Принцип симметрии - Конформное отображение

Теорема 9 (принцип непрерывности). Пусть две односвязные области и в расширенной комплексной плоскости не пересекаются, но имеют общий участок границы в виде простой кусочно гладкой дуги. Если функция аналитична в области и непрерывна на множестве а функция 2 (z) аналитична в и непрерывна на множестве, причем при, то функция

Аналитична в области

Определение 1. Пусть выполнены следующие условия:

    1) Функция определена на множестве ; 2) Функция аналитическая в области ; 3) при.

Тогда функцию называют аналитическим продолжением функции.

Теорема 10 (принцип симметрии). Пусть - односвязная область, лежащая в верхней полуплоскости, граница которой содержит интервал действительной оси, а область, симметричная этой оси. Если функция непрерывна в области и на ее границе, аналитична в и принимает действительные значения при то эту функцию можно аналитически продолжить в область по формуле

Доказательство. Рассмотрим в области функцию =. Эта функция корректно определена, так как для любой точки точка принадлежит области. Докажем, что является аналитической в. Рассмотрим произвольную точку и некоторую ее окрестность, целиком попадающую в. Тогда окрестность целиком попадает в и в ней в силу аналитичности функцию можно разложить в ряд Тейлора:

Пусть. Тогда, и мы имеем

Следовательно,

Т. е. в окрестности точки функция представима степенным рядом, а потому аналитична. Так как можно выбрать произвольно, то аналитична всюду в.

Рис.1.

Функция, определяемая соотношением (2), непрерывна в областях и т. к. в этих областях функции и аналитичны (а потом и непрерывны). Покажем, что функция непрерывна и в точках интервала. Возьмем произвольную точку (рис.1.). В силу непрерывности функции в точке для любого можно выбрать такое, что для точек удовлетворяющих неравенству, верно неравенство.

Отметим, что по условию теоремы значение является действительным. Для произвольной точки, для которой, имеем либо, либо. В первом случае в силу выбора верно соотношение, тогда и. Во втором случае получаем

Т. к. точка попадает в область и для нее. Итак, для любого существует такое, что при и верно неравенство. Это означает, что функция непрерывна в точке, а в силу произвольности выбора она непрерывна на всей дуге.

Применяя принцип непрерывности (см. теорему 9), заключаем, что функция является аналитической в области, т. е. являются, согласно определению 1, аналитическим продолжением функции из области в область.

Похожие статьи




Принцип симметрии - Конформное отображение

Предыдущая | Следующая