-
Например, если изучается модель спроса как соотношение цен и количества потребляемых товаров, то одновременно для прогнозирования спроса необходима...
-
Пусть имеется конечное число объектов, которые будем обозначать натуральными числами 1, 2, 3, ..., K и называть "носителем". Под кластеризованной...
-
Вступ, Необхідні відомості з теорії матриць - Невід'ємні матриці
Відомо [[1]-[10]], яку важливу роль відіграють невід'ємні матриці в математичних моделях економіки, біології, теорії ймовірностей тощо. Одними з...
-
Закон Авогадро ди Кваренья (1811 г.) - Основные понятия и законы химии
В равных объемах различных газов при одинаковых условиях (температура, давление и т. д.) содержится одинаковое число молекул. Закон справедлив только для...
-
Описание процессов, происходящих на поверхности, изобилует специальными терминами, и при рассмотрении адсорбционных явлений приходится говорить на языке,...
-
Первым практическим поводом к осознанию необходимости изучения химической эволюции явились исследования в области моделирования биокатализаторов....
-
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАКОНЫ ХИМИИ, Атомно-молекулярное учение - Основные понятия и законы химии
Химия - наука о веществах, закономерностях их превращений (физических и химических свойствах) и применении. В настоящее время известно более 100 тыс....
-
Матрицы пространственных весов формализуют предположение о том, что исследуемый объект (район) имеет большую связь с близлежащими объектами (районами),...
-
Основные понятия линейного программирования - Оптимальное программирование
Математические исследования отдельных экономических проблем, математическая формализация числового материала проводилась еще в XIX веке. При...
-
Основные понятия корреляционно-регрессионного анализа Теория и методы корреляционного анализа используются для выявления связи между случайными...
-
Основные понятия и отношения - Системная революция и принцип дуального управления
Все структурные образования и процессы, с которыми приходится иметь дело в систематике, существуют в самых различных по своей природе пространствах...
-
На уровне общества для описания поведения потребителей вводится целевая функция потребления. Целевая функция потребления - функция, выражающая уровень...
-
Матриці. Дії над матрицями Матриця вперше з'явилась в середині ХІХ століття в роботах англійських математиків У. Гамільтона і А. Келі [У. Гамільтон,...
-
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ Если некоторому множеству значений поставлено по определенному правилу F во взаимнооднозначное соответствие некоторое множество, то тогда...
-
Основные понятия сетевых и графовых моделей Объектом исследования является сеть, состоящая из узлов и линий связи. Предполагается, что в сети имеется два...
-
УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ Любая Поверхность есть геометрическое место точек, ее составляющих, определенное уравнением Иными словами, все точки, которые...
-
Определение понятия "имитационное моделирование" - Имитационное моделирование в экономике
В современной литературе не существует единой точки зрения по вопросу о том, что понимать под имитационным моделированием. Так существуют различные...
-
Понятие о рядах динамики - Методы анализа основной тендеции развития в рядах динамики
Одной из важнейших задач статистики является изучение изменений анализируемых показателей во времени, т. е. их динамика. Эта задача решается при помощи...
-
Дмитрий Иванович Менделеев - Становление понятия о химическом элементе
Пребывание в Германии позволило Менделееву участвовать в уже ранее упоминавшемся конгрессе химиков в Карлструэ. На него, как и на Лотара Мейера, большое...
-
ПОНЯТИЕ ДИСПЕРСИОННОГО АНАЛИЗА - Многомерный статистический анализ
Дисперсионный анализ - Это статистический метод изучения различий между выборочными средними двух или больше совокупностей. Как правило, Нулевая гипотеза...
-
Можно выделить девять этапов факторного анализа. Для наглядности представим эти этапы на схеме, а затем дадим им краткую характеристику. Этапы выполнения...
Понятие матриц