Вычисление объема тела п площади параллельных плоскостных сечений. Вычисление объема тела вращения - Неопределенный интеграл

Пусть в пространстве дано тело, ограниченное некоторой замкнутой поверхностью и пусть известна площадь любого его сечения, полученного плоскость, проведенной перпендикулярно некоторой оси. В начале этой оси можно взять ось Ох. В этом случае площадью произвольного сечения является функция переменной х (S=S(x)).

О: Объемом тела называется предел, к которому стремится объем вписанного в него многоступенчатого цилиндра при неограниченном увеличении числа ступеней цилиндра и стремлении к нулю объема наибольшего из них.

А=x0<x1<x2< ...<xK<xK-1<...<xN-1<xN=b, VK=(xK-xK-1) S(xK)= S(xK)?xK; ?x=max?xK, 1?k?n,

Перейдем к пределу в функции (1) при n>? b и ?х>0

Если рассматриваемое тело, полученное при помощи вращения произвольной трапеции, ограниченной сверху графиком функции у=у(х), то поперечным сечением данного тела в точке х является круг, радиус которого r равен значению функции у в данной точке х. r=y(x). Тогда S(x) - есть площадь круга S(x)=рy2(x).

Похожие статьи

• Объемы тел вращения - Определенные интегралы

  Пусть - некоторое конечное тело. Рассмотрим всевозможные многогранники, вписанные в тело, и всевозможные многогранники, описанные вокруг тела. Пусть -...

• Нахождение площади поверхности тела вращения, Способ задания функции двух переменных. - Неопределенный интеграл

  Q(x) - соответствует площади боковой поверхности данного тела от точки А до точки х. Q(x)>х€[a, x]. Q (x+?x)>х€[a, x+?x], тогда ?Q=Q...

• Площадь поверхности вращения - Определенный интеграл

  Пусть кривая АВ Является графиком функции У = f(х) ? 0, где Х [а;b], А функция У = F(х) И ее производная У' = f'(х) Непрерывны на этом отрезке....

• Несобственный интеграл. - Неопределенный интеграл

  Несобственные интегралы I рода. О: Несобственным интегралом I рода от функции f(x), определенным на множестве [а,?], называется предел, к которому...

• Площадь криволинейной трапеции - Определенный интеграл

  Определение . Фигура, ограниченная графиком непрерывной, знакопостоянной функции f(x), осью абсцисс и прямыми X=a, x=b, Называется криволинейной...

• Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций, Определенный интеграл. - Неопределенный интеграл

  Пусть R= R (sinx, cosx) является рациональной функцией. Т: Интеграл ?R (sinx, cosx) dx при помощи подстановки t=tg (x/2) [1] преобразуется в интеграл...

• Постановка задачи, Понятие о кубатурных формулах, Метод ячеек - Вычисление кратных интегралов методом ячеек с автоматическим выбором шага

  Найти при помощи метода ячеек значение интеграла , Где - область, ограниченная функциями . 2. Теоретическая часть Рассмотрим K-мерный интеграл вида: (1)...

• Приближенное вычисление определенных интегралов, Формула прямоугольников - Определенные интегралы

  Задача вычисления определенного интеграла не всегда может быть сведена к первообразной, поэтому разработаны численные методы, которые позволяют найти...

• ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, Интегральные суммы - Определенные интегралы

  Интегральные суммы Пусть функция задана на сегменте, . Обозначим символом разбиение сегмента при помощи некоторых несовпадающих друг с другом точек на...

• Длина дуги кривой - Определенный интеграл

  Прямоугольные координаты Пусть в прямоугольных координатах дана плоская кривая AB, уравнение которой y = f(x), где a ? x ? b. (рис 1). Под длиной...

• Принципы построения программ с автоматическим выбором шага, Решение задачи, Блок-схема программы, Результаты решения - Вычисление кратных интегралов методом ячеек с автоматическим выбором шага

  При написании программ численного интегрирования желательно, чтобы для любой функции распределение узлов являлось оптимальным или близким к нему. Однако...

• Кубатурная формула типа Симпсона - Вычисление кратных интегралов методом ячеек с автоматическим выбором шага

  Пусть сначала область интегрирования есть K-мерный пространственный параллелепипед (рис. 5), стороны которого параллельны осям координат. Каждый из...

• МЕТОД ВРАЩЕНИЯ ВОКРУГ ОСИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙ ПЛОСКОСТИ ПРОЕКЦИЙ, МЕТОД ВРАЩЕНИЯ ВОКРУГ ОСИ ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ ПРОЕКЦИЙ - Основы моделирования геометрических объектов

  Плоскости носитель траекторий перемещения точек параллельны плоскости проекций. Траектория - дуга окружности, центр которой находится на оси...

• Вычисление кратных интегралов методом Монте-Карло - Применение метода Монте-Карло в эконометрическом анализе

  Пусть функция непрерывна в ограниченной замкнутой области S и требуется вычислить m-кратный интеграл . (1) Геометрически число I представляет собой...

• Способ, основанный на истолковании интеграла как площади - Применение метода Монте-Карло в эконометрическом анализе

  Пусть подынтегральная функция неотрицательна и ограничена: , а двумерная случайная величина распределена равномерно в прямоугольнике D с основанием и...

• Приложения определенного интеграла. Площадь плоской фигуры - Определенные интегралы

  Определение: Плоская фигура - часть плоскости, ограниченная простой замкнутой кривой, при этом кривая называется границей фигуры. Определение: Мы будем...

• Интегрируемость непрерывных, разрывных и монотонных функций, Основные свойства определенного интеграла - Определенные интегралы

  Теорема: Непрерывная на сегменте функция интегрируема на этом сегменте. Теорема: Если функция определена и ограничена на сегменте, и если для любого...

• Несобственные интегралы, Интегрирование неограниченных функций - Определенные интегралы

  При рассмотрении задачи интегрирования непрерывных и кусочно-непрерывных функций предполагалось, что эти подынтегральные функции являются ограниченными...

• Геометрический смысл определенного интеграла - Неопределенный интеграл

  О: Площадь криволинейной трапеции равна определенному интегралу, вычисленному от функции, график которой является верхним основанием, а ось абсцисс -...

• Стереометрические задачи - Применение производной в решении геометрических задач

  Рис.7 Задача 1.Определить наибольший объем цилиндра, вписанного в конус с радиусом основания и высотой [4]. Решение. Обозначим радиус основания...

• Геометрический смысл задачи Каши, Методы решения дифференциальных уравнений - Неопределенный интеграл

  Любое частное решения уравнения (1) на координатной плоскости х0у изображено в виде графика функции у=у (х, с) (с=const). В теории дифференциальных...

• Программа вычисления определенного интеграла методом Монте-Карло - Применение метода Монте-Карло в эконометрическом анализе

  Вычислить определенный интеграл по методу "Монте-Карло" по формуле , Где n - число испытаний; G(x) - плотность распределения "вспомогательной" случайной...

• Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность. Частные производные. - Методы решения системы линейных уравнений

  Пусть u = f(x, y) - функция, определенная в области w. Рассмотрим точку М(х, у) О w и некоторое направление l, определяемое направляющими косинусами Cosa...

• Счетные и несчетные множества - Методы решения системы линейных уравнений

  Пусть, например, А и В Ї некоторые множества. Тогда их возможные взаимоотношения можно рассмотреть в виде таблицы: Диаграмма Венна Диаграмма Венна...

• "Геометрические характеристики поперечных сечений" - Геометрические характеристики поперечных сечений

  Статические моменты сечения Возьмем некоторое поперечное сечение бруса (рис. 1). Свяжем его с системой координат Х, у и рассмотрим два следующих...

• Заключение - Определенный интеграл

  Интеграл лагранж функция коши Наука прошла большой и сложный путь развития от самого элементарного к более сложному. Человечество прошло и проходит...

• Дифференциальные уравнения - Неопределенный интеграл

  Неопределенный интеграл дифференциальный дробь Однородные дифференциальные уравнения I порядка О: Дифференциальным уравнением I порядка называется...

• Латиноамериканская модель глобального развития - Математическое и компьютерное моделирование в естествознании

  В 1974г. группа аргентинских ученых во главе с профессором А. Эррерой получила предварительные результаты работы над латиноамериканской моделью...

• 7. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ, ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ, ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ. ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ - Скалярные и векторные величины, матрицы и функции

  ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ Если некоторому множеству значений поставлено по определенному правилу F во взаимнооднозначное соответствие некоторое множество, то тогда...

• Сложная функция, Cхема исследования функции по графику, Тригонометрические функции числового аргумента, Перевод градусной меры угла в радианную и наоборот - Математика в современном мире

  Ответ: Функция f ставит в соответствие числу х число у, а функция g числу у число z. Говорят что h есть сложная функция составленная из функций g и f, и...

• Вычисление интегралов методом Монте-Карло, Алгоритмы метода Монте-Карло для решения интегральных уравнений второго рода - Применение метода Монте-Карло в эконометрическом анализе

  Алгоритмы метода Монте-Карло для решения интегральных уравнений второго рода Пусть необходимо вычислить линейный функционал , Где, причем для...

• Теорема Пенлеве - Условия Фукса и теорема Пенлеве

  Все приведенные выше исследования велись в предположении, что мы изучаем поведение интеграла в области изменения z, при котором w(z) принимает вполне...

• Принцип симметрии - Конформное отображение

  Теорема 9 (принцип непрерывности). Пусть две односвязные области и в расширенной комплексной плоскости не пересекаются, но имеют общий участок границы в...

• Понятие конформного отображения - Конформное отображение

  Основная задача теории конформных отображений - построить конформное отображение заданной области на некоторую заданную область плоскости переменной w....

• Влияние отклонений от оптимального объема партии - Модели оптимального плана управления запасами

  В реальных производственных и управленческих ситуациях часто приходится принимать решения об использовании объемов партии, отличных от оптимальной...

• Введение - Ранговый метод оценивания параметров регрессионной модели

  Объектом исследования в этой ВКР является ранговый метод оценивания параметров регрессионной модели. Этот метод применяется при построении регрессионных...

• Определение определенного интеграла - Определенный интеграл

  Пусть в интеграле нижний предел а = const, а верхний предел b изменяется. Очевидно, что если изменяется верхний предел, то изменяется и значение...

• Последовательное интегрирование - Вычисление кратных интегралов методом ячеек с автоматическим выбором шага

  Снова рассмотрим интеграл по K-мерной области, разбитой сеткой на ячейки (рис. 2). Его можно вычислить последовательным интегрированием: Каждый...

• Главные оси и главные моменты инерции - Геометрические характеристики поперечных сечений

  Рис. 3 Посмотрим, как изменяются моменты инерции при повороте осей координат. Положим, даны моменты инерции некоторого сечения относительно осей Х, у (не...

• Моменты инерции сечения - Геометрические характеристики поперечных сечений

  В дополнение к статическим моментам рассмотрим еще три следующих интеграла: Через Х и У обозначены текущие координаты элементарной площадки DF в...

Вычисление объема тела п площади параллельных плоскостных сечений. Вычисление объема тела вращения - Неопределенный интеграл

Предыдущая | Следующая