Линейная функция - Конформное отображение

Определение 2. Функция вида: , где - фиксированные комплексные числа, называется линейной.

Определение 3. Отображение, осуществимое линейной функцией

Аналитической в комплексной плоскости, называют линейным.

Линейная функция обладает следующими свойствами.

1) Функция однолистна на.

Доказательство: Добавим к (3) условие

В бесконечно удаленной точке. Соотношения (3) и (4) опредеделяют однолистное отображение расширенной комплексной плоскости () на расширенную комплексную плоскость (). Проверяем однолистность:

и,

То

И, следовательно, равенство возможно только при.

2) Для линейной функции существует обратная функция:

,

Которая также является линейной функцией

3) Во всех точках плоскости функция является дифференцируемой, причем ее производная вычисляется по формуле

.

Доказательство:

Для доказательства дифференцируемости функции найдем действительную и мнимую части линейной функции, покажем, что эти функции дифференцируемы, как функции 2-х действительных переменных, и выполняются условия К.-Р.

Т. к. , где и, то

+, или, что тоже самое,

Т. е.

Функции и являются многочленами первого порядка, а, следовательно, они дифференцируемы любое число раз как функции двух переменных.

Найдем их частные производные:

Отсюда следует, что

и.

Таким образом, условия К.-Р. выполняются. Следовательно, функция является дифференцируемой, и значит аналитической в. Кроме того,

.

3) Линейная функция - голоморфна на всей плоскости (Функция называется голоморфной в, если в каждой точке области ее можно разложить в ряд Тейлора).

Доказательство:

Учитывая свойство 3) разложим линейную функцию в ряд Тейлора в любом

Т. е. таким образом, линейная функция является аналитической и однозначной, голоморфна в.

5) Для любой точки существует, поэтому отображение функцией - является конформным во всех точках плоскости.

Отображение с помощью линейной функции:

Рассмотрим сначала частные специальные случаи линейных функций:

1) Пусть, тогда В этом случае каждая конечная точка смещается в точку, т. е. происходит параллельный перенос всех точек комплексной плоскости на вектор, соответствующий комплексному числу.(рис. 2)

Рис. 2

2) Пусть, тогда Это отображение осуществляет преобразование поворота вокруг начала координат на угол (рис. 3), т. к. для имеем.

Рис. 3

3) Пусть и тогда В этом случае отображение оставляет неизменным аргумент комплексного числа, но его модуль изменяется в раз (рис. 4). Такое отображение представляет собой преобразование подобия с центром подобия в точке и коэффициентом подобия.

Рис. 4

Любая линейная функция может быть представлена в виде композиции трех линейных функций частного вида: Отсюда заключаем, что линейное отображение общего вида (3) можно осуществить путем последовательного применения:

    1) Поворота около начала координат на угол ; 2) Преобразования подобия с центром подобия в точке и коэффициентом подобия ; 3) Параллельного переноса на вектор, изображающий комплексное число

Так как каждое из трех составляющих отображений преобразует окружность в окружность, а прямую в прямую, то любое линейное отображение преобразует окружность в окружность и прямую в прямую. Его неподвижные точки можно найти из условия Отсюда при получаем и. При получаем преобразование параллельного переноса, которое имеет единственную неподвижную точку. Отметим, что при линейное отображение можно представить в виде, где z0 - неподвижная точка отображения (для этого достаточно из равенства вычесть тождество ). Из этого представления видно, что линейное отображение при представляет собой композицию поворота комплексной плоскости вокруг точки на угол и преобразования подобия (растяжения) с центром в точке и коэффициентом растяжения.

Линейное отображение определено однозначно условиями, при которых однозначно определены параметры и. Можно потребовать, чтобы две различные точки и переходили соответственно в произвольно заданные, но различные точки и. Тогда параметры и будут удовлетворять системе уравнений и, имеющей относительно и единственное решение. Соответствующее отображение имеет вид

Линейное отображение будет определено однозначно и в том случае, когда в некоторой точке заданы значения функции и значения ее производной (эта производная постоянна и на самом деле не зависит от точки ). При этих условиях отображение можно записать в виде

.

Похожие статьи




Линейная функция - Конформное отображение

Предыдущая | Следующая