Инвариант дробно-линейного отображения - Конформное отображение

При помощи дробно-линейного отображения можно единственным образом преобразовать три заданные точки комплексной плоскости в три заданные комплексные плоскости ; , , .

Действительно, так как

, то, , и,

Определим двойное отношение:

Последняя формула (5) говорит, о том что двойное отношение четырех точек сохраняется при дробно-линейном отображении, т. е. ангармоническое отношение является инвариантом дробно-линейного отображения.

Теорема 12. Пусть точки - произвольные различные конечные точки плоскости, а точки - произвольные различные конечные точки плоскости. Тогда, существует единственная дробно-линейная функция, которая переводит точки в (k=1,2,3), и определяется из соотношения (5).

Замечание 3. формула (5) остается справедливой при построении дробно-линейного отображения, переводящего заданные точки в заданные. Если среди встречается (или ), т. е. допускается бесконечность, как в левой, так и в правой части, то этом случае числитель и знаменатель дроби, где встречается бесконечность, следует заменить 1.

Приведем примеры:

1) Найти образ открытого круга при отображении.

Отображение является дробно линейным, а, следовательно, (согласно свойствам дробно линейного отображения), конформным. Всякое конформное отображение, в силу принципа сохранения области, отображает область на область, причем в силу принципа соответствия границ, достаточно отобразить границу области, обходя ее в положительном направлении. Следовательно, для того чтобы найти образ открытого круга при дробно-линейном отображении, достаточно отобразить границу, обходя ее в положительном направлении. Учитывая свойство 4 достаточно найти образы 3 последовательных точек границы, например, точка при отображении переходит в точку, - в точку, - в точку. Таким образом, граница является прямая, которая сонаправлена оси плоскосли. Следовательно, образом области является полуплоскость

Рис. 5

Ответ:

Похожие статьи




Инвариант дробно-линейного отображения - Конформное отображение

Предыдущая | Следующая