Модель Vasicek'а - Валидация целесообразности использования более продвинутых моделей описания процентного риска на развивающихся рынках

В модели Vasicek'а реализована идея возврата краткосрочных ставок к среднему значению (mean reverting). Динамика краткосрочных процентных ставок может быть представлена уравнением (2.33).

(2.33)

Где

- скорость возврата к среднему,

- долгосрочная средняя ставка процента,

- волатильность (стандартное отклонение) срочных ставок процента,

- стандартный Броуновский процесс.

Процесс (2.33) является моделью в риск-нейтральном мире. Для перехода в измерение реального (физического) мира, вводится дополнительная функция/переменная (2.34) (в зависимости от сделанной предпосылки о функциональной форме), отражающая рыночную цену риска. Процесс (2.33) может быть перезаписан в виде (2.35).

(2.34)

(2.35)

Одним из основных преимуществ модели Vasicek'а является наличие аналитического решения для, приведенное в (2.36).

(2.36)

Для уравнения (2.36) известно точное распределение (2.37).

(2.37)

Исходя из (2.37), для имитирования в произвольный момент времени, может быть выписано рекурсивное уравнение (2.38).

(2.38)

Другим важным преимуществом модели Vasicek'а является наличие аналитического решения для цены облигации (2.39).

(2.39)

Где

(2.40)

(2.41)

Для калибровки модели используется метод максимального правдоподобия, обобщенный с использованием фильтра Калмана для учета всей панели данных. Аналитические решения относительно метода максимального правдоподобия для риск-нейтрального мира приведены в (2.42) - (2.46).

(2.42)

(2.43)

(2.44)

Где

(2.45)

(2.46)

Фильтр Калмана представляет собой один из самых популярных методов фильтрации данных, используемый как для заполнения пропущенных значений, так и в целях моделирования. В общем виде, в простом случае, в фильтре Калмана задаются два уравнения: уравнение состояния и уравнение управления. Первое уравнение является теоретической моделью получаемых результатов, второе - уравнение реально получаемых данных в зависимости от прогнозных значений первого уравнения. Задача фильтра Калмана получить наилучшее приближение прогноза с учетом ошибок заложенных в оба уравнения. Взвешивание показателей ожидаемого значения и показателей измерения производится на основе параметра усиления Калмана. Размер параметра усиления Калмана рассчитывается на основе итеративной процедуры, в которую заложена процедура минимизации ошибок между целевым и прогнозным значениями. Минимизация осуществляется на основе метода максимального правдоподобия. Математический аппарат и более подробное обоснование фильтра Калмана в настоящей работе не приводится, так как это не требуется для трактовки результатов. Вся процедура использования заложена в оптимизационный код Matlab и приведена в приложении. Более детально применение фильтра Калмана рассмотрено в [42].

Для оценки VaR будет использован подход на основе имитирования Монте-Карло.

Похожие статьи




Модель Vasicek'а - Валидация целесообразности использования более продвинутых моделей описания процентного риска на развивающихся рынках

Предыдущая | Следующая