Решетки (структуры) - Формационные основы универсальных алгебр
Понятие решетки (пример 11) играет исключительно важную роль в изучении самых общих алгебр. И это, в первую очередь, связано с иным подходом в определении решетки.
Напомним, что Отношением (Бинарным отношением) на множестве называется любое непустое подмножество из A2. Тогда множство называется Упорядоченным (Частично упорядоченным), если на нем задано отношение Порядка, обозначаемое, и удовлетворяющее следующим свойствам:
- 1) (рефлексивность); 2) если (транзитивность); 3) если (антисимметричность);
Частично упорядоченные множества и называются изоморфными, если существует такое взаимнооднозначное отображение, что имеет место тогда и только тогда, когда, .
Частично упорядоченное множество A называется Линейно упорядоченным или Цепью, если любые два его элемента сравнимы, т. е. имеет место или.
Пусть A - частично упорядоченное множество. Элемент a множества A называется Максимальным, если из условия для некоторого всегда следует x=a. Если же из условия для некоторого cледует, что x=a, то a называется Минимальным элементом. Элемент называется Наибольшим элементом, Если, . Если же, , то элемент a называется Наименьшим .Максимальные (минимальные), в частности, наибольший (наименьший) элементы частично упорядоченного множества могут и не существовать. Очевидно, что если частично упорядоченное множество имеет наибольший (наименьший) элемент, то он является единственным максимальным (минимальным).
Пусть B -- подмножество частично упорядоченного множества A. Тогда множество всех таких элементов, что для всех, называется Верхней (нижней) Гранью множства B в A. Если существует наименьший элемент верхней грани множества B, то он называется Точной верхней гранью Множества B и обозначается SupB. Аналогично, если существует наибольший элемент нижней грани множества, то он называется Точной нижней гранью Множества B и обозначается InfB.
- 2.1. (Лемма Цорна) Непустое упорядоченное множество, в котором каждая цепь обладает верхней гранью имеет максимальный элемент. Определение Решетки, с учетом всего вышесказанного, можно дать следующим образом. 2.2. Решеткой (Структурой) называется частично упорядоченное множество, каждое двухэлементное подмножество которого обладает как точной верхней, так и точной нижней гранью. Полагая A+b=supa, b и A b=infa, b для любых элементов a, b решетки можно придти к определению 11. И наоборот, можно показать, что из 11. следует 2.2.
В дальнейшем, все структурные свойства исследуемых универсальных алгебр будут и в основном связаны с одним типом решеток.
Решетка A называется Модулярной (Дедекиндовой), если, где, выполняется Модулярный закон
(a+b)c = a+bc.
Одним из наиболее важных примеров модулярной решетки является следующий.
2.3. Множество всех нормальных подгрупп группы упорядоченно по включению и является решеткой. В этом случае
,
Показываем
; .
Выполняемость известного тождества Дедекинда:
, где,
Равносильно условию модулярности этой решетки.
Если a и b - элементы решетки A и, то множество
= ,
Называется Интервалом . Заметим, что такой интервал в общем случае не является цепью, но будет подрешеткой решетки A с наибольшим элементом b и наименьшим элементом a.
Похожие статьи
-
Гомоморфизм алгебр. Конгруэнции - Формационные основы универсальных алгебр
3.1. Отображение f из алгебры A в алгебру B называется гомоморфизмом, если для любых элементов и любой n-арной операции справедливо равенство Если же...
-
Конечные прямые и подпрямые произведения - Формационные основы универсальных алгебр
На протяжении всего параграфа будут рассматриваться только конечные проиведения. Пусть алгебра и - подалгебра алгебры. Тогда отображение Такое, что для...
-
Алгебры слов (термов) - Формационные основы универсальных алгебр
7.1. Пусть - некоторая сигнатура, - произвольное множество, в частности пустое. Построим множество - слов (- термов) индуктивно следующим образом:...
-
Решетка конгруэнций - Формационные основы универсальных алгебр
Если - отношение эквивалентности на множестве и, то будем это отношение изображать в виде неориентированного графа Ris04.eps Ris05.eps 4.1. Теорема....
-
Ряды конгруэнций - Формационные основы универсальных алгебр
5.1. Конечная цепь конгруэнции алгебры А вида (1) , Называется Рядом конгруэнций, а число -- Длиной ряда. Фактор алгебры называется Главным , если и из ,...
-
Многообразия - Формационные основы универсальных алгебр
8.1. Пусть и -- слова сигнатуры в счетном алфавите. Тогда формальное равенство называется - тождеством или тождеством сигнатуры. Пусть тождество имеет...
-
Определение. Примеры - Формационные основы универсальных алгебр
1. Пусть А - непустое множество (АШ), n -- натуральное число, - декартова (прямая) n-ая степень множества А. В частности, если n=0, то под будем понимать...
-
Введение - Формационные основы универсальных алгебр
Впервые, понятие формации алгебраических систем было введено Л. А. Шеметковым в 1984 г. в работе [1] .Напомним, что непустой класс F алгебраических...
-
Все накопленные веками знания о природе, систематизированы, логически предельно развиты в первой универсальной картине мира, которую создал в IV в. до н....
-
Актуальность исследования Цель исследования: Изучение теоретических и практических аспектов евклидовости в математике Задачи исследования: 1. Изучить...
-
Принцип универсального эволюционизма - Основы естественно-научных знаний
Все существует в развитии. Развитие - это есть чередование медленных количественных и быстрых качественных изменений. Законы природы по существу есть...
-
Научная теория и ее структура - Основы научных исследований
Теория - система логически непротиворечивых верифицируемых высказываний, в идеале имеющая аксиоматическую структуру и полностью соответствующая всем...
-
Прототипом разработанной автором системы моделей служит "точечная" модель [1], представляющая собой пространственно осредненный вариант уравнений горения...
-
Методы отбора выборок - Основы научных исследований
Известны три метода отборок выборок: случайный, систематический и комбинированный. В результате случайного отбора получается случайная выборка. Выборка...
-
Генеральная совокупность и выборка - Основы научных исследований
Распределение случайной величины содержит всю информацию о ее статистических свойствах. Много ли нужно знать значений случайной величины, чтобы построить...
-
Моделирование в условиях противодействия, игровые модели - Основы теории систем и системного анализа
Как уже неоднократно отмечалось, системный анализ невозможен без учета взаимодействий данной системы с внешней средой. Ранее упоминалась необходимость...
-
Экономико-математические методы представляют собой совокупность математических методов (математического программирования, теории вероятностей, теории...
-
Моделирование системы в условиях неопределенности - Основы теории систем и системного анализа
Как уже отмечалось в первой части нашего курса, в большинстве реальных больших систем не обойтись без учета "состояний природы" -- воздействий...
-
Требования к современному эксперименту - Основы научных исследований
В данном курсе под физическим экспериментом будем понимать любое взаимодействие с внешними объектами, направленное на получение новой информации. Поэтому...
-
Элементы теории процентов - Финансово-математические основы инвестиционного проектирования
В процессе анализа инвестиционных решений принято использовать сложные проценты. Сложным процентом называется сумма дохода, которая образуется в...
-
После проведения регрессионного анализа получается модель объекта исследований в виде некоторой функции. В простейшем случае линейной регрессии она имеет...
-
Метод наименьших квадратов - Основы научных исследований
Пусть проведен однофакторный эксперимент, в котором исследована зависимость У от Х . Установлено, что основные предпосылки регрессионного анализа...
-
Основные предпосылки регрессионного анализа - Основы научных исследований
Методика РА создана с использованием некоторых предпосылок. Если они не выполняются, то корректное выполнение всех процедур РА приведет к неверным...
-
Показатели вариации - Основы эконометрики
Показатели вариации делятся на две группы: абсолютные и относительные. К Абсолютным показателям вариации относятся: § размах вариации; § среднее линейное...
-
Задачи и функции. Предназначение Функция - это некоторая система задач, решение которых направлено на достижение определенной цели и (или) на выполнение...
-
В данной главе описан способ прогнозирования с помощью НС, основанный на методе окон. Также приведен обзор применения НС в финансовой сфере. Общий подход...
-
Теорема об универсальной функции - Рекурсивные функции
Для любого n, nN, универсальная функция u(n) вычислима. Доказательство. При доказательстве мы можем ограничиться случаем N=1. Действительно, программу,...
-
Теоретические основы масс-спектрометрии Масс-спектрометрия представляет собой метод исследования веществ, основанный на определении массы (точнее,...
-
Модель Бокса и Дженкинса Процедуры оценки параметров и прогнозирования, описанные в разделе Идентификация модели временных рядов, предполагают, что...
-
Проверка статистических гипотез - Основы научных исследований
Для проверки статистических гипотез используются статистики, называемые статистическими критериями или иначе - критериями значимости. В частности, для...
-
Статистики, Свойства оценок - Основы научных исследований
Любая функция от элементов выборки называется Статистикой . Следовательно, точечная оценка также является статистикой. Однако не всякая статистика может...
-
Методы оценки параметров структурной формы модели - Основы эконометрики
Коэффициенты структурной модели могут быть оценены разными способами в зависимости от вида системы одновременных уравнений. Наибольшее распространение в...
-
Типы оценок, Интервальное оценивание - Основы научных исследований
Оценки бывают двух типов - точечные и интервальные. Оценка называется точечной, если в результате оценивания получается значение неизвестного параметра в...
-
Параметры эмпирических распределений - Основы научных исследований
По опытным (эмпирическим) данным строятся распределения исследуемых случайных величин. Функции плотности Р(х) таких распределений могут иметь один...
-
А) Углерод (С), кремний (Si), германий (Ge), олово (Sn), свинец (РЬ) - элементы 4 группы главной подгруппы ПСЭ. На внешнем электронном слое атомы этих...
-
О квази-клике. - Использование квази-клик для анализа графа рынка России
Квази-клика - представляет собой релаксацию строгого условия полноты клики, то есть допускается отсутствие некоторых ребер в искомом подграфе. На данный...
-
В школьной алгебре одночленом от некоторой буквы x называется алгебраическое выражение вида, где a - некоторое число, x - буква, m - целое...
-
Объемы тел вращения - Определенные интегралы
Пусть - некоторое конечное тело. Рассмотрим всевозможные многогранники, вписанные в тело, и всевозможные многогранники, описанные вокруг тела. Пусть -...
-
Приложения определенного интеграла. Площадь плоской фигуры - Определенные интегралы
Определение: Плоская фигура - часть плоскости, ограниченная простой замкнутой кривой, при этом кривая называется границей фигуры. Определение: Мы будем...
-
ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, Интегральные суммы - Определенные интегралы
Интегральные суммы Пусть функция задана на сегменте, . Обозначим символом разбиение сегмента при помощи некоторых несовпадающих друг с другом точек на...
Решетки (структуры) - Формационные основы универсальных алгебр