ВСТУП, - Методи розв'язування різних типів економічних задач

Економіко-математичне моделювання є галуззю економічної науки, яка вивчає основні принципи та інструментарій постановки економічних задач, побудови їх математичних моделей, методів розв'язування та аналізу економічних задач з метою використання отриманих результатів в економіці. Метою розрахункової роботи є вивчення методів розв'язування різних типів економічних задач.

В розрахункової роботі розглядаються основні методи розв'язування, аналізу та використання задач зі знаходженням екстремуму функції на множині допустимих варіантів у широкому спектрі теоретико-економічних та практичних проблем.

Двоїстий задача транспортний нерівність

Побудувати на площині множину розв'язків (багатокутник) системи лінійних обмежень-нерівностей й геометрично знайти найбільше та найменше значення лінійної функції в цьому багатокутнику (x10, x20).

Розв'язання

Задана економіко-математична модель є моделлю задачі лінійного програмування, що містить лише дві змінні, і тому може бути розв'язана графічно.

Перший крок згідно з графічним методом полягає в геометричному зображенні допустимих планів задачі, тобто у визначенні такої області, де водночас виконуються всі обмеження моделі. Замінимо знаки нерівностей на знаки строгих рівностей і побудуємо графіки відповідних прямих (рис.1.1.).

Рисунок 1.1

Кожна з побудованих прямих поділяє площину системи координат на дві півплощини. Координати точок однієї з півплощин задовольняють розглядувану нерівність, а іншої -- ні. Щоб визначити необхідну півплощину (на рис.1.1 її напрям позначено стрілкою), потрібно взяти будь-яку точку і перевірити, чи задовольняють її координати зазначене обмеження. Якщо задовольняють, то півплощина, в якій міститься вибрана точка, є геометричним зображенням нерівності. Інакше таким зображенням є інша півплощина.

Умова невід'ємності змінних х1 ? 0, х2 ? 0 обмежує область допустимих планів задачі першим квадрантом системи координат. Переріз усіх півплощин визначає область допустимих планів задачі -- шестикутник OABCDE. Координати будь-якої його точки задовольняють систему обмежень задачі та умову невід'ємності змінних. Тому поставлену задачу буде розв'язано, якщо ми зможемо відшукати таку точку багатокутника OABCDE, в якій цільова функція Z набирає найбільшого та найменшого значення.

Для цього побудуємо вектор, координатами якого є коефіцієнти при змінних у цільовій функції задачі. Вектор завжди виходить із початку координат і напрямлений до точки з координатами (х1 = с1; х2 = с2). У нашій задачі вектор. Він задає напрям збільшення значень цільової функції Z, а вектор, протилежний йому, -- напрям їх зменшення.

Побудуємо лінію, що відповідає, наприклад, значенню Z=0. Це буде пряма 50х1 + 30х2 = 0, яка перпендикулярна до вектора і проходить через початок координат. Оскільки в даному прикладі необхідно визначити найбільше значення цільової функції, то пересуватимемо пряму 50х1 + 30х2 = 0 паралельно самій собі згідно з напрямом вектора доти, доки не визначимо вершину багатокутника, яка відповідає оптимальному плану задачі.

Із рис.1.1 видно, що останньою спільною точкою прямої цільової функції та багатокутника OABCDE є точка С. Координати цієї точки є оптимальним планом задачі.

Координати точки С є розв'язком системи рівнянь

(1.1)