Алгебраические дополнения, Обратная матрица, войства обратных матриц. - Методы решения системы линейных уравнений

Определение. Алгебраическим дополнением минора матрицы называется его Дополнительный минор, умноженный на (-1) в степени, равной сумме номеров строк и номеров столбцов минора матрицы.

В частном случае, алгебраическим дополнением элемента матрицы называется его минор, взятый со своим знаком, если сумма номеров столбца и строки, на которых стоит элемент, есть число четное и с противоположным знаком, если нечетное.

Теорема Лапласа. Если выбрано s строк матрицы с номерами i1, ... ,iS, то определитель этой матрицы равен сумме произведений всех миноров, расположенных в выбранных строках на их алгебраические дополнения.

Обратная матрица

Определим операцию деления матриц как операцию, обратную умножению.

Определение. Если существуют квадратные матрицы Х и А, удовлетворяющие условию:

XA = AX = E,

Где Е - единичная матрица того же самого порядка, то матрица Х называется обратной к матрице А и обозначается А-1.

Каждая квадратная матрица с определителем, не равным нулю имеет обратную матрицу и притом только одну.

Рассмотрим общий подход к нахождению обратной матрицы.

Исходя из определения произведения матриц, можно записать:

AX = E, i=(1,n), j=(1,n),

EIj = 0, i j,

EIj = 1, i = j.

Таким образом, получаем систему уравнений:

Решив эту систему, находим элементы матрицы Х.

Пример. Дана матрица А = , найти А-1.

Таким образом, А-1=.

Однако, такой способ не удобен при нахождении обратных матриц больших порядков, поэтому обычно применяют следующую формулу:

Где МJi- Дополнительный минор элемента аJi матрицы А.

Пример. Дана матрица А = , найти А-1.

Det A = 4 - 6 = -2.

M11=4; M12= 3; M21= 2; M22=1

x11= -2; x12= 1; x21= 3/2; x22= -1/2

Таким образом, А-1=.

Войства обратных матриц.

Укажем следующие свойства обратных матриц:

(A-1)-1 = A; 2) (AB)-1 = B-1A-1 3) (AT)-1 = (A-1)T.

При использовании компьютерной версии "Курса высшей математики" возможно запустить программу, которая находит обратную матрицу и подробно описывает весь ход решения для матрицы размера 3х3.

Для запуска программы дважды щелкните на значке

В открывшемся окне программы введите элементы матрицы по строкам и нажмите Enter.

Примечание: Для запуска программы необходимо чтобы на компьютере была установлена программа Maple ( Waterloo Maple Inc.) любой версии, начиная с MapleV Release 4.

Пример. Дана матрица А = , найти А3.