Решетки (структуры) - Формационные основы универсальных алгебр

Понятие решетки (пример 11) играет исключительно важную роль в изучении самых общих алгебр. И это, в первую очередь, связано с иным подходом в определении решетки.

Напомним, что Отношением (Бинарным отношением) на множестве называется любое непустое подмножество из A2. Тогда множство называется Упорядоченным (Частично упорядоченным), если на нем задано отношение Порядка, обозначаемое, и удовлетворяющее следующим свойствам:

    1) (рефлексивность); 2) если (транзитивность); 3) если (антисимметричность);

Частично упорядоченные множества и называются изоморфными, если существует такое взаимнооднозначное отображение, что имеет место тогда и только тогда, когда, .

Частично упорядоченное множество A называется Линейно упорядоченным или Цепью, если любые два его элемента сравнимы, т. е. имеет место или.

Пусть A - частично упорядоченное множество. Элемент a множества A называется Максимальным, если из условия для некоторого всегда следует x=a. Если же из условия для некоторого cледует, что x=a, то a называется Минимальным элементом. Элемент называется Наибольшим элементом, Если, . Если же, , то элемент a называется Наименьшим .Максимальные (минимальные), в частности, наибольший (наименьший) элементы частично упорядоченного множества могут и не существовать. Очевидно, что если частично упорядоченное множество имеет наибольший (наименьший) элемент, то он является единственным максимальным (минимальным).

Пусть B -- подмножество частично упорядоченного множества A. Тогда множество всех таких элементов, что для всех, называется Верхней (нижней) Гранью множства B в A. Если существует наименьший элемент верхней грани множества B, то он называется Точной верхней гранью Множества B и обозначается SupB. Аналогично, если существует наибольший элемент нижней грани множества, то он называется Точной нижней гранью Множества B и обозначается InfB.

    2.1. (Лемма Цорна) Непустое упорядоченное множество, в котором каждая цепь обладает верхней гранью имеет максимальный элемент. Определение Решетки, с учетом всего вышесказанного, можно дать следующим образом. 2.2. Решеткой (Структурой) называется частично упорядоченное множество, каждое двухэлементное подмножество которого обладает как точной верхней, так и точной нижней гранью. Полагая A+b=supa, b и A b=infa, b для любых элементов a, b решетки можно придти к определению 11. И наоборот, можно показать, что из 11. следует 2.2.

В дальнейшем, все структурные свойства исследуемых универсальных алгебр будут и в основном связаны с одним типом решеток.

Решетка A называется Модулярной (Дедекиндовой), если, где, выполняется Модулярный закон

(a+b)c = a+bc.

Одним из наиболее важных примеров модулярной решетки является следующий.

2.3. Множество всех нормальных подгрупп группы упорядоченно по включению и является решеткой. В этом случае

,

Показываем

; .

Выполняемость известного тождества Дедекинда:

, где,

Равносильно условию модулярности этой решетки.

Если a и b - элементы решетки A и, то множество

= ,

Называется Интервалом . Заметим, что такой интервал в общем случае не является цепью, но будет подрешеткой решетки A с наибольшим элементом b и наименьшим элементом a.

Похожие статьи




Решетки (структуры) - Формационные основы универсальных алгебр

Предыдущая | Следующая