Показательная функция - Конформное отображение

Определение 7. Функция вида:

называется показательной функцией.

Свойства показательных функций:

1) Функция - - дифференцируема во всей плоскости.

Так как то отображение, осуществимое показательной функцией, будет конформным во всей комплексной плоскости.

2) Функция имеет отличную от нуля производную во всех точках плоскости

3)

Отметим, что.

4)

Одно из значений аргумента есть, и, следовательно,

.

5) Показательная функция является периодической, с мнимым основным периодом.

Функция сохраняет все свойства показательной функции действительного переменного и является периодической с периодом.

6) Равенство равносильно равенству, откуда Это указывает на то, что во всей плоскости функция не является однолистной. Более того, эта функция не будет однолистной в любой области, содержащей вместе с точкой точку вида Напротив, в полосе функция однолистна и, следовательно, конформно отображает эту полосу на некоторую область плоскости.

Рассмотрим отображение функцией прямых на плоскость. Из соотношения следует, что прямая переходит в луч. Прямая при отображении перейдет в окружность, так как. Но при этом отображении на этой прямой не будет взаимно однозначным, так как точки и, удовлетворяющие соотношению имеют один и тот образ. Это говорит о том, что функция является однолистной в тех областях комплексной плоскости, которые не содержат вертикальных отрезков длины или более. Примером такой области является полоса. Ясно, что любой отрезок прямой, лежащий в этой полосе, перейдет в дугу окружности. (рис. 7)

Рис. 7

Похожие статьи




Показательная функция - Конформное отображение

Предыдущая | Следующая