О разложении в ряд Фурье непериодической функции - Приложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач

Пусть на некотором отрезке [a, b] задана кусочно-монотонная функция f(x). Покажем, что данную функцию в точках ее непрерывности можно представить в виде суммы ряда Фурье. Для этого рассмотрим произвольную периодическую кусочно-монотонную функцию f1(x) с периодом 2м b - a, совпадающую с функцией f (x) на отрезке [a, b].

Разложим функцию f1(x) в ряд Фурье. Сумма этого ряда во всех точках отрезка [a, b] (кроме точек разрыва) совпадает с заданной функцией f (x), т. е. мы разложили функцию f (x) в ряд Фурье на отрезке [a, b].

Рассмотрим, далее, следующий важный случай. Пусть функция f(x) задана на отрезке [0,l]. Дополняя определение этой функции произвольным образом на отрезке [-l,0] (сохраняя кусочно монотонность), мы можем разложить эту функцию в ряд Фурье. В частности, если мы продолжим определение функции f(x) при так: f(x) = , то получим нечетную функцию, которая разлагается по синусам. (Функция f(x) "продолжена нечетным образом").

Практика:

Разложим исходную функцию f (x) в ряд Фурье по тригонометрической системе функций на [-1;1].

    1) Найдем коэффициенты Фурье: 2) Раскладываем функцию f(x) в ряд Фурье:

Ответ:

А) Нарисовать график функции f(x) на отрезке [-1;1].

Теория:

Определение. Функция f (x) называется Кусочно-монотонной на отрезке [a, b], если этот отрезок можно разбить конечным числом точек x, x, ..., x на интервале (a, x), (x1, x2), ..., (xN-1, b) так, что на каждом из интервалов функция монотонна, т. е. либо невозрастающая, либо неубывающая.

Практика:

Построим график данной функции:

Б) Написать к чему сходится этот ряд Фурье в точках отрезка [-1;1].

Теория:

Определение. Функция f (x) называется удовлетворяющей условиям Дирикле на сегменте [a, b], если:

    1. функция непрерывна на сегменте [a, b] или кусочно-непрерывна (т. е. имеет на нем конечное число точек разрыва 1 рода); 2. функция кусочно-монотонна на сегменте [a, b].

Теорема Дирикле: Пусть периодическая функция f (x) с периодом 2р удовлетворяет на любом сегменте условиям Дирихле. В таком случае ряд Фурье, соответствующий этой функции, сходится во всех точках числовой оси. При этом в каждой точке непрерывности функции f(x) сумма ряда S(x) равна значению функции в этой точке. В каждой точке x0 разрыва функции сумма ряда равна среднему арифметическому предельных значений функции при x>x0 слева и справа, т. е.: S(x) = 0,5[f(x0 + 0)+f(x0 - 0)].

Практика:

В каждой точке отрезка [-1;1] полученный ряд сходится к значению функции f(x) в точках:

Ответ:

В) Нарисовать график суммы ряда на отрезке [-3, 3].

Теория:

Как уже было сказано, в каждой точке непрерывности функции f(x) сумма ряда S (x) равна значению функции в этой точке. В каждой точке x0 разрыва функции сумма ряда равна среднему арифметическому предельных значений функции при x>x0 слева и справа.

Практика:

Г) Пользуясь равенством Парсеваля, найти сумму:

Теория:

Для функции f(x), такой, что f2(x)L(-;), справедливо равенство Парсеваля:

Практика:

Ответ: 8/3.

Задание № 4

Найти линейную комбинацию функций, дающую наилучшее приближение по норме функции F(x) =x3+2x2+6x+4 на отрезке

[-1;1].

Теория:

Бесконечная система функций Ц1(x), ц2(x), ..., цN(x) называется ортогональной на отрезке [a, b], если при любых n ? k выполняется равенство

При этом предполагается, что

Пусть функция F(x), определенная на отрезке [a;b], такова, что

При этом:

Коэффициенты cN, вычисленные по данной формуле называют коэффициентами Фурье функция F(x) По системе ортогональных функций. А ряд из первой формулы называют рядом Фурье по системе функций.

Практика:

Построим по данной системе ортогональную систему функций.

Найдем ортогональный базис :

Система функций: - ортогональная система на отрезке [-1,1].

Наилучшее приближение по норме функции f(x) дает линейная комбинация:

, где - коэффициенты Фурье.

В итоге получаем:

Ответ:

Задание №5

Найти объем тела, заданного системой неравенств:

Теория:

Пусть в пространстве задана некоторая область V, ограниченная замкнутой поверхностью S. Пусть в области V и на ее границе определена некоторая непрерывная функция f(x, y, z), где x, y, z - прямоугольные координаты точки области. Для ясности в случае, если f(x, y, z)0, мы можем считать эту функцию плотностью распределения некоторого вещества в области V.

Разобьем область V произвольным образом на области, обозначая символом не только самую область, но и ее объем. В пределах каждой частичной области выберем произвольную точку и обозначим через значение функции f в этой точке. Составим интегральную сумму вида (1) и будем неограниченно увеличивать число малых областей так, чтобы наибольший диаметр стремился к нулю. Если функция f(x, y, z) непрерывна, то при этом будет существовать предел интегральных сумм вида (1). Этот предел, не зависящий ни от способа разбиения области V, ни от выбора точек, обозначается символом (2) и называется тройным интегралом.

Если подынтегральная функция f(x, y, z)=1, то тройной интеграл по области V выражает объем области V:

Похожие статьи




О разложении в ряд Фурье непериодической функции - Приложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач

Предыдущая | Следующая