Нарощення з використанням облікових ставок
НАРОЩЕННЯ З ВИКОРИСТАННЯМ ОБЛІКОВИХ СТАВОК
Як уже зазначалося в попередніх розділах, часова спрямованість розрахунку з використанням облікової ставки - "з майбутнього до сьогодні". Але За допомогою Облікової ставки Можна виконувати розрахунки і в зворотному напрямку: "від сьогодні в майбутнє", тобто Розрахунки нарощення, розрахунки майбутньої вартості. Задачі такого типу виникають, наприклад, при визначенні суми, яку необхідно написати у векселі, якщо відома сума боргу на поточний момент.
З метою змістовної однозначності фінансових термінів визначаємо, що облікове нарощення - це розрахунок майбутньої вартості з використанням облікових ставок (тобто з використанням ставок "зменшення"). Відповідно Просте облікове нарощення - розрахунок майбутньої вартості з використанням облікових ставок при застосуванні механізму простого нарахування процентів; Складне облікове нарощення - розрахунок майбутньої вартості з використанням облікових ставок при застосуванні механізму складного нарахування процентів.
Обліковий нарощення вартість процент
1. Облікове нарощення при застосуванні механізму простого нарахування процентів
Просте облікове нарощення - це механізм, обернений банківському обліку. Наприклад, у результаті обліку (простого облікового дисконтування) невідомого за розміром капіталу FV із використанням облікової ставки d За кількість періодів нарахування n Була отримана сума PV. Необхідно знайти суму FV. Використовуючи формулу (4.1), маємо
. (1)
_Приклад 1__________________________________
Задача 1
Облік векселя проведено за півтора року до строку погашення за простою обліковою ставкою 8 % і в момент обліку одержано 2,2 тис. грн. Розрахувати суму, зазначену на векселі.
Розв'язання
Оскільки PV = 2,2 тис. Грн; n = 1,5; d = 0,08, то за допомогою (1) розраховуємо
.
Коли облікові ставки в кожному з періодів нарахування відрізняються, то з формули простого облікового дисконтування (4.2) можна записати
(2)
Формула (1) відображає розрахунок нарощеної суми (FV) Із використанням простої облікової ставки, а розрахунок безпосередньо нарощення, або прирощення, тобто процента, позначимо (Interest of simple discount) і можемо знайти за формулою
(3)
Формула (3) має інші модифікації свого запису:
, (3.1)
, (3.2)
. (3.3)
Формула (3) дає можливість розраховувати при простому обліковому нарощенні процент (процент простого облікового нарощення) від PV, не обчислюючи FV.
Показник 1/(1 - N-d) є Множником Простого облікового Нарощення. Цей множник показує зростання капіталу PV за кількість періодів N при застосуванні простої облікової ставки D.
При PV = 1, N = 1 із формули (3) випливає, що
(4)
Тобто, Коефіцієнт нарощення 1/(1 - D) є величиною, наприклад, 1 грн, разом із нарахованим за один рік процентом.
Між нарощенням із використанням простої процентної ставки (І) Та нарощенням із використанням простої облікової ставки (D) є суттєві відмінності.
При нарощенні з використанням простої процентної ставки (І) Капітал PV , наприклад, щорічно збільшується на одну і ту саму суму PV - І. При застосуванні нарощення з використанням простої облікової ставки (D) розмір нарахованих процентів із кожним періодом нарахування, наприклад із кожним роком, збільшується. За допомогою формули (3) запишемо розрахунок нарощення суми PV За кожний рік.
За перший рік (N = 1) PV збільшується на величину
За перший і за другий роки разом (N = 2) PV збільшиться на 2 - PV - D / (1 - 2-D), і, таким чином, нарощення тільки окремо за другий рік становитиме
За перший, другий і третій роки разом (N = 3) PV збільшиться на 3 - PV - D / (1 - 3-D), і, таким чином, нарощення тільки окремо за третій рік становитиме
І так надалі.
Загалом за окремий K-й рік (1 K N) PV Збільшиться на величину
(5)
З наведених рівнянь можемо побачити, що при (2 K N)
А також
_Приклад 2___________________________________
Задача 1
На капітал 3 млн грн упродовж 5 років здійснюється нарощення механізмом простого нарахування за обліковою ставкою 12 %. Знайти прирощення початкового капіталу за кожний рік та загальну нарощену суму.
Загальна нарощена сума розраховується за формулою (1):
Прирощення капіталу за п'ять років становитиме
Прирощення за кожен рік окремо дорівнює:
З метою перевірки додамо отримані величини:
Тобто, як і повинно бути, отримали .
Формула (1) дає зрозумілий результат лише при При формула (1) приводить, здається, до нісенітниці. Так, при та (років) отримаємо а при отримаємо що, здавалося б, не має сенсу. Але при результат за формулою (1) має реальний фінансовий зміст, а саме FV = 0.
Порівняння результатів за формулами (1) і (2.1) показують, що проста облікова ставка D дає більш швидке зростання, ніж така ж чисельно, але проста процентна ставка І.
2. Облікове нарощення при застосуванні механізму складного нарахування процентів
Складне облікове нарощення - розрахунок майбутньої вартості з використанням облікових ставок при застосуванні механізму складного нарахування процентів. Перетворення рівняння (4.5) відносно FV Дає формулу
, (6)
Де FV - майбутня вартість у грошових одиницях;
PV - початкова вартість у грошових одиницях;
D - облікова ставка у кожному з періодів нарощення процентів N;
N - кількість періодів нарощення процентів упродовж часу (строку Т ) застосування ставки D; також у кожному з цих періодів Облікові ставки відповідають періодам та рівні між собою.
_Приклад 3___________________________________
Задача 1
За умовами фінансового контракту на депозит розміром 400 тис. грн, який вкладено на три роки, нараховуються проценти за складною обліковою ставкою 9 % річних. Знайти нарощену суму, якщо нарахування процентів: а) щорічне; б) за півріччями; в) щомісячне.
Розв'язання
А ) PV = 400 тис. грн, N = 3, d = 0,09.
Б ) PV = 400 тис. грн, N = 3-2=6, d = 0,09/2.
В ) PV = 400 тис. грн, N = 3-12=36, d = 0,09/12.
За допомогою Прикладу 3 звернемо увагу на таку особливість. Якби нарощення складними процентами здійснювалося за допомогою процентної ставки (наприклад, І = 9 %), то для варіантів а), б), в) одержали б за формулою (2.10) відповідно значення: 518 012 грн, 520 904 грн, 523 458 грн, тобто при зростанні в межах року кількості періодів нарахування процентів розмір нарощеної суми збільшується. Нарощення за складною обліковою ставкою дає протилежну тенденцію. При зростанні в межах року кількості періодів нарахування процентів при застосуванні складної облікової ставки нарощена сума зменшується. Якщо кількість періодів нарахування в межах року збільшувати, то різниця між майбутніми нарощеними сумами, розрахованими за складними процентними ставками і складними обліковими ставками, зменшується. Так, наприклад, якщо нарахування процентів буде щоденним, то застосування облікової ставки дає результат FV = 524 003 грн, а при такій самій чисельно процентній ставці FV = 523 968 грн, і різниця між цими сумами дорівнює всього 35 грн.
Ще одна особливість. Якщо облікова і процентна ставки чисельно рівні між собою, то складне нарощення за обліковою ставкою (6) є більш швидким (що є вигідним для кредитора), ніж нарощення за процентною ставкою (2.10) ( що вигідніше для боржника).
Як уже зазначалося, термінологічну різноманітність перерахунку вартостей можна пов'язати з англійським терміном Compound, що означає складний механізм нарахування, і саме нарахування як нарощення, як збільшення, як перерахування сьогоднішньої вартості в майбутню вартість. При використанні облікової ставки може використовуватися термін "обліковий компаундинг", або "облікове компандування", але ні в якому разі "компандування". Термін "компандування" без пояснення яке: "процентне чи облікове", означає процентне компандування.
Формула (6) відображає розрахунок нарощеної суми (FV) Із використанням складної облікової ставки, а розрахунок безпосередньо нарощення, або прирощення, тобто процента, позначимо (Interest of compound discount) і можемо знайти за формулою
(7)
Формула (7) має ще іншу модифікацію свого запису:
(7.1)
Формула (7) (7.1) дає можливість розраховувати при складному обліковому нарощенні процент (процент складного облікового нарощення) від PV, не обчислюючи FV.
Показник 1/(1 - D) є Множником складного облікового нарощення. Цей множник показує зростання капіталу PV за кількість періодів N при застосуванні складної облікової ставки D.
При PV = 1, N = 1 із формули (6) також, як і з формули (3), випливає, що
(4)
Тобто Коефіцієнт нарощення 1/(1-D) є в майбутньому сумою, наприклад, 1 грн, разом із нарахованим процентом за один рік.
Розглянемо випадок, коли Облікові ставки в періодах нарахування "плаваючі", тобто різні. Якщо в періодах нарахування процентів п1, п2, ..., ПK облікові ставки відповідно дорівнюють d1, d2, ..., DK при нарощенні складними процентами майбутня сума за строк (вимір періодів п1, п2, ..., ПK в єдиних одиницях часу) розраховується за формулою
(8)
У формулі (8) показник можемо перерахувати в еквівалентний йому показник і знайти одну облікову ставку (позначимо її ), еквівалентну декільком обліковим ставкам D1, d2, ..., DK :
. (9)
Розв'язуючи рівняння (9) відносно, маємо
= 1 - [],
Тоді (5) набирає вигляду
.
Таким чином, за N Періодів нарахування впродовж строку Т Можемо встановити та використовувати замість плаваючих облікових ставок облікову ставку, яка забезпечує такий самий результат, і тому при розрахунку FV можемо використовувати формулу (6).
Якщо D1 = d2 = ... = DK = D, тобто за весь строк Т Установлена одна постійна ставка, то з (8) одержуємо (6).
Формулою (8) також можна користуватися і у випадку, коли періоди нарахування надані в різних одиницях часу за умови відповідності їх розмірностей із розмірами відповідних облікових ставок.
При складному обліковому нарощенні за цілу й дробову кількість періодів нарахування процентів застосовують Формулу змішаного обліку процентів (4.7). Від формули (4.7) формула складного облікового нарощення набирає вигляду (10)
, (10)
Де FV, PV, d - мають зміст той самий, що й у формулах (4.1), (4.3), (4.5), (1), (6);
K - ціла частина кількості періодів нарахування;
F - дробова частина кількості періодів нарахування процентів.
Похожие статьи
-
Складне облікове дисконтування має вигляд (4.5) Де n - кількість періодів дисконтування (нарахування) від дати закінчення операції (наприклад, від...
-
Порівняння множників нарощення - Особливості фінансових розрахунків
Використання у фінансових обчисленнях механізмів простого та складного нарахувань процентів дає різні результати, звісно, за умов порівнювання, тобто при...
-
При розрахунку майбутньої вартості знаходимо відповідь на запитання, наприклад, таке: "Скільки грошей буде у Вас через 10 років, якщо сьогодні Ви...
-
Розрахунки строку позики і розміру ставки - Особливості фінансових розрахунків
У фінансовій практиці існує необхідність розрахову-вати не тільки суми грошей, які є результатом нарахування або дисконтування процентів, але й додаткові...
-
Дисконтування може проводитися з використанням не тільки простого механізму нарахування, а й з використанням складного механізму нарахування процентів....
-
Безперервне нарощення та дисконтування - Особливості фінансових розрахунків
Усі нарахування процентів, що розглядалися до цього, мали назву "дискретні" тому, що їх нарахування здійснювалося за фіксовані проміжки часу (рік,...
-
Розглянемо формулу (2.10) - формулу складного нарахування процентів із використанням процентної ставки: FV = PV - (1 + і). (2.10) Нас цікавлять...
-
Решение: M = 4 R = 18% = 0,18 По формуле FV = PV(1+nr), Ссуда процентный денежный ставка Имеем: FV = 50(1 + 0,18/4) = 50*1,045 = 52,25 тыс. руб. Клиент...
-
У пункті 1.3.1 (на с. 40) уже згадувалося про номіналь-ну ставку, а саме про номінальну процентну ставку. Нагадаємо, що там дано таке визначення:...
-
Плата за кредит, як правило, здійснюється у формі процента. Процент може стягуватись як у кінці строку кредиту, так і на початку кредитної операції,...
-
Решение: P = 2000 R1 = 0,22, n1 = 2 r2 = 0,24, n2 = 3 По формуле Fn = P(1 +r1)N1 * (1+r2)N2 Находим при начислении сложных процентов ежегодно: F(5) =...
-
Изменение равновесия на денежном рынке и его влияние на экономический рост Равновесие денежного рынка устанавливается автоматически за счет изменения...
-
Усі формули, що застосовуються у фінансових розрахунках, є похідними всього від чотирьох основних формул. Саме про ці чотири формули мова йшла в розділах...
-
Знайдемо в загальному вигляді час (строк, кількість періодів), необхідний для збільшення початкової суми (PV) у k разів при нарахуванні простих і...
-
Решение: Воспользуемся формулой: А) FVPst = 140 * FM3(26%,6) = 560,21 тыс. руб. Б) FVPst = 140 * FM3(26/4%,6 * 4) = 140 * FM3(6,5%,24) = 634,63 тыс. руб....
-
Местные представительные органы на основании проектов (схем) зонирования земель, проводимого в соответствии с земельным законодательством Республики...
-
Земли населенных пунктов, занятые под автостоянки и автозаправочные станции, подлежат налогообложению по базовым ставкам на земли населенных пунктов, за...
-
Среднесрочные доходности по бумагам Казначейства резко росли в течение лета 2003 года. Размер роста доходностей по десятилетним бумагам составлял от 3.15...
-
Экономика потребителей - Нижнее ограничения для процентных ставок
В рамках данного раздела рассматривается расширение стандартной модели HJM, заключающееся во включении торговли наличностью. Как обсуждалось в предыдущем...
-
Стандартная модель - Нижнее ограничения для процентных ставок
Стандартная модель HJM для временной структуры процентных ставок является динамической моделью непрерывной торговли с непрерывным временем. Рынки...
-
Налоговые ставки - Налоги и налогообложение
Налоговая ставка устанавливается в размере 35 % в отношении следующих доходов: Стоимости любых выигрышей и призов, получаемых в проводимых конкурсах,...
-
Налоговый период. Налоговые ставки - Налоги и налогообложение
Налоговый период по налогу на прибыль организаций установлен как календарный год. Налоговым законодательством также установлены отчетные периоды по...
-
Придомовым земельным участком считается часть земельного участка, относящегося к землям населенных пунктов, предназначенная для обслуживания жилого дома...
-
Подходы к оцениванию Xt: вопрос наблюдаемости скрытых переменных Как было отмечено выше, динамика временной структуры процентных ставок зависит от...
-
Расчет налога, Налоговые ставки. - Налог на прибыль
Налоговые ставки. Налоговая ставка лПр По налогу на прибыль для российских налогоплательщиков устанавливается в размере 24%. Из них 6,5 зачисляются в...
-
В результате проведенного анализа возникает достаточно логичный вопрос о том, какое применение может быть у полученной рассмотренным или иным способом...
-
В литературе нет единого подхода к категоризации моделей процентных ставок, так как непосредственное сравнение моделей привязано к конкретным...
-
Как отмечалось в работе Kim and Priebsch (2013), без накладывания дальнейших ограничений на параметры модели и их оценка эконометрическими способами не...
-
Параметризация нижнего ограничения - Нижнее ограничения для процентных ставок
Теоретические аргументы за установление нижнего ограничения для номинальной краткосрочной процентной ставки на нулевом уровне (а, следовательно, и...
-
Підрозділ 1 - це розрахунки, власне, показників інфляції. Підрозділ 2 - це застосування показників інфляції у фінансових розрахунках. Урахування...
-
Налоговый период, Налоговые ставки - Налоговые режимы
Налоговым периодом по налогу признается календарный год. Налоговые ставки Налоговая ставка при добыче нефти и газового конденсата из...
-
Налоговым периодом по единому налогу признается квартал. Налоговые ставки Ставка единого налога устанавливается в размере 15 процентов величины...
-
Налогоплательщиками единого сельскохозяйственного налога (далее в настоящей главе - налогоплательщики) признаются организации и индивидуальные...
-
Следующим шагом после рассмотрения литературы, касающейся вопросов неотрицательности процентных ставок, нижнего нулевого ограничения и способов его учета...
-
Вычеты по НДФЛ бывают 4х видов: O стандартные O профессиональные O социальные O имущественные !!!Все вычеты предоставляются только по доходам, облагаемым...
-
В соответствии с Налоговым кодексом плательщиками акцизов являются: -- организации; -- индивидуальные предприниматели; -- лица, признаваемые...
-
Ставки НДС. Порядок применения нулевой ставки при экспорте товаров - Налоги и налогообложение
Ст. 164 НК. В настоящее время НК предусматривает три уровня ставок НДС: 0 %, 10 % и 18 %. Основные Ь 0%: Нулевая ставка применяется при реализации: -...
-
Дополнительным фактором, ограничивающим внедрение структуры, предполагающей существование теневых процентных ставок, является наличие трудностей...
-
Выбор безрисковой ставки при использовании модели САРМ - Оценка имущества и нематериальных активов
Распространенным подходом к оценке уровня премий за акционерный риск, применяемым на практике основными инвестбанками и аудиторами, является Модель САРМ...
-
Расширенная экономика потребителя - Нижнее ограничения для процентных ставок
В данном разделе рассматривается расширение модели HJM, включающее в анализ потребителей, фирмы с производственными технологиями, небанковские финансовые...
Нарощення з використанням облікових ставок