Счетные и несчетные множества - Методы решения системы линейных уравнений

Пусть, например, А и В Ї некоторые множества. Тогда их возможные взаимоотношения можно рассмотреть в виде таблицы:

Диаграмма Венна

Диаграмма Венна

Диаграмма Венна

Диаграмма Венна

Исходя из вышеизложенного, запишем некоторые свойства множеств:

    1. АА = 0 2. А = А 3. АА = А, АА = А 4. АВ = ВА, АВ = В А

Пределы и непрерывность

Бесконечной числовой последовательностью называется числовая функция, определенная на N натуральных чисел.

Последовательность XN называется возрастающей (убывающей), если каждый ее член, начиная со второго, больше (меньше) предыдущего, т. е. для любого n выполняется неравенство: XN+1>XN (XN+1>XN).

Последовательность XN называется невозрастающей (неубывающей), если каждый ее член, начиная со второго, не больше (не меньше) предыдущего, т. е. для любого n выполняется неравенство: XN+1?XN (XN+1?XN).

Убывающие, возрастающие, неубывающие, не возрастающие последовательности называются монотонными.

Последовательность XN называется ограниченной сверху (ограниченной снизу), если можно указать такое число М (число m), что для всех членов этой последовательности выполняется неравенство XN?M (XN?m). Числа М и m называются соответственно верхней и нижней границей последовательности (XN). Тот факт, что последовательность ограничена сверху числом М (снизу числом m), геометрически обозначает, что ни одна точка XN не лежит правее точки М (левее точки m).

Последовательность XN называется ограниченной, если существуют два числа М и m такие, что для всех n выполняется неравенство m?XN?M. Тот факт, что последовательность ограничена числами m и M, геометрически обозначает, что все ее члены помещаются в промежутке [m, M].

Последовательность XN называется постоянной, если все ее члены совпадают.

Обычно последовательность задается формулой, выражающей общий член последовательности через n. Иногда указывается правило, с помощью которого можно вычислить n-ый член последовательности по известным предыдущим членам. Такой способ задания последовательности называется индуктивным (или рекуррентным).

Число а называется пределом последовательности XN, если для любого е>0 все члены последовательности XN, кроме может быть, конечного их числа, лежат в е-окрестности точка а, т. е. найдется такое натуральное число N, что при n>N будет выполнено неравенство |XN-a|<е.

Последовательность может иметь только один предел. Если последовательность имеет предел, то последовательность называется сходящейся; последовательность, не имеющую предела называют расходящейся.

Если последовательность XN имеет пределом число а, то пишут. В этом случае говорят, что последовательность сходится к числу а.

Последовательность называется бесконечно малой, если ее предел равен нулю.

Число А называется пределом функции f(x) при x>a, если для любого е>0 можно указать такое д>0, что для любого x ? a, удовлетворяющего неравенству 0<|x-a|<д, выполнялось неравенство |f(x)-A|<е. В этом случае пишут.

Если число А1 (числоА2) есть предел функции y = f(x) при х, стремящемся к а так, что х принимает только значения, меньше (больше) а, то А1 (А2) называется левым (правым) пределом функции (x) в точке a. При этом соответственно пишут

Теорема 1. Если существуют пределы функций f(x) и g(x) при x>a, то существует также и предел их суммы, равный сумме пределов функций f(x) и g(x):

Теорема 2. Если существуют пределы функций f(x) и g(x) при x>a, то существует также и предел их произведения, равный произведению пределов функций f(x) и g(x):

Теорема 3. Если существуют пределы функций f(x) и g(x) при x>a, и предел функции отличен от нуля, то существует также и предел отношения f(x)/g(x), равный отношению пределов функций f(x) и g(x):

Следствие 1. Постоянный множитель можно вынести за знак предела:

Следствие 2.Если n - натуральное число, то

Следствие 3. Предел многочлена (целой рациональной функции)

При x>a равен значению этого многочлена при x = a, т. е.

Следствие 4. Предел дробно - рациональной функции

При x>a равен значению этой функции при х = а, если а принадлежит области определения функции, т. е.

Производная и дифференциал функции.

Пусть дан график непрерывной функции Y = f(x). Возьмем на кривой y = f(x) точки M(x, y) и M(x1,y1), где x1 = x+Дx, y1 = y+Дy (где Дx - приращение аргумента, Дy - приращение функции). Проведем секущую MM1, угловой коэффициент которой обозначим через k1, т. е. k1 = tg a1. Из треугольника MM1P находим

Предположим, что точка М остается неподвижной, а точка M1, перемещаясь по кривой, неограниченно приближается к М. Тогда:

    - секущая MM1 поворачивается вокруг точки М, приближаясь к положению касательной; - x1 > x, а, следовательно, Дx = (x1-x) > 0; - угол a1 стремится к углу a между касательной и осью Ox.

Пусть k Ї угловой коэффициент касательной, т. е. k = tg a. Т. к. tg a1 Ї непрерывная функция (случай, когда a1 = р/2, пока исключим из рассмотрения), то

Производной функции y = f(x) в данной точке х называют предел отношения функции Дy к соответствующему приращению аргумента Дx при условии, что Дx > 0, т. е.

Операцию отыскания производной некоторой функции называют дифференцированием функции.

Если функция имеет производную в точке х = а, то говорят, что она дифференцируема в этой точке.

Если функция имеет производную в каждой точке длинного промежутка, то говорят, что она дифференцируема на этом промежутке.

Чтобы фактически вычислить производную данной функции необходимо проделать четыре шага, указанные в самом определении производной:

    1. Находят новое значение функции, подставив в данную функцию вместо x новое значение аргумента: т. е. есть функция у = f(х), поставим в соответствие x > x+Дx, y > y+Дy, найдем новое значение функции y+Дy = f(x+Дx). 2. Определяем приращение функции, вычитая данное значение функции из ее нового значения 3. Составляют отношение приращения функции к приращению аргумента 4. Переходят к пределу при Дx > 0 и находят производную:

Похожие статьи




Счетные и несчетные множества - Методы решения системы линейных уравнений

Предыдущая | Следующая