Показательная функция - Конформное отображение
Определение 7. Функция вида:
называется показательной функцией.
Свойства показательных функций:
1) Функция - - дифференцируема во всей плоскости.
Так как то отображение, осуществимое показательной функцией, будет конформным во всей комплексной плоскости.
2) Функция имеет отличную от нуля производную во всех точках плоскости
3)
Отметим, что.
4)
Одно из значений аргумента есть, и, следовательно,
.
5) Показательная функция является периодической, с мнимым основным периодом.
Функция сохраняет все свойства показательной функции действительного переменного и является периодической с периодом.
6) Равенство равносильно равенству, откуда Это указывает на то, что во всей плоскости функция не является однолистной. Более того, эта функция не будет однолистной в любой области, содержащей вместе с точкой точку вида Напротив, в полосе функция однолистна и, следовательно, конформно отображает эту полосу на некоторую область плоскости.
Рассмотрим отображение функцией прямых на плоскость. Из соотношения следует, что прямая переходит в луч. Прямая при отображении перейдет в окружность, так как. Но при этом отображении на этой прямой не будет взаимно однозначным, так как точки и, удовлетворяющие соотношению имеют один и тот образ. Это говорит о том, что функция является однолистной в тех областях комплексной плоскости, которые не содержат вертикальных отрезков длины или более. Примером такой области является полоса. Ясно, что любой отрезок прямой, лежащий в этой полосе, перейдет в дугу окружности. (рис. 7)
Рис. 7
Похожие статьи
-
Дробно-линейная функция - Конформное отображение
Определение 4. Функция вида: , где - фиксированные комплексные числа, называется дробно-линейной функцией. При этом будем предполагать, что, чтобы...
-
Тригонометрические функции комплексной переменной - Конформное отображение
Определение 8. Из формулы Эйлера для всех действительных имеем Откуда , Эти формулы можно использовать для голоморфного продолжения косинуса и синуса в...
-
Линейная функция - Конформное отображение
Определение 2. Функция вида: , где - фиксированные комплексные числа, называется линейной. Определение 3. Отображение, осуществимое линейной функцией...
-
Конформность дифференцируемого отображения - Конформное отображение
Пусть через точку проходят две гладкие кривые и касательные l1 и l2 к которым образуют с осью углы, соответственно, 1 и 2. Образы этих кривых и при...
-
Степенная функция - Конформное отображение
Определение 6. Функция вида: , где - натуральное число, называется степенной функцией. Свойства степенных функций: 1) Функция - - дифференцируема во всей...
-
Элементарные функции - Конформное отображение
Теория конформных отображений подчинена решению двух основных задач: 1) найти образ области при заданном отображении; 2) найти конформное отображение...
-
Понятие конформного отображения - Конформное отображение
Основная задача теории конформных отображений - построить конформное отображение заданной области на некоторую заданную область плоскости переменной w....
-
Инвариант дробно-линейного отображения - Конформное отображение
При помощи дробно-линейного отображения можно единственным образом преобразовать три заданные точки комплексной плоскости в три заданные комплексные...
-
Сохранение симметрии при дробно-линейном отображении. - Конформное отображение
Замечание 2. Дробно-линейное отображение преобразует окружность в прямую, если проходит через точку, которая переходит в бесконечно удаленную точку. Если...
-
Принцип симметрии - Конформное отображение
Теорема 9 (принцип непрерывности). Пусть две односвязные области и в расширенной комплексной плоскости не пересекаются, но имеют общий участок границы в...
-
Если функция f(x) периодична с периодом Т, то по значениям этой функции на любом отрезке длины Т можно восстановить ее значения на всей числовой прямой....
-
Ответ: Функция y=arctgx, ее график, свойства Ответ: Функция y=arcctgx, ее график, свойства Ответ: Решение уравнений sinx=a, частные случаи Ответ:...
-
Пусть u = f(x, y) - функция, определенная в области w. Рассмотрим точку М(х, у) О w и некоторое направление l, определяемое направляющими косинусами Cosa...
-
Ответ: Функция f называется четной если для любого х из ее области определения f(-x)=f(x) График четной функции симметричен относительно оси ординат....
-
Непрерывность функции - Свойства функций
Рассмотрим функцию, определенную на промежутке Пусть. Функция называется непрерывной в точке, если Функция называется Непрерывной слева (справа) в точке,...
-
ПРОИЗВОДНАЯ, ЕЕ СВОЙСТВА И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ. ПРОИЗВОДНАЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Если отношение имеет предел при этот предел называют...
-
Углом в один градус называется угол равный 1/180 части развернутого угла. Развернутый угол равен 180 градусам. Прямой угол равен половине развернутого...
-
Ответ: Функция f ставит в соответствие числу х число у, а функция g числу у число z. Говорят что h есть сложная функция составленная из функций g и f, и...
-
Пусть на некотором отрезке [a, b] задана кусочно-монотонная функция f(x). Покажем, что данную функцию в точках ее непрерывности можно представить в виде...
-
Еще одним подходом к проблеме формализации алгоритма являются, так называемые, рекурсивные функции. Исторически этот подход возник первым, поэтому в...
-
Теорема о параметризации - Рекурсивные функции
Одно и то же выражение может порождать несколько разных функций, от разного числа аргументов. Так, обычное арифметическое выражение xK можно считать...
-
Задачи и функции. Предназначение Функция - это некоторая система задач, решение которых направлено на достижение определенной цели и (или) на выполнение...
-
УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ На плоскости, заметим, могут быть заданы только двухмерные, или плоские преобразования. Уравнение, связывающее две...
-
Теорема 1. Предел постоянной равен самой постоянной. . Доказательство. f(x)=с, докажем, что . Возьмем произвольное e>0. В качестве d можно взять любое...
-
Ответ: 2) 3) 4) Знаки значений тригонометрических функций Ответ: Sin cos tg*ctg Таблица значений Ответ: Формулы сложения Ответ1 Формулы двойного...
-
Сложение, вычитание, умножение комплексных чисел в алгебраической форме производят по правилам соответствующих действий над многочленами. Четность и...
-
Q(x) - соответствует площади боковой поверхности данного тела от точки А до точки х. Q(x)>х€[a, x]. Q (x+?x)>х€[a, x+?x], тогда ?Q=Q...
-
Способ усреднения подынтегральной функции - Применение метода Монте-Карло в эконометрическом анализе
В качестве оценки определенного интеграла принимают , Где n - число испытаний; - возможные значения случайной величины X, распределенной равномерно в...
-
Ответ: уравнение ax2+bx+c=0. Где а не равно нулю, называется квадратным. Чтобы его решить нужно вычислить дискриминант. D=b2 -4ac и сравнить его с нулем....
-
Несобственные интегралы, Интегрирование неограниченных функций - Определенные интегралы
При рассмотрении задачи интегрирования непрерывных и кусочно-непрерывных функций предполагалось, что эти подынтегральные функции являются ограниченными...
-
Первое звено апериодическое. Второе звено интегрирующее. Третье и четвертое звено - инерционные Передаточная функция разомкнутой системы равна...
-
Бесконечные пределы - Свойства функций
Функция называется Бесконечно малой при (или, или ) если для сколь угодно малого положительного числа найдется такое положительное число (), что для всех...
-
Односторонние пределы, Пределы на бесконечности - Свойства функций
В определении предела функции предполагалось, что произвольным образом. Если при вычислении предела функции при считать, что, то получают Односторонний...
-
Принцип сходимости, Предел функции. Теорема Гейне - Свойства функций
Рассмотрим вопрос о существовании пределов последовательностей концевых точек бесконечной системы промежутков, вложенных друг в друга. Лемма Кантора ....
-
ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ - Скалярные и векторные величины, матрицы и функции
Теорема Коши. Если при соблюдении предположений относительно функций и отношение стремится к некоторому числу при, то тогда к такому же числу будет...
-
На уровне общества для описания поведения потребителей вводится целевая функция потребления. Целевая функция потребления - функция, выражающая уровень...
-
ФУНКЦИИ, Основные понятия - Свойства функций
Основные понятия При изучении различного рода явлений приходится иметь дело с совокупностью переменных величин, которые связаны между собой таким...
-
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ Если некоторому множеству значений поставлено по определенному правилу F во взаимнооднозначное соответствие некоторое множество, то тогда...
-
УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ Любая Поверхность есть геометрическое место точек, ее составляющих, определенное уравнением Иными словами, все точки, которые...
-
Многокритериальный оптимизация нейронный аппроксимация Общая схема рассматриваемого метода является итерационной и состоит из следующих основных этапов....
Показательная функция - Конформное отображение