Бесконечные пределы - Свойства функций

Функция называется Бесконечно малой при (или, или ) если для сколь угодно малого положительного числа найдется такое положительное число (), что для всех будет верно неравенство.

При () функция называется Бесконечно малой, если для сколь угодно малого положительного числа найдется такое положительное число, что для всех будет верно неравенство.

Предел Бесконечно малой величины в точке сгущения (или на бесконечности) равен нулю, т. е. .

Теорема: Если функция , определенная на множестве имеет предел в точке сгущения (или на бесконечности), то ее можно представить в виде суммы этого числа и бесконечно малой величины: .

Справедлива также и Обратная теорема: Если функцию , определенную на множестве , можно представить в точке сгущения (или на бесконечности) в виде суммы числа и бесконечно малой величины : то число является пределом этой функции при указанных условиях.

Свойства бесконечно малых величин:

- Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая; - Произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию есть величина бесконечно малая; - Частное от деления бесконечно малой на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно малая.

Функция называется Бесконечно большой при (или, или ) если для сколь угодно большого положительного числа найдется такое положительное число (), что для всех будет верно неравенство.

При () функция называется Бесконечно большой, если для сколь угодно большого положительного числа найдется такое положительное число, что для всех будет верно неравенство.

Предел Бесконечно большой Величины в точке сгущения (или на бесконечности) равен бесконечности, т. е. .

Свойства бесконечно больших величин:

- Произведение бесконечно большой величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно большая; - Сумма бесконечно большой величины и ограниченной функции есть величина бесконечно большая; - Частное от деления бесконечно большой величины на функцию, имеющую предел в точке есть величина бесконечно большая.

Теорема. Если функция есть бесконечно малая величина при () то функция есть бесконечно большая величина при ().

Обратная теорема. Если функция есть бесконечно большая величина при () то функция есть бесконечно малая величина при ().

Сравнение бесконечно малых величин:

- Две бесконечно малые величины и называются бесконечно малыми одного порядка, если предел их отношения есть конечное число, отличное от нуля, т. е. ; - Величина называется бесконечно малой величиной высшего порядка по сравнению с, если предел отношения к равен нулю, т. е.; - Величина называется бесконечно малой величиной низшего порядка по сравнению с, если предел отношения к является бесконечно большой величиной, т. е.; - Две бесконечно малые величины и называются эквивалентными бесконечно малыми, если предел их отношения равен единице, т. е. .

Пользуясь приведенными выше теоремами, которые устанавливают взаимосвязь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами, можно распространить эти свойства на бесконечно большие величины.

Решение задачи сравнения бесконечно малых (бесконечно больших) величин связано с необходимостью корректно раскрыть неопределенность. Методы раскрытия этой и других неопределенностей будут подробно рассмотрены позднее.

Если и, то

Если и при а для близких к (т. е. ограничена в окрестности точки ), то.

Пример 8. , т. к. , а

Пример 9. т. к. и при.

Похожие статьи

• Тригонометрические функции половинного аргумента, Обратные тригонометрические функции и их свойства, Частные случаи решения тригонометрических уравнений - Действительные числа. Тригонометрические функции числового аргумента. Логарифмы. Частные случаи решения тригонометрических уравнений

  Логарифм алгебраический угол число Формулы двойного аргумента Sin 2x=2sin xЧcos x Cos 2x=cosІx-sinІx Cos 2x=1-2sinІx Cos 2x=2cosІx-1 Обратные...

• 7. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ, ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ, ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ. ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ - Скалярные и векторные величины, матрицы и функции

  ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ Если некоторому множеству значений поставлено по определенному правилу F во взаимнооднозначное соответствие некоторое множество, то тогда...

• Принцип сходимости, Предел функции. Теорема Гейне - Свойства функций

  Рассмотрим вопрос о существовании пределов последовательностей концевых точек бесконечной системы промежутков, вложенных друг в друга. Лемма Кантора ....

• Сходящиеся последовательности, Основные свойства сходящихся последовательностей: - Свойства функций

  Говорят, что Последовательность сходится, если существует число такое, что для любого существует такое , что для любого , выполняется неравенство: ....

• Бесконечный предел, Замечательные пределы - Свойства функций

  Наряду с бесконечно малыми существуют и бесконечно большие величины, являющиеся обратными по отношению к бесконечно малым. Поэтому является бесконечно...

• Односторонние пределы, Пределы на бесконечности - Свойства функций

  В определении предела функции предполагалось, что произвольным образом. Если при вычислении предела функции при считать, что, то получают Односторонний...

• Действия над комплексными числами в алгебраической форме, Четность и нечетность функции, Монотонность и периодичность функции, Предел функции в точке - Действительные числа. Тригонометрические функции числового аргумента. Логарифмы. Частные случаи решения тригонометрических уравнений

  Сложение, вычитание, умножение комплексных чисел в алгебраической форме производят по правилам соответствующих действий над многочленами. Четность и...

• ФУНКЦИИ, Основные понятия - Свойства функций

  Основные понятия При изучении различного рода явлений приходится иметь дело с совокупностью переменных величин, которые связаны между собой таким...

• Интегрируемость непрерывных, разрывных и монотонных функций, Основные свойства определенного интеграла - Определенные интегралы

  Теорема: Непрерывная на сегменте функция интегрируема на этом сегменте. Теорема: Если функция определена и ограничена на сегменте, и если для любого...

• Непрерывность функции - Свойства функций

  Рассмотрим функцию, определенную на промежутке Пусть. Функция называется непрерывной в точке, если Функция называется Непрерывной слева (справа) в точке,...

• Теоремы о пределах, По &;nbsp;теореме&;nbsp; о связи &;nbsp;предела&;nbsp; и бесконечно малой функции: - Действительные числа. Тригонометрические функции числового аргумента. Логарифмы. Частные случаи решения тригонометрических уравнений

  Теорема 1. Предел постоянной равен самой постоянной. . Доказательство. f(x)=с, докажем, что . Возьмем произвольное e>0. В качестве d можно взять любое...

• ПРОИЗВОДНАЯ, ПРОИЗВОДНАЯ, ЕЕ СВОЙСТВА И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ. ПРОИЗВОДНАЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ - Скалярные и векторные величины, матрицы и функции

  ПРОИЗВОДНАЯ, ЕЕ СВОЙСТВА И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ. ПРОИЗВОДНАЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Если отношение имеет предел при этот предел называют...

• Непрерывность композиции, Точки разрыва - Свойства функций

  Пусть задана функция, со значениями в, и на множестве определена функция со значениями в. Тогда для любого можно вычислить, на можно определить функцию...

• Понятие числовой последовательности - Свойства функций

  Числовой последовательностью называется числовая функция, определенная на множестве натуральных чисел . Если функцию задать на множестве натуральных...

• Логарифмы, Формулы и свойства логарифмов - Действительные числа. Тригонометрические функции числового аргумента. Логарифмы. Частные случаи решения тригонометрических уравнений

  Логарифм числа b по основанию a (logAB) определяется как показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b (Логарифм существует...

• Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность. Частные производные. - Методы решения системы линейных уравнений

  Пусть u = f(x, y) - функция, определенная в области w. Рассмотрим точку М(х, у) О w и некоторое направление l, определяемое направляющими косинусами Cosa...

• Свойства числовой функции (четность, нечетность, периодичность), График функции, построение, Смещение графиков вдоль осей ординат, Растяжение графика вдоль оси оу - Математика в современном мире

  Ответ: Функция f называется четной если для любого х из ее области определения f(-x)=f(x) График четной функции симметричен относительно оси ординат....

• Дискретные случайные величины. Распределение случайных величин. Примеры, Функция распределения случайной величины. Свойства. Примеры - Теория вероятности

  Опытом называется всякое осуществление определенных условий и действий, при которых наблюдается изучаемое случайное явление. Опыты можно характеризовать...

• Функции и ее свойства - Методы решения системы линейных уравнений

  В современной математике понятие множества является одним из основных. Универсальность этого понятия в том, что под него можно подвести любую...

• Основные тригонометрические тождества, Знаки значений тригонометрических функций, Таблица значений, Формулы сложения, Формулы двойного аргумента, Формулы половинного аргумента, Формулы приведения, Формулы синусов и разности синусов (косинусов), График функции у=sinx и его свойства, График функции y=cosx и его свойства, График функции y=tgx и его свойства, График функции y=ctgx и его свойства, Функция y=arcsinx, ее график, свойства - Математика в современном мире

  Ответ: 2) 3) 4) Знаки значений тригонометрических функций Ответ: Sin cos tg*ctg Таблица значений Ответ: Формулы сложения Ответ1 Формулы двойного...

• ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ, СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ, РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА ПО КООРДИНАТНЫМ ОРТАМ, СВОЙСТВА СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ - Скалярные и векторные величины, матрицы и функции

  СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ Скалярным произведением двух векторов иназывается число S =|| || сos (). Эта операция обозначается. В частности,...

• Функция y=arccosx, ее график, свойства, Функция y=arctgx, ее график, свойства, Функция y=arcctgx, ее график, свойства, Решение уравнений sinx=a, частные случаи, Решение уравнений cosx=a, частнае случаи, Решение уравнений tgx=a, ctg=a, Решение тригонометрических уравнений, приводимых к квадратным, Решение простейших тригонометрических неравенств, Стереометрия. Основные понятия, обозначения, Аксиомы стереометрии - Математика в современном мире

  Ответ: Функция y=arctgx, ее график, свойства Ответ: Функция y=arcctgx, ее график, свойства Ответ: Решение уравнений sinx=a, частные случаи Ответ:...

• Нахождение площади поверхности тела вращения, Способ задания функции двух переменных. - Неопределенный интеграл

  Q(x) - соответствует площади боковой поверхности данного тела от точки А до точки х. Q(x)>х€[a, x]. Q (x+?x)>х€[a, x+?x], тогда ?Q=Q...

• Несобственные интегралы, Интегрирование неограниченных функций - Определенные интегралы

  При рассмотрении задачи интегрирования непрерывных и кусочно-непрерывных функций предполагалось, что эти подынтегральные функции являются ограниченными...

• Решение квадратных уравнений, Решение квадратных неравенств, Числовая функция и способы ее задания - Математика в современном мире

  Ответ: уравнение ax2+bx+c=0. Где а не равно нулю, называется квадратным. Чтобы его решить нужно вычислить дискриминант. D=b2 -4ac и сравнить его с нулем....

• Рекурсивные функции

  Еще одним подходом к проблеме формализации алгоритма являются, так называемые, рекурсивные функции. Исторически этот подход возник первым, поэтому в...

• Линейная функция - Конформное отображение

  Определение 2. Функция вида: , где - фиксированные комплексные числа, называется линейной. Определение 3. Отображение, осуществимое линейной функцией...

• МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ, СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. - Скалярные и векторные величины, матрицы и функции

  МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ Матрицей A называется любая прямоугольная таблица, составленная из чисел, которые называют элементами матрицы и обозначается...

• Получение переходной функции объекта по его передаточным функциям - Моделирование математической модели теплообменника

  Выделим случай, когда входной сигнал X ( T ) является элементарной функцией 1( T ). Реакцию системы на воздействие 1( T ) можно компактно: [1] Где...

• Статистики, Свойства оценок - Основы научных исследований

  Любая функция от элементов выборки называется Статистикой . Следовательно, точечная оценка также является статистикой. Однако не всякая статистика может...

• О разложении в ряд Фурье непериодической функции - Приложение интегрального и дифференциального исчисления к решению прикладных задач

  Пусть на некотором отрезке [a, b] задана кусочно-монотонная функция f(x). Покажем, что данную функцию в точках ее непрерывности можно представить в виде...

• Точечная оценка математического ожидания, Свойства математического ожидания, Заключение - Математическое ожидание случайной величины

  Математическое ожидание генеральной совокупности назовем генеральной средней, т. е. . Теорема. Выборочное среднее есть состоятельная и несмещенная оценка...

• Сложная функция, Cхема исследования функции по графику, Тригонометрические функции числового аргумента, Перевод градусной меры угла в радианную и наоборот - Математика в современном мире

  Ответ: Функция f ставит в соответствие числу х число у, а функция g числу у число z. Говорят что h есть сложная функция составленная из функций g и f, и...

• Радианная и градусная меры углов, Тригонометрические функции числового аргумента - Действительные числа. Тригонометрические функции числового аргумента. Логарифмы. Частные случаи решения тригонометрических уравнений

  Углом в один градус называется угол равный 1/180 части развернутого угла. Развернутый угол равен 180 градусам. Прямой угол равен половине развернутого...

• Интегрирование по бесконечному промежутку - Определенные интегралы

  Определение: Пусть функция интегрируема на каждом отрезке, т. е. существует определенный интеграл. Тогда за несобственный интеграл принимают предел. Если...

• Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши

  Введение В данном реферате рассматриваются теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши. "Теорема - высказывание, нравственность которого установлена при помощи...

• Перечислимость. - Рекурсивные функции

  В предыдущем упражнении мы показали, что операции алгебры логики не выводят за пределы разрешимых предикатов. Но полный язык математической логики, как...

• Необходимое и достаточное условие интегрируемости, Равномерно непрерывные функции - Определенные интегралы

  Теорема: Для того, чтобы ограниченная на сегменте функция была интегрируемой на этом сегменте, необходимо и достаточно, чтобы для любого нашлось такое...

• ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ - Скалярные и векторные величины, матрицы и функции

  Теорема Коши. Если при соблюдении предположений относительно функций и отношение стремится к некоторому числу при, то тогда к такому же числу будет...

• Функции покупательского спроса. Моделирование и прогнозирование покупательского спроса - Бюджетное множество

  Спрос бюджетный множество потребитель Для индивидуального потребителя может быть сформулирована задача оптимизации выбора. Потребитель, имея доход,...

Бесконечные пределы - Свойства функций

Предыдущая | Следующая