Непрерывность композиции, Точки разрыва - Свойства функций

Пусть задана функция, со значениями в, и на множестве определена функция со значениями в. Тогда для любого можно вычислить, на можно определить функцию со значениями в по правилу: . Говорят, что функция есть композиция функций и и обозначают. (Функцию называют также сложной функцией).

Если функция непрерывна в точке, а функция непрерывна в точке, то композиция непрерывна в точке. Говоря короче (хотя и менее строго), композиция непрерывных функций непрерывна.

Пример 14. Функция непрерывна на, как композиция непрерывных функций и, поскольку такая композиция определена для.

Точки разрыва

Непрерывность функции в точке, т. е. выполнение условия (3), означает, что оба односторонних предела и существуют и равны, т. е.

.

Если условие (4) не выполнено, то точку называют точкой разрыва функции. Условие (4) означает выполнение следующих четырех условий, каждое из которых предполагает выполнение всех предыдущих:

и существуют;

и конечны;

;

.

Если 1. не выполнено, то называют Точкой неопределенности.

Если 1. выполнено, а 2. не выполнено, то называют Точкой бесконечного скачка.

Если выполнены 1. и 2., а 3. не выполнено, то называют Точкой конечного скачка. Величина называется скачком функции в точке.

Если 1., 2., 3. выполнены, а 4. не выполнено, то называют Точкой устранимого разрыва.

Если функция определена в окрестности точки и не определена в самой точке, то также называют точкой разрыва. Такие точки классифицируют по той же схеме.

Похожие статьи




Непрерывность композиции, Точки разрыва - Свойства функций

Предыдущая | Следующая