Тригонометрические функции комплексной переменной - Конформное отображение

Определение 8. Из формулы Эйлера для всех действительных имеем

Откуда

,

Эти формулы можно использовать для голоморфного продолжения косинуса и синуса в комплексную плоскость, положив по определению для любого :

, .

Свойства тригонометрических функций комплексного переменного:

    1) и - - дифференцируемы во всей плоскости (как линейные композиции - дифференцируемых функций). 2) и во всех точках плоскости имеют производную, причем, , . 3) Для любых справедливо: 4) Функции и имеют лишь действительные нули, а именно:
    5) Функции и являются периодическими с основным периодом. 6) Тригонометрические функции комплексного переменного тесно связаны с гиперболическими, которые для любого определяются формулами

, .

Эта связь выражается соотношениями

7) Пользуясь свойствами 4) и 7) получим

Величины и являются неограниченными, а именно вдоль мнимой оси, аналогично при

    8) Тангенс и котангенс для комплексных значений аргумента определяются формулами 9)

Рассмотрим примеры конформных отображений осуществимых основными элементарными функциями:

1) Построим линейное отображение, переводящее полукруг в полукруг.

Решение:

Для этого последовательно выполним следующие отображения:

1) , которое переводит область в область ;

    2) , переводящее область в полукруг ; 3) , переводящее полукруг в полукруг 4) , переводящее полукруг в.

Таким образом, получаем искомое отображение (Рис. 8)

Рис. 8

2)Найти линейную функцию, отображающую треугольник с вершинами на треугольник с вершинами.

Решение:

Для того чтобы найти функцию, конформно отобразим треугольник на треугольник.

Рис. 9

Тогда вершины одного треугольника переходят в вершины другого треугольника соответственно:

ЃЛ решим систему

ЃЛЃЛ функция принимает вид

Проверка: , , - верное тождество.

Ответ: .

3)Найти функцию, конформно отображающую единичный круг на верхнюю полуплоскость.

Решение:

Для решения поставленной задачи установим следующее соответствие граничных точек данных областей (рис. 10):

Рис. 10

И найдем коэффициенты дробно-линейной функции, осуществляющей искомое отображение. Как легко видеть из условий (1) и (2), сразу определяются значения и, после чего искомая функция принимает вид

Последний коэффициент определяется из условия (2):

Откуда. Тем самым функция, осуществляющая искомое отображение, имеет вид

Отметим, что функция осуществляет конформное отображение области на нижнюю полуплоскость.

4) Отобразить конформно множество на множество

Решение:

Нужно найти функцию

Найдем отображение осуществимое множествами:

Нужно найти функцию

Рис. 11

1)Нужно повернуть на

2) Ширина полосы

Тогда,

=4

3) Сместить на 1 вправо:

Т. о.

Ответ: .

5) Отобразить конформно при помощи функции,

Решение:

Область принимает вид (Рис. 12):

Рис. 12

Подставим крайние точки области в функцию :

    >; >;
    >; >;

Т. о. область примет вид - (Рис. 13):

Рис.13

Ответ:

6) Выясним, на какую область отображается полукруг с помощью функции.

Решение:

Граница области состоит из верхней полуокружности и отрезка действительной оси. Найдем образ границы. Отрезок действительной оси, не проходящее через точку, согласно замечанию 4, переходит в дугу окружности некоторого радиуса с центром в некоторой точке.

Для нахождения и в заданную функцию подставим и выделим действительную и мнимую части:

Стало быть,

Отсюда

и

Или. Приводя это уравнение окружности к каноническому виду, устанавливаем что и. Итак, образом действительной оси будет окружность (Рис. 14). Поскольку точке полукруга соответствует точка, то область, очевидно, будет располагаться во внешности этой окружности.

Рис. 14

Рассмотрим оставшуюся часть границы области. Образом окружности, которая не проходит через точку, согласно замечанию 4, является окружность. Чтобы установить уравнение этой окружности, в заданную функцию подставим :

Переходя в этом равенстве к абсолютным величинам и учитывая, что числитель и знаменатель дроби справа являются комплексно сопряженными числами и их модули равны, получаем. Следовательно, образом окружности является окружность, а образом полукруга будет область, полученная пересечением внутренности окружности и внешности окружности (см. рис. 14).

7) Найдем образ правой полуплоскости при отображении.

Решение:

Границей правой полуплоскости является мнимая ось. При заданном отображении эта ось переходит в окружность. Действительно,

Поскольку комплексные числа и являются комплексно сопряженными, а значит, имеют равные модули.

Согласно принципу соответствия границ, образом правой полуплоскости является либо круг, либо область, так как окружность является общей границей двух областей. Взяв точку в правой полуплоскости, находим ее образ который попадает в круг. Следовательно, образом полуплоскости является круг. (Рис. 15)

Рис. 15

8) Найдем функцию, конформно отображающую полукруг, на верхнюю полуплоскость и условии, что при.

Решение:

Рассмотрим сначала дробно-линейное отображение, переводящее три заданные граничные точки полукруга в точки и плоскости. Использую формулу (5) и учитывая замечание 3, находим

Отсюда получаем. Согласно замечанию 2, образом диаметра полукруга является действительная полуось так как ей принадлежит точки и, а образом окружности - мнимая полуось, поскольку и прямой угол между диаметром и полуокружностью в точке прямым (рис. 16). Итак, образом полукруга является первый квадрат полуплоскости, отображаемый функцией на полуплоскость В итоге получаем

Рис. 16

9) Построим отображение луночки, ограниченной окружностями и (рис. 17), на верхнюю полуплоскость.

Решение:

Чтобы получить искомое отображение, достаточно перевести исходную область в полосу. Итак, переведем сначала окружности и в горизонтальные прямые и соответственно. Для этого рассмотрим отображение и потребуем, например чтобы точка перешла в точку, а точка - в точку. Тогда и, и мы приходим к отображению

Окружности проходят через точку. Согласно замечанию 2, образами окружностей будут прямые, одна из которых проходит через точку, а другая - через точку. Так как в точке окружности, ограничивающие луночки, касаются, то прямые, в которые они переходят, параллельны. Точка, симметричная точке относительно окружности, переходит в точку, которая должна быть симметрична точке относительно образа этой окружности. Значит, образом окружности является прямая. Образом окружности будет прямая. Итак, заданная область преобразована в полосу. Осталось применить отображение. В итоге получается искомое отображение (Рис. 17)

Рис. 17

Похожие статьи




Тригонометрические функции комплексной переменной - Конформное отображение

Предыдущая | Следующая