Безперервне нарощення та дисконтування - Особливості фінансових розрахунків

Усі нарахування процентів, що розглядалися до цього, мали назву "дискретні" тому, що їх нарахування здійснювалося за фіксовані проміжки часу (рік, квартал, місяць, день). Зменшуючи цей проміжок (період нарахування) і, таким чином, збільшуючи частоту нарахування процентів (наприклад, m), в результаті можна перейти до так званих безперервних процентів.

Уже згадувалося, що залежно від частоти нарахування процентів нарощення суми здійснюється змінним темпом, причому при зростанні частоти нарощена сума (FV) при використанні процентної ставки збільшується. Максимально можливе нарощення здійснюється за умови нескінченного зменшення річного періоду нарахування. Із формули (2) при m > +випливає

(5)

Тому що множник нарощення за номінальною ставкою складних процентів має граничне значення

(6)

Де е - ірраціональне число, е = 2,718281... (термін "ірраціональне" означає, що це число точно, без залишку, вирахувати неможливо, розрахунок можливий при наперед заданій точності, наприклад, шість знаків після коми...);

Е - трансцендентне число, тобто не є коренем ніякого алгебраїчного рівняння з цілими коефіцієнтами, його ще називають числом Ейлера;

- безперервна процентна ставка, річна.

Щоб відрізняти безперервну ставку від звичайної (дискретної), застосовують особливу позначку безперервної процентної ставки - , яка має назву сила зростання (force of interest).

Сила зростання характеризує відносний приріст нарощеної суми за нескінченно малий проміжок часу. Вона може бути незмінною, або змінюватись у часі.

Незмінна сила зростання. З урахуванням властивості (6) формула (2) набирає вигляду

(7)

Отже, при безперервному нарощенні процентів нарощена сума (FV) залежить від початкової суми (PV), строку нарощення (N) і сили зростання (). Сила зростання є номінальною (річною) ставкою складних процентів при m >+, а N - кількість років, причому N може не бути цілим числом або може бути цілим числом із дробом.

Дискретні складні процентні ставки та безперервні ставки нарощення функціонально залежать одна від одної. Цю взаємозалежність можна вивести із прирівнювання множників нарощення Тоді

(8)

(9)

При безперервному складному дисконтуванні із формули (4) при m >+одержуємо

(10)

У формулі (10) має назву сила обліку (force of discount) і показує швидкість відносного зменшення суми, що обліковується (все це при механізмі безперервного дисконтування). Формулу (10) можемо одержати і з формули (7), якщо перетворимо (7) відносно PV. Виникає цікавий висновок: сила зростання дорівнює силі обліку. У формулах (7) та (10) множники (коефіцієнти) нарощення - це одні й ті самі коефіцієнти кількісно і якісно, тому зникають відмінності між процентним нарощенням і дисконтним обліком за умови безперервного нарощення або дисконтування. І це цілком слушно, тому що в такій ситуації початок періоду та кінець періоду збігаються.

Далі, прирівнюючи множники нарощення у формулах (4.5) та (10), одержимо зв'язок між силою обліку (силою зростання) і річною обліковою ставкою:

(11)

(12)

Змінна сила зростання. Хай сила зростання змінюється у часі відповідно до закону, який має вигляд безперервної функції часу: Тоді нарощена сума і теперішня вартість розраховуються так:

Безперервна функція часу може мати будь-який вигляд. Розглянемо лише два її варіанти - лінійну та експоненціальну.

Лінійна функція: де - початкове значення сили зростання; а - приріст сили зростання за одиницю часу.

Інтегрування лінійної функції приводить до такого результату:

Таким чином, множник нарощення розраховується так:

Приклад 3

Початкове значення сили зростання дорівнює 8 %, процентна ставка безперервна та лінійно змінюється, приріст за 1 рік становить 2 % (а = 0,02). Строк нарощення - 5 років. Для розрахунку множника нарощення знайдемо його степінь:

.

Множник нарощення дорівнює =1,91554.

У разі, якщо сила зростання лінійно зменшується (наприклад, а = - 0,02), степінь множника дорівнює 0,15, і відповідно = 1,16183.

Розглянемо варіант, коли сила зростання змінюється експоненціально (за геометричною прогресією):

Де - початкове значення сили зростання, а - постійний темп зростання за одиницю часу. У цьому разі степінь множника нарощення розраховується так:

Отже, множник нарощення розраховується так

Приклад 4

Початковий рівень сили зростання дорівнює 8 %, процентна ставка безперервно та експоненціально зростає (річний приріст 20 %, а = 1,2), строк нарощення - 5 років. Необхідно розрахувати множник нарощення.

Степінь множника нарощення за весь строк дорівнює

Відповідно =1,92139.

Розрахунок розміру сили зростання. При розрахунку нарощення з незмінною силою зростання

(13)

При нарощенні зі змінною силою зростання та постійним темпом сили зростання а:

(14)

Розрахунок строку позики. Строк позики при незмінній силі зростання розраховуємо використовуючи (7):

(15)

При нарощенні зі змінною силою зростання та постійним темпом сили зростання а з урахуванням, що множник нарощення дорівнює

Одержуємо

(16)

Похожие статьи




Безперервне нарощення та дисконтування - Особливості фінансових розрахунків

Предыдущая | Следующая