Моделирование зависимости показателей заработной платы и уровня образования с использованием копулярных функций - Оценка норм отдачи от образования в России и других странах

Модели заработной платы минцеровского типа позволяют выявить факторы, которые оказывают влияние на величину заработной платы индивида. Однако нас также может интересовать мера взаимосвязи между заработной платой и уровнем полученного образования. Понятно, что самым простым решением данной задачи является нахождение обычной меры корреляционной взаимосвязи, однако использование коэффициента корреляции будет корректным лишь в случае линейной взаимосвязи рассматриваемых факторов, тогда как в случае иной зависимости между переменными данная мера не будет должным образом отражать искомую взаимосвязь.

Одним из наиболее популярных методов, позволяющим обойти данное ограничение и исследовать структуру взаимосвязи нескольких переменных, являются модели копул. Копула определяется следующим образом. Предположим, мы имеем случайный вектор (, функции распределения каждой из компонент которого являются непрерывными на всей области определения. При этом каждую компоненту вектора можно трансформировать таким образом, что ее распределением будет равномерным на отрезке [1,0], т. е.

Копула переменных ( определяется как функция совместного распределения компонент вектора, т. е.

Теоретической основной для теории копул является теорема Шкляра, рассмотренной в работе (Sklar,1959) Sklar A. Fonctions de repartition a n dimensions et leur marges/ Publications de l'institute de statistique de l'universite de Paris No 8, pp. 229-231. Данная теорема формулируется следующим образом. Для любого случайного вектора ( с совместной функцией распределения, имеющей вид:

И безусловными функциями распределения:

Существует копула, такая, что

Таким образом, мы можем описать совместное распределение величин через безусловные функции распределений каждой из величин, а также копулу. При этом мы можем отделить задачу моделирования безусловных распределений от задачи исследования структуры взаимосвязи, так как копула содержит в себе всю информацию относительно взаимосвязи исследуемых переменных.

Если безусловные функции распределения и копула являются дифференцируемы, то мы можем определить совместную функцию плотности как:

Где c(.) - функция плотности копулы:

Существует большое число различных семейств копул, описание некоторых из них приводится в работах, например, (Aas,2004) Aas K. (2004), Modelling the dependence structure of financial assets: A survey of four copulas/ Working paper of Norwegian computing center No SAMBA/22/04, (Joe,1997), (Hutchinson, Lai, 1990), (Nelsen,1999) Nelsen R., (1999) Properties and applications of copulas: a brief survey. К наиболее распространенным семейстам копул относятся архимедовы копулы, имеющие вид:

Где - функция-генератор.

Также в прикладных исследованиях распространено использование эллипсообразных копул, которые базируются на нормальном распределении и распределении Стъдента, а также архимедовы копулы, имеющие вид:

Особым семейством копул являются копулы экстремальных значений, которые базируются на одномерных законах распределения экстремумов и удовлетворяют соотношению, обозначенному в работе (Bouye,2002) Bouye A. (2002) A model based on copula for sustainable and social responsible investments/ Revista de Contabilidad, Vol.19, issue 1, pp. 55-76:

Также существуют различные подходы к оцениванию параметров моделей копул. Наиболее распространенным является семейство параметрических методов, к которому относится, например, классический метод максимального правдоподобия, основанный на максимизации функции правдоподобия как по безусловным функциям распределения, так и по копуле. Существуют также полупараметрические и непараметрические методы. Первый подход предполагает, что на первом этапе опускается параметрическое оценивание безусловных распределений рассматриваемых случайных величин, вместо этого используются эмпирические распределения, а уже после этого происходит параметрическое оценивание параметров копул. Наконец, непараметрические методы оценки копул предполагают получение ядерных оценок.

Как уже отмечалось, копула, а точнее основанные на копуле меры взаимосвязи, позволяют определить степень зависимости между исследуемыми переменными в том случае, когда взаимосвязь не является линейной и применение парного коэффициента корреляции является некорректным. К таким мерам тесноты взаимосвязи, основанным на копуле, относятся тау Кендалла и коэффициент Спирмена.

В нашем случае, при рассмотрении двух переменных, тау Кендалла определяется как:

При этом, как показано, например, в работе (Schiweizer, 1981) Schiweizer B. (1981) On nonparametric measures of dependence for random variables/ The annals of statistics, Vol.9, No 4, pp.879-885, соотношение данной меры с параметром зависимости может быть записано в следующем виде:

Коэффициент Спирмена в общем виде определяется как:

Если предположить, что рассматриваемые случайные величины X и Y имеют безусловные распределения F и G, то тогда верны следующие соотношения между коэффициентом Спирмена и парным коэффициентом корреляции:

Для Гауссовой копулы и копулы Стьюдента верно также соотношение следующего вида:

Главным вопросом, предшествующим построению модели копулы, является определение класса копул, который был бы наиболее подходящим для рассматриваемой выборки. В нашей работе для определения наиболее подходящего семейства копул мы будем использовать информационный критерий Акаике, который в общем случае имеет вид:

Суть подхода выбора оптимальной копула, основанного на информационном критерии Акаике состоит в выборе такой модели, для которой характерно минимально возможное значение расстояния Кульбака-Лейблера, которое, в сущности, является мерой близости истиной плотности к параметрической плотности. Реализовать такой подбор оптимальной модели копулы позволяет пакет R-Studio, а именно функция "BiCopSelect" пакета "VineCopula", которая сравнивает ряд моделей копул по информационному критерию и выбирает вариант с его минимальным значением. Помимо определения значений информационного критерия при выборе наиболее подходящего класса копул необходимо проверить адекватность модели копулы (goodness of fit test-GOF). Стандартный тест, определяющий адекватность выбранной модели копулы, основан на статистике Крамера-фон Мизеса, который имеет вид:

Где - распределение некоторого теоретического семейства копул, а F - эмпирическое совместное распределение изучаемых случайных величин.

Будем рассматривать и сравнивать три семейства копул: копулы Гаусса, Стьюдента и Клэйтона. Общие формулы, определяющих вид данных копул, представлены в табл. 4.

Результаты оценивания обозначенных моделей копул, а также соответствующие им значения информационного критерия Акаике приведены в табл. 5.

Таблица 5 Результаты оценивания параметров копул

Копула	Результаты оценивания для России	Результаты оценивания для Украины
Гаусса	Параметр : 0,251 AIC: -8,547 Тестовая статистика (GOF): 81,4	Параметр: 0,112 AIC: -6,423 Тестовая статистика (GOF): 93,3
Стъюдента	Параметр: 0,244 AIC: - -8,241 Тестовая статистика (GOF): 94,4	Параметр: 0,108 AIC: -5,253 Тестовая статистика (GOF): 94,2
Клэйтона	Параметр: 268,07 AIC: -5,321 Тестовая статистика (GOF): 90,2	Параметр: 357,92 AIC: -4,329 Тестовая статистика (GOF): 97,5

В случае с Россией все три рассматриваемые копулы могут быть признаны адекватными согласно результатам GOF-теста. При этом минимальным значением информационного критерия Акаике обладает копула Гаусса, что говорит об оптимальности данного класса копулы. Важно отметить, что копула Гаусса обладает минимальным значением информационного критерия не только среди трех рассмотренных семейств копул, но и среди гораздо более широко спектра разновидностей копул. Данный факт был проверен в автоматическом режиме с использованием функции "BiCopSelect" пакете "VineCopula" в R.

В случае с Украиной наиболее сообразной копулой также оказывается копула Гаусса, что подтверждается сравнением соответствующих информационных критериев Акаике, а также применением функции "BiCopSelect" в пакетет R studio.

Копула Гаусса является достаточно распространенным классом копулярных функций, при этом использование данного класса копул дает нам возможность достаточно просто интерпретировать оцененные параметры рассматриваемых копул.

Известно, что единственный параметры копулярной функции Гауссова типа характеризует тесноту взаимосвязи между рассматриваемыми случайными величинами. Таким образом, при оценивании такого класса копул мы сможем сразу сравнивать данные параметры и делать выводы о том, в какой из двух рассматриваемых стран и в какой период времени могла наблюдаться более тесная взаимосвящь между числом лет, затраченным на получение образования и логарифмом средней заработной платы за последниек 12 месяцев.

На рис. 18 представлен график функции плотности совместного распределения переменных логарифма заработной платы и числа лет образования в России в 2003, 2004 и 2007 годах, описанной с помощью копулы Гаусса.

плотность совместного распределения логарифма заработной платы и числа лет образования на основе копулы гаусса, россия, 2003,2004,2007 гг

Рис. 18. Плотность совместного распределения логарифма заработной платы и числа лет образования на основе копулы Гаусса, Россия, 2003,2004,2007 гг.

На графике прослеживаются характерные для данного семейства копул "хвосты", которые свидетельствуют о наличии корреляционной зависимости между рассматриваемыми переменными. Аналогичный график для Украины представлен на рис. 19.

плотность совместного распределения логарифма заработной платы и числа лет образования на основе копулы гаусса, украина, 2003,2004,2007 гг

Рис. 19. Плотность совместного распределения логарифма заработной платы и числа лет образования на основе копулы Гаусса, Украина, 2003,2004,2007 гг.

В случае Украины функция плотности имеет не такие ярко выраженные "хвосты", как в случае с Россией. Данный результат является ожидаемым, так как значение параметра копулы Гаусса для Украины было меньшим.

Для описания взаимосвязи между исследуемыми переменными мы также можем использовать описаныне выше меры взаимосвязи, основанные на копулах. Значения данных мер, а также значение классического коэффициента корреляции Пирсона представлено в табл. 6.

Таблица 6 Меры взаимосвязи между логарифмом заработной платы и числом лет образования, Россия и Украина, 2003, 2004, 2007 гг.

Страна/мера взаимосвязи	Россия	Украина
Тау Кенделла	0,216	0,101
Коэффициент Спирмена	0,254	0,108
Коэффициент Пирсона	0,251	0,112

Таким обаразом, моделирование совместного распределения лоагрифма заработной платы и числа лет образования в России и Украине приводит нас к тому же выводу, к которому мы пришли при оценивании квантильный регрессий заработной платы для панельных данных: в России уровень образования работника играет большую роль в формировании его заработнй платы, иными словами, на российском рынке труда более высоко оцениваются высококвалифицированные специалисты, что говорит о большем спросе на данную категорию работников.

Также мы можем актуализировать полученную модель совместного распределения, используя данные РМЭЗ НИУ ВШЭ за 2008-2014 гг.. Для данного массива данных также была оценена модель копулы Гаусcа. График функции плотности совместного распределения приведен на рис. 20.

Как видно из графика плотности совместного распределения, размер характерных "хвостов" примерно соответствует размеру "хвостов" на соответствующем графике для России в 2003, 2004 и 2007 годов. Это говорит о том, что существующая в 2003-2007 годах взаимосвязь между логарифмом заработной платы и число лет, затраченных на получение образования, остались примерно на том же уровне и на последующем рассматриваемом этапе, то есть в 2008-2014 годах.

Рисунок 20. Плотность совместного распределения логарифма заработной платы и числа лет образования на основе копулы Гаусса, Россия, 2008-2014

Параметр оцененной копулы Гаусса составил 0,279, значения мер взаимосвязи, основанных на копуле, таких как тау Кенделла и коэффициент корреляции Спирмена, а также значение классического коэффициента корреляции Пирсона приведены в табл. 7.

Таблица 7 Основные меры взаимосвязи между логарифмом заработной платы и числом лет образования. Россия, 2008-2014 гг.

Мера взаимосвязи	Значение
Тау Кенделла	0,243
Коэффициент Спирмена	0,289
Коэффициент Пирсона	0,282

Таким образом, мы можем констатировать, что в течение 2008-2014 годов в России произошли пусть и незначительные, однако позитивные изменения, все меры взаимосвязи между логарифмом заработной платы и число лет образования имеют чуть более высокие значения. В целом потребность в высококвалифицированных специалистов сохранилась примерно на прежнем уровне несмотря на случившийся в 2008-2009 годах экономический кризис.

Подводя итог, мы можем отметить большую значимость уровня образования при формировании величины заработной платы в России, о чем свидетельствуют полученные модели совместного распределение логарифма заработной платы и числа лет образования. Это может свидетельствовать как о более эффективной системе образования, так и о большем инновационном потенциале экономики, который обеспечивает устойчивый спрос на специалистов, обладающих обширным запасом различных знаний, умений и навыков.

Похожие статьи