Решение геометрических задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений с помощью производной, Планиметрические задачи - Применение производной в решении геометрических задач

Планиметрические задачи

Задача 1.Написать уравнения касательной и нормали к графику функциив данной точке, если:

[3].

Решение. Уравнение касательной будем искать по формуле ; уравнение нормали - по формуле По условию, .

.

.

Подставляем все найденные значения в уравнение касательной:

.

Теперь находим уравнение нормали:

.

Ответ: уравнение касательной:; уравнение нормали:

.

Задача 2.Написать уравнения касательной и нормали в точке

К кривой

, [3].

Решение:

Решим уравнение

.

Подставим полученные решения в равенство

:

.

Найдем производную функции, заданной параметрически.

;

.

;

.

Подставляем все найденные значение в уравнение касательной:

Теперь находим уравнение нормали:

.

Ответ: Уравнение касательной: уравнение нормали: .

Задача 3. Найти углы, под которыми пересекаются заданные кривые:

[3].

Решение. Угол между кривыми находится по формуле

Найдем координаты точки пересечения заданных кривых. Решаем систему уравнений:

Таким образом, кривые пересекаются в точках.

Далее найдем значения производных заданных функций в точках пересечения.

Производный дифференцирование уравнение планиметрический

Подставляем найденные значение в формулу нахождения угла:

.

Следовательно, .

.

Следовательно, .

Ответ: в точке угол равен 0 (т. е. касательные совпадают), в точке угол равен.

Задача 4. Задан прямоугольник с периметром 56 см. Каковы должны быть его стороны, чтобы площадь была наибольшей [7]?

Решение.

Обозначим одну из сторон за, тогда вторая сторона:

Площадь такого прямоугольника составит:

.

Требуется найти максимум функции.

Это квадратичная функция, ее график - парабола, ветви которой направлены вниз.

Найдем производную:

.

Определим критические точки: .

Так, - точка экстремума, слева от нее производная положительна, а справа - отрицательна.

Очевидно, что - точка максимума. В таком случае площадь прямоугольника максимальна, когда его стороны равны 14 см, то есть когда он является квадратом.

Ответ: площадь максимальна, когда стороны прямоугольника равны 14 см.

Задача 5. Площадь прямоугольника составляет. Каковы должны быть его размеры этого прямоугольника, чтобы периметр был минимальным?[7]

Решение.

Пусть стороны прямоугольника равны. Тогда:

Периметр такого прямоугольника составит:

Требуется найти минимум данной функции. Найдем производную:

Найдем точки экстремума:

Очевидно, что, поэтому нас интересует точка. Слева от нее производная отрицательна, а справа - положительна.

Так, - точка минимума.

Ответ: чтобы периметр прямоугольника был минимальным, его стороны должны составить 4 см.

Задача 6. Две стороны параллелограмма лежат на сторонах заданного треугольника, а одна из его вершин принадлежит третьей стороне. Найти условия, при которых площадь параллелограмма является наибольшей [2].

Рис.4

Решение.

Пусть треугольник определяется двумя сторонами и углом между ними (рис.4). Построим параллелограмм в соответствии с условиями задачи. Обозначим стороны параллелограмма Площадь параллелограмма определяется формулой

.

Выразим через и стороны треугольника. Из подобия треугольников и следует, что

Тогда

В результате площадь записывается как функция:

Находим производную:

Отсюда видно, что экстремум функциисуществует в следующей точке:

При переходе через эту точку производная меняет свой знак с плюса на минус, то есть эта точка является точкой максимума. Другая сторона параллелограмма при этом равна

Итак, вписанный в треугольник параллелограмм со сторонами имеет наибольшую площадь при условии

Где стороны треугольника. Интересно, что результат не зависит от угла между сторонами треугольника.

Ответ: площадь параллелограмма является наибольшей при условии

Где стороны треугольника.

Задача 7.Среди всех равнобедренных треугольников, вписанных в данную окружность, найти треугольник с наибольшим периметром [2].

Рис.5

Решение.

Пусть треугольник вписан в окружность данного радиуса,

(независимая переменная) (рис.5). Выразим периметр треугольника как функцию. По теореме синусов:

, отсюда

. Найдем, при каком значении функция принимает наибольшее значение на данном интервале

.

Следовательно, точка максимума, в которой функция принимает наибольшее значение на заданном промежутке. Таким образом, наибольший периметр имеет равносторонний треугольник.

Ответ: среди всех равнобедренных треугольник, вписанных в данную окружность, с наибольшим периметром является равносторонний треугольник.

Рис.6

Задача 8.Окно имеет форму прямоугольника, ограниченного сверху полукругом.

Периметр окна равен. Определить радиус полукруга, при котором площадь окна является наибольшей (рис.6) [2].

Решение.

Очевидно, что одна сторона прямоугольника равна. Другую сторону обозначим через. Периметр всего окна выражается формулой

Отсюда находим :

Площадь окна составляет:

Полученное выражение представляет собой функцию. Исследуем ее на экстремум. Находим производную:

Определяем стационарные точки:

Поскольку вторая производная отрицательна:

,

То найденная точка является точкой максимума, т. е. при этом значении площадь окна будет наибольшей.

Само максимальное значение площади составляет

.

Ответ: радиус полукруга, при котором площадь является наибольшей.

Похожие статьи




Решение геометрических задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений с помощью производной, Планиметрические задачи - Применение производной в решении геометрических задач

Предыдущая | Следующая